Soit la courbe (fig. 2) représentée par l'équation
t/* = oc*
ou bien y = +iZî\/^-T-^ .
Construction de la courbe. — L'équation est vérifiée pour X = , y = 0; donc, la courbe passe par l'origine. Pour x= a y on a t/ = 0; donc, la courbe passe par le point A.
Depuis x = y jusque x = a , à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y, égales et de signes contraires : là courbe a donc la forme indiquée (fig. 2) du côté des abscisses positives.
Pour X > a y y est imaginaire ; donc il n'y a aucun point de la courbe à la droite du point A.
Pour trouver la forme de la courbe à la gauche de Taxe des y , faisons x = — x' , nous aurons :
Pour si < a y est réel, et à chaque valeur de xî correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ; pour
x' = a^ c'est-à-dire pour ar == — a , on a y = oo : la droite a? «= — a est donc une asymptote. Pour x' > a > y est imaginaire.
Cherchons l'aire OMANO. Nous avons :
Or, en posant a — x = (a -|- *) ^* > on a :
r , , ,fi-e« 6»d.e , ,fe*(i— 6«)d0
dO
9' de
Or,
r de 9 3 . ft , 1
En substituant, il vient :
j 2/ dx = - 4 a' j^p-p^ - 1 arc tg e] .
Pour obtenir l'aire cherchée OMANO, il faut intégrer entre les limites x^O, et x = a ; or, à cause de la relation
a — x = (a -f a;) 6* , on a :
pour a? = , 9 = 1, et pour x ?= a , 9 = 0; donc ,
ydx = — 4a* ( i-jjp — ^ arc tg 6
= 4 a« (—— T arc te 9]* = 4a« 1- - — ]
a' /^ \ ^ . Tc a*
7. Trouver l'aire comprise entre l'épicycloïde et les axes des y et des x.
Les coordonnées d'un point M de la courbe sont exprimées par les équations :
R + Rj cos a — R' cos — ^, — a ,
y =JR-l-R'Jsina— R'sin^^-ir^a.
L'aire comprise entre deux rayons vecteurs faisant les angles a» et a, avec Taxe des x , est donnée par la formule :
=J xdy
=Jr4-R'| j TJR-f R'jcosa— R'cos^i^'a = (r -f R'j J "cos« a d a
— \ R -|- R I cos a cos — :-; — a t/ a
cosa - cos— :^: — a| Ja.
— R' R 4- R' J cos a cos ^, — oLdoL
+ R' Jr + R'j J " cos« ^i^ a d a
' ai
= [r + R'JJ *cos*adtt
— (r + R'| (r + 2 R'j J 'cos a cos 5-±^ a d
+ R' JR-f R'j J *cos* 5-t^' « d «
jcos a sin a -|- a| '
cos
^;— asin ^, a+
(R + R') (R + 2 R') C"»! R4-2R' , R \, — -^ 2~~^ J r°^ — 5âr^* + <=os-a d a
(R + R')* . g , (R + RQ* , R'* . o R+R'
, R'(R + R') (R + R')R' . R + 2R' -| :^-J i a — i^ '-——^ — sin ■^. a
— — sm
^^ — - — ^sin2a-| '- — «+ ,,T> r..\ 8in* — =-t— a
-¥^'"— F- "^ R ^'" ÏT' *
Si Ton compte Taire à partir de Taxe des x , on fera a^ =: ,
et il viendra en écrivant a au lieu de a, :
A'=R-fR'
R' . R+2R' (R + 2R)R' . R -T^'"— R— * R ^'"iV«
Si Ton suppose R' = R , on a alors la cardioïdey et Taire comprise à partir de l'axe des x et un rayon correspondant à l'angle a , est donnée par la formule :
A" «= R* sin 2 a + 3 a 4" T sin 4 a — sin 3 a — 3 sin a .
Pour avoir Taire comprise entre les axes des x et des y , il
TC
faudra faire : ol^ = - ^ ce qui donne pour la cardioïde :
L'aire comprise depuis a^ = , jusque a, = tc , est :
A= 3 7î R% et Taire totale = 6 ir R* .
