Trouver l'aire de la logarithmique
On a :
fx X 1 X
ydx=h\ ^ dx=ahie^ — i\,
pour Taire comprise entre l'axe des y et une ordonnée quelconque.
L'aire comprise entre l'axe des i/ et x = — cxd est :
10. Trouver l'aire comprise entre une parabole, sa développée et le rayon de courbure.
L'équation de la parabole étant :
y* = 2 p ac , on a (fig. 4) :
Aire AMP = I y cijc = i/2 p I l^x do; = - i/2 p x^.
On a aussi, en désignant par a et [3 les coordonnées du centre de courbure :
Aire AmP'
Les équations qui donnent a et ^ étant :
on a, en vertu de l'équation de la parabole : y* = 2 p as ,
y y' = p , d'où : !/' = i^ , y" ^ = - fL
Par suite, il vient :
P P 2/* iC= a H p==a p = a. — 2 x —- p ,
OU bien : 3 a? = a — p .
En substituant y et x en fonction de a et p, dans : il vient :
A4 ^ CL ^ p
3p Par conséquent :
et, en fonction de a? , on a :
En intégrant entre les limites jj = , et a? = x , il vient : I j3 d a = aire AmP' = — \/ - a?^ .
On a aussi :
Aire MNP «= ;r
mais, PN = Sn-=t// = 2/^ = p, donc :
Aire MNP = ^= ^^^P^ = ^^
De môme,
w P' NP' B Aire mP'N = '^ = i NP' .
NP' = AP' — AN = a — AP — PN=a-ir-p = 2ir.
Donc :
Aire mP'N = ^--^^ — - — ^ = -;^ 2 x = ^ • '^ . "^ 2 J?
. Enfin, on obtient pour l'aire cherchée :
2 y — 5 pïï ic^ , 12 ^a 2 1/2 4
-}- p* + — iJC* — 4 X*
11. Aire de la cardioïde. Cette courbe a pour équation polaire :
u = 2 a (l -|- cos (o) = 4 a cos* - w .
Par conséquent, Taire comprise entre la courbe, un rayon vecteur quelconque et Taxe polaire est :
A =rjt** ci (0 = -■J4a'(l + cos(o| d(o = 2a* j (l + coswicfw = 2 a* 1 ( 1 + cos* (0 -|- 2 cos w 1 d w
= 2 aM (i) -)- 2 sin (i) -}- 5 sin w cos w -j- -J
4 sin (0 + sin w cos w 1 .
En intégrant de à 2 u, on aurait l'aire totale :
42. Trouver l'aire comprise (fig. 5) entre les deux demi-cercles Orna et OMA , et l'axe OaA :
Soit 0A= A , Oa =«= a, les diamètres des deux cercles. Menons un rayon quelconque OmM, et nous aurons :
A =^ I (u'* -- uAdiù .
Or, u' = OM = OA cos w , m = Om = Oa cos w ; donc :
A = - I [A* cos^ (ù ^ a^ cos^ wjd o) = — ^ — | cos* w d w ;
d'où :
On arrive au même résultat en partant de la formule :
udud(o=l dwludif— --I JA' — a* jcos' w ofw ,
a cos (o a cos ca o
dans laquelle itdu du) désigne Taire élémentaire.
13. Le lieu des projections du centre d'une ellipse sur les normales a pour équation :
(a* — 6*) sin w cos w
\/à^ sin* fc) -|- 6* cos* w
L'aire de cette courbe est :
1 r. . («' - &*)' r sin' w cos* (0
2 J 2 J a* sin' w + 6* cos* a>
Or,
(o' — t*)* sin* w cos* M (a* 4" *>* — 2 a* 6') sin* co cos* w a* sin* <o -|- ^* cos* w a* sin* w + 6* cos* w
= (a* cos* 0)
. 1 • • • \ « '^ (cos* 0) + sin* (I))
+ ii* sin* (0 ;— 7-i T—rz r-^
/ a* sin* w 4- 6* cos* o)
2 a* 6* sin* w cos* w a* sin* (j) 4- 6* cos* w
a* cos* (0 + 6* sm* w t-t^ ,— 7^; z— .
' a* sm* (1) -{- 6* cos* w
Par conséquent :
A. = ^ a* cos* (1) -f 6* sin* (0 (i w — - I , . , — pri — r-
2J \ I 2 J a*sin*(i>-j-6*cos*co
= — j — (1) -] j — sin (1) cos w — arc tg - tg (o j
= — ^ — (0 H g^ — sin 2 (I) arc tg I - tg wl .
Pour (0 = - , on a la quatrième partie de l'aire totale de
la courbe :
a* + 6* 7t abiz tz 1 \*
L'aire totale sera :
