Trouver la longueur de la courbe

On a :

d'où :

d s = dx

\ ac' ac'^

Par suite, on a :

3 a' - S = -— x' , pour l'arc compris depuis x^O jusque x = x.

Si Ton prend l'intégrale de à a , il vient pour le quart de la courbe :

La courbe entière aura pour longueur 6a.

Remarque. — On peut trouver la longueur de la courbe d'une autre manière. Observons que l'équation :

x^ -\-y^ = a' , est vérifiée en faisant :

X = a cos* 6 ^ 2/ == a sin' .

On aura donc :

ds^ = dx» + d t/« = 9 a« (cos* 8 sin* 8 + sin* 8 cos« 6) d 8«

=- 9 a* cos« 8 sin* 6 d 8* .

Donc :

S = 3 a I sin 9 cos 9 d Q = ^ sin« 9 .

Pour 9 = - , on a : S =-x- •

3. Trouver la longueur d'un arc d'épicycloïde. Les formules :

R -j- Rj cos a — R' cos — ^^r- ^ »

y=JR4-R'j sina-^ R' sin ^-t^ a,

nous donnent :

iJx

— (R -f R) sin a + (R -f R'j sin ^"i^ a

(ia ,

dy= JR -f- R'I cos a — (r 4- R' j cos 't, a d a ;

par suite :

ds«=j2(R+R'j — 2lR-fR'| Jsinasin'-^^a4-cosacos^;^^^jlda«

= 2 [r+R'J*J l— cos 5;aj da»=4[R+R'j sin'^a. da«. On a donc :

S = 2|r-1- rU sin^a.da

= -^— ^j-cos— «4-lj L^Jl-qos— «J.

Pour R = R'., on a la longueujr d'un arc de cardioïde :

S = 8 R 1 — cos - a , '

TT

et, pour a = ô I il vient :