Trouver la longueur d'un arc de la cardioïde

M = 2 a 1 -|-. cos (oj = 4 a cos* - w' .

Gomme on a :

du = — 2 a sin w £f(o , la formule ;

ds« =- du^ + u« d w« ,

nous donne :

ds^ =

4 a* sin* w + 4 aMl + cos^ w + 2 cos w

= (4 a» -4- 4 a« + 8 a« cos w dw*.

dw«

Par suite :

5> = 2 ay 211 + cos (ojd w = 2 ay/ 4 cos* .| w rfw

= 4 a cos - (0 c?(o ;

d'où, si l'on compte Farc S à partir de w = ,

S = 8 a sin - w ^

L'i longueur de la moitié de la courbe s'obtient en faisant (0 = 7c, ce qui nous donne :

et la courbe entière a pour longueur 16 a .

10. Trouver la longueur d'un arc de la courbe déterminée par le cylindre parabolique :

4 a X = (y + ^')« , et le cône elliptique :

La première équation nous donne :

2/ + ^ = 2 i/o X ; la seconde peut s'écrire :

d'où :

z On a donc :

dw + d^ = î^ dx , d^ — f iy = — — l/x d a? ;

par conséquent :

d»« = dx*4- (ly* + c/^r» = ('" + ^)* da;» :

enfin,

g ^ Ua + x) dx ^ 1/2 \/x I x\ Mais, on voit facilement que :

par conséquent, on a pour la longueur d'un arc de la courbe à partir de Torlgine :

Id. Trouver la longueur d'un arc de Vhélice paraholoîdique :

a;* -|- 2/* -= cz ,.

y , ^ - = tg - .

On a les deux équations :

arc tg - = - .

D'où l'on tire :

2xdx -{-^y dy — cc?^ = 0, — ydx-\-xdy — zds^ = 0; on a donc :

dx dy dz

— ly z -{-ex cy + 2x2! 2 (x«+ y») * d'où :

(is«= dx* -f dy^+ d2!^= dz^ //T. .N = , ^ (i^S

et enfin ,

S = l — ^=c/^=Kc^ + ^\/-.

12. Trouver la longueur de la courbe déterminée par les équations :

z = 1/2 ex — ic* + c arc sin vers .

On trouve facilement :

par suite,

ds« = dx^ + dt/' + dz'^ = 2cJ-a ^^, ^

d'où, si l'on compte Tare S à partir de l'origine, S=J i/2c4-a — = 2 i/2c + a\/a;.

13. Trouver la longueur de l'hélice déterminée par les équations :

a; =3 a cos f, î/ = asint, z ^=, ci .

Nous aurons facilement :

ds« = (a» + c«) d t* ,

d'où :