Trouver le volume (fig. 7) d'un segment de sphère
En posant OP = j-, , OQ =^ j^j , le volume engendré par MNQP en tournant autour de Taxe des x, sera :
ÇXx
2/* dx .
L'équation du cercle étant ac* -f 2/' = R* » on aura :
V = uJ Ïr« — a;«) dx = u R« (r, — a;.) — it îi' ^
TU (X, — Xo)
,0 II. «Cl """ Xq X^ Xa
3a;.*+3y„*+3jr,«-j-32/,*— 2j:,*— 2».* - Sc.jJ
ce qui est la formule connue en géométrie.
Remarque. — Si le segment n'a qu'une base, par exemple si aîo = , il vient :
V = TT j |r« -a;«j dx^TzR^x, — '^
Volume de la sphère, — En faisant aj^ = Rj , a;^ = , on a pour la moitié du volume de la sphère :
a;» da:=itR' 5— ==ô '^^ ;
le volume total = - it R' .
3. Trouvez le volume engendré (fig. 8) par la cycloïde tournant autour de sa base.
L'équation de la courbe rapportée aux axes Ox et Oy est :
l/*2ay —-y*
Nous aurons pour le volume engendré par la moitié de la courbe :
y'=o -0 l/2 a y - 2/* 0-^ l/a* — {a-yy
En posant a — y =^ a cos cp , d'où dy = a sin <f d^o , il vient :
/y^ dy ^ Ç a^ (1 — cos y)^ a sin y dy
= a' j 1 — 3 cos f -|- 3 cos* cp — cos' <p c?<p
= aM cj>-3sincp+3(|+?^î^^^ --sincp— -sincpcos*^
= a^\ —^ — -- sm cp + - sm cp cos cp — ^ sin cp cos* cp
= a' -^ — 4sin cp+- sm cp cos <p }- - sm' <p .
De réqualion a — y= a cos <p, nous tirons :
1** pour 2/ = 0, cos cp = 1, d'où <p = 0; 2** pour y = 2a, cos cp = — 1, d'où cp == tt.
On a donc :
J . ^ = «' -^— 4sincp+-sinçcoscp-f--sin'cp
^, 5 TT* û'
le volume engendré par la courbe entière tournant autour de sa base sera donc = 5 tt* a'.
Remarque, — On serait arrivé tout aussi facilement au résultat, en faisant dans la formule :
= 7t l^/^cia;,
ce ^ a ( cp — sin cp), et 2/ = a (1 — cos cp).
4. Trouver le volume engendré par la cycloïde tournant autour de la tangente au sommet (fîg. 9).
LMquation de la courbe rapportée à la tangente au sommet étant :
on a, pour la moitié du volume cherché :
y = îo A m ^'ia
V= 7î I y* dac = 7î 1 1/ 1/2 uy — y* di/ ■= tt j i/ |/a* — (a — y)* dy •
Or, en posant comme ci-dessus a — y = a cos <p, et remarquant que Ton a pour y = 0, ç = 0, et pour i/ = 2 a, cp = tu, il vient :
V=7ra'l (1 — cos<5p)sin'ç(/.T=7ra'l (sin*ç — sin' ç cos cp)d <p ;
par conséquent :
-Tç sinœcosç 1 . I 7r*a'
Le volume total sera donc = ir* a'.
5. Trouver le volume engendré par la cissoïde tournant autour de Taxe des x.
L'équation de la courbe étant :
on a pour le volume engendré par une portion de la courbe :
dx
En effet :
= ^ j" [ jll-x - (^ «* + 2 «^ + a^')] dx
(4 a* + 2 ax + x«)
Par conséquent :
V=it{— 8aH{2a — x) — ia*x — a x*—^\
8 a' ï (2 a — a;) — 4 a« a; — «»« - ^ 4- 8 ûM 2 a
TzlSff^^l -r 4 a* « — Qx^ — À.
'la — X 3
En faisant ce == a, on a :
6. Trouver le volume engendré par la cissoïde tournant autour de son asymptote.
On a :
V== Tzjx'^dy,
la courbe étant rapportée à son asymptote prise pour axe des y. Or, si la courbe est rappprtée à ses axes ordinaires (n** 5, p. H2), on a entre les coordonnées x et x' la relation
ac -[- aç' = 2 a ; d'où ac' «= 2 a — x,
et, par conséquent, la formule du volume sera :
V= TT ("(2 a — x)Vî/.
De l'équation de la courbe :
on tire :
.(3 a T— çiùi/ 2 ax — .r* .
d'où ;
V= TT (3 a — x) i/2 ax — ac«.
Sa
== TT a' arc cos ^ — • \ / 2 ax — x*
Le volume engendré par la courbe entière = 2 tî* a'.
7. Trouver le volume engendré par la révolution d'un cercle tournant autour d'une droite située dans son plan (iîg. 10):
La droite autour de laquelle la révolution s'effectue étant prise pour axe des x, l'équation du cercle est :
Si l'on désigne par Y et j/ les deux ordonnées MP et WV correspondant à une même abscisse P = x, on a :
V=7tJ(Y«-î/«)dx. (2)
Il est facile de voir que les limites A et B de x, sont respectivement égales à a — R et a -f R.
L'équation (1) résolue par rapport à y nous donne :
ce sont les deux valeurs Y et y. En les substituant dans (2), il vient :
V= J 4 P ^/R« — (x - a)« dx = i îc pj |/R« - (x— 'a)« rfx.
Or, l'intégrale 2 1 ^^R* - (x— a)* dx exprime Taire du cercle
mobile ; par suite, le volume est égal à cette aire multipliée par 2 TT p. Le volume engendré est donc égal à Vaire du cercle générateur multipliée par la circonférence décrite parie
centre de ce: cercle. Le corps dont nous venons de trouver le volume porte le nom de Tore.
8. Trouver le volume engendré par une ellipse (fig. 11) tournant autour d^une parallèle au grand axe située à une distance c de cet axe. (On suppose c>b.)
L'ellipse rapportée au point pris pour origine a pour équation :
ou bien :
ix'^ , c*
y*-2cy + b*{--\---i]^0;
d où :
On a donc :
et l'expression du volume cherché est :
V=iïf L* - yÀ dx = ^^^j Va* - «* <ioc
2tz b c
x\/ a' — 'X* 4- a* arc sin — ^ a
En faisant x = a, on a pour le volume du demi-anneau
et, par conséquent, le volume total = 2 u* a b c.
9. Trouver le volume engendré par la podaire de Tellipse tournant autour de Taxe des x.
L'équation de la courbe étant :
on en tire :
t/* + (2 «• — 6«) 2/« + a;« (a;« - a«) -= ; iloù, en prenant la valeur positive du radical,
On a donc pour le volume cherché :
Or, on a :
mais,
+ Jv^'^* 4- 4 (a« — 6«) a;' . (iac;
r 4(a*— b>);c»dx
d'où :
^* ^ lixl/g^-^b* + t/6* + 4 (a« — 6«) a^ i^j
On a donc :
La moitié du volume total s'obtient en faisant :c = a.
Tri , 2 a^ , a|/6* + 4(a« 6«) a*
, ^* ^ 2 g |/fl« -^ 6» -f |/6* + 4 (a« -- 6«) g'
-HLb' 2a' a(2g*-b«) b* 2 gj/Sï:^»+2 g»-6«|
~2r 3+^ 2 +1^:^^^'-^^^ — bT — I
uj a(36«4-2a») -^V , /g + j/^?^^ ] \ .
~2| 6 ^iy'drrb*^ \ 6 — 'M
Le volume total sera :
ja(3 6^ + 2a>) j;^J a+t/^i^3Ti \j
10. Trouver l'aire d'une zotie sphérîque (fig. 12). La formule qui donne Taire cherchée est :
A = 2 Tc jt/ d s.
Or, l'équation du cercle étftnt :
on a :
\ ^ dxV 2/«
Par suite :
ce qui est la formule connue.
Cas particulier. — Si Ton fait Xo = 0, il vient :
A^ = 2 7î R oî, ;
enfin, si x^ = R, on a la moitié de la surface de la sphère = 2 TT R*. Donc la sphère entière = 4 tt R*.
11. Trouver l'aire de la surface de révolution engendrée par la courbe :
it' 4" 2/' = «^ j tournant autour de l'axe des x.
En posant x = a cos' 8, y = a sin' 6, valeurs qui satisfont à l'équation de la courbe, on a :
ds = 3 a sin 9 cos 6 d ô ; d'où:
A = 2 TT \y ds^ 6 Tz a* J sin* 8 cos 9 (i 9= — — sin^ 9.
On obtient la moitié de la surface totate en faisant 9 = -, ce qui donne :
A,==6 7ca* h8in*9cos9d9=— — .
12 7î a« Enfin , la surface totale = — ^ — •
12. Trouver la surface du tore (fig. 13) comprise entre deux plans perpendiculaires à Taxe de révolution.
L'équation du cercle étant :
on a :
Par conséquent, Taire décrite par A B est :
= 27îps + 2 7î 1 y/r« - (a: — a)«. (/« .
L'aire décrite par G D sera :
A, «= 271 J I (3 - Y/r*- {x - a)^ j ds
= 2 TU (3 s — 2 TT Jv/R' -(^- a)*- f's- L'aire cherchée sera = A^ + A,; on a donc :
A = A4 + Aj = 4^ P s, en désignant par s la longueur de rare AB = GD.
Si Ton fait s = tî R, c'est-à-dire égal à la moitié de la circonférence, il vient :
A=^4îc«PR = 2 7cp. 2 7tR.
L'aire totale du tore est donc égale à la circonférence génératrice multipliée par la circonférence décrite par le centre, ou bien elle est égale à la surface latérale d'un cylindre ayant pour base le cercle générateur, et pour hauteur la circonférence décrite par son centre.
13. Trouver l'aire de la surface de révolution engendrée par la cissûïde tournant autour de. l'axe des x.
L'équation de la courbe étant : y = x\/-^ , on a :
Vt^'-I^-^*
(2 a - xy
dx.
En posant 5 a — a? = r a cos cp, il vient :
32 7c g V3 f (1 - cos cp) sin^ cp
3 J (l + 2cos<f)« "f
^ 8-.a>p/1 r/ 3(coscp4-2) \
3 JV^^^ '^^(l + 2cos(p)«^''*
8îca*i/3. .
. g!^(sm <p - 2) +4« a» i/3^J i|.2cos? ' ^J (l+2cos<p)«.
On trouve facilement, en posant tg ^ ¥ = ' •
(i+'icos,.) ^/3 ^/s, y^ i/3 tg%
(l + 2cos<p)» 3 1 .6 1
3— t|;'-<p |/3-tg2?
Par suite :
Stî a* ^
A= 3- (sijicp — 2<p)i-4uaM —
l/'* |/3-tg^<p
tg - (p 1/3 + tg - cp
-f- 8 w a» l/3 2 H aM
3— tg«^? 1/3 — tg^î
8Tca«r i/'3p.-x(8a-3x) , .j^zzif]
-f 2T:o»i +8«aV3
oca^^ix xj / /g^3^), — arccos
Applications.
i . Le volume engendré par une ellipse tournant autour de
son grand axe est V= -izab^.
2. Le volume engendré par la tractrice tournant autour de Taxe des ic est V= ^--.
