XIII. — Volumes et surfaces des corps de forme

quelconque.

La formule qui sert à exprimer un volume quelconque est :

V= J Jz dxdy , ou mieux :

V= J J{z^ — z^)dxdy,

Les valeurs z^ et z^ sont deux des racines réelles de l'équation :

F(rr,2/,^) = 0,

qui détermine la surface donnée.

Limites de y. — On imaginera un cylindre parallèle à Taxe des z et circonscrit à la surface. L'équation de ce cylindre servira à déterminer les limites ?/i et y, qui sont les valeurs maximum et minimum de y correspondant à une même valeur de a;.

Equation du cylindre circonscrit. — Le plan tangent à la surface a pour équation :

comme il doit être parallèle à l'axe des ^, pour être aussi tangent au cylindre, on aura la condition :

En éliminant z entre les deux équations :

on obtient Téquation du cylindre :

laquelle déterminera les valeurs y, et y^.

Limites de x, — Ce sont les abscisses des plans tangents à la surface parallèles au plan des y z^ ou bien les distances de ces plans au plan des y z. Elles correspondent aux tangentes à la trace du cylindre, parallèles à l'axe des y, ou perpendiculaires à l'axe des x ; on aura donc :

-— = oo, ou bien — *-= 0, puisque dx dy '

dy dx

dx d^

dy Par conséquent, Téquation

dy servira à éliminer y de l'équation '|> (x^y)^=^0^ et l'on

obtiendra une équation cp (x) = 0, dont on tirera les valeurs linnites ar» et x^.

Remarque. — Il est quelquefois très avantageux, lorsque Ton recherche le volume d'un corps, d'employer des coordonnées polaires.

On peut décomposer le corps (fig. 14) en éléments infiniment petits par des plans passant par Taxe des 2^, et des cylindres ayant pour axes Taxe des z. L'élément de volume est alors un prisme infiniment petit, ayant pour base npqr^ et pour hauteur mn. Or, en désignant par On = p un rayon vecteur, et par x On^iù l'angle que ce rayon fait avec Ox, l'élément infiniment petit compris entre les rayons vecteurs correspondant aux angles w et iù '\- diù, et les cercles correspondant aux rayons vecteurs p et p -}- cfp, a pour surface :

p dp diù.

Le volume du prisme sera donc :

dS = 2'p diù dp ,

et le volume total aura pour expression :

v=rGpd(odp. (A)

Il est bien évident que Ton doit exprimer z en fonction de p et (0, au moyen de l'équation de la surface :

^ = F (.r, y\ et des formules :

X = p cos (0, 1/ = p sin (0 ; par conséquent :

^ = F (p cos (0, p sin w).

Limites, — On intégrera dans la formule (A.) d'abord par rapport à p, en considérant w comme constant, et entre deux limites qui seront les valeurs de p qui, dans Téquation de la courbe limite (trace du cylindre circonscrit à la surface sur le

plan des xy), correspondent à la valeur considérée de w, c'est-à-dire à une valeur quelconque de w. Quant aux limites de (0, ce sont les valeurs extrêmes de cet angle, ordinairement

Oet-.

La formule à employer pour la détermination des surfaces courbes est :

A=||dxrf2/Y/l + p* + q«.

On peut aussi employer les coordonnées polaires. La formule est alors, comme on s'en assure facilement :

A = fjp cfp d(ù l/l + p* + q\ (B)

Quelle que soit la méthode employée pour la détermination de la surface, les limites se trouvent de la même manière que ci-dessus. Nous allons d*ailleurs faire des applications des deux méthodes.

1. Trouver le volume commun au paraboloïde et au cylindre dont les équations sont :

X* -}- y* = 2 ax, La formule nous donne :

f\/'2ax — X*

= J dxj i

V= j dxJ dy [/4 ax — y'^'

Les limites de y sont données par le cylindre circonscrit à la surface, lequel est évidemment :

a?* -f y* = 2 ax.

On voit que ces limites pour la partie du volume située au-dessus du plan des ajj/ et en avant du plan desic^", sont 1/= Oet

y = [/^l ax — X*. Quant aux limites de x, elles sont x^=0, et a? = 2 a.

On a facilement :

C T- — I V \/i ax -^ V* I c%

[dyl/iax — y^-^^^ — +2

ax arc sin

par suite ,

âflx — j:*

J^/^/4(IX— î/«=-^— -5 |-2axarcsin y —^

Donc :

4 r y . T'" . t hiii—x

V= - I ic i/4 a' — X* (ia? + 2 a I ic da:. arc sin \J — r

On a :

J a; cfa;i/4 a* — ic^ = — -g (4 a« — a;*)2;J xdx\/^ a* — ^'=-3-;

OJ' àx

J a; Jo; arc sin^/ -4^=-2 arc sin^/ -j^+4 j ^/^^^^ZT^*'

or,

r x ^âx ici,/4a«~x« ,^ , .. X I --7— — = h2 a* arc sin -—

Par conséquent :

X 1/4 tt* 00^

c . . hla—x x^ . y /2 a — a?

J xJx^rc siny/ -^^ = yarc siny -^

A arc sni —

f" . , /'la — X Tt a'"

J a; (fa;, arc sin \/ ^^^ = -^ •

Enfin,

Le volume total compris entre les deux corps étant évidemment égal à 4 V, on a :

Vol. total = ^^ + 2 u a' = a' (2 ir + ^1