Trouver le volume de l'ellipsoïde

c^^^ + iabx2!+ a« (.x« + y' — a«) = 0.

Les sections parallèles au plan des ocy étant des circonférences, nous appliquerons la formule :

= jfiz)dz;

Zo

or, on a <p (^) = « R*, R étant le rayon de la section faite à la hauteur z, rayon que nous allons calculer.

En supposant z constant l'équation :

a* x* + a' 2/* + 2 a frx ;8r = a* — c* ^r*,

nous donne :

nous aurons donc :

V= -^ 1 (o* - (o* — b*) z*) de.

Pour déterminer les limites, menons deux plans tangents h la surface parallèles au plan des xy^ et cherchons leurs distances au plan des xy^ ou bien les coordonnées du point où ils rencontrent l'axe des z. Or, ces plaas devant être parallèles au plan des xy^ on doit avoir :

ou bien :

On tire de là

dY dF

dx dy

Par suite, en remplaçant dans l'équation de l'ellipsoïde :

c«^«- i/«^«- a* = 0, d'où:

On a enfin :

5. Trouver le volume commun au paraboloïde de révolution engendré par la parabole

tournant autour de Taxe des Xj et le cylindre elliptique droit :

i/*-=-^|2fla; — îc«j. (A) Le volume est donné par la formule :

ylUn..^

= I dx I dy [/^'2px — y* ;

il est, en effet, facile de s'assurer que l'équation du paraboloïde

est :

î/« -{- ig-» = 2 p X.

Limites de y. Elles sont évidemment déterminées par le

cylindre (A), lequel nous donne : y = 0, y = \ / E. Uax — xA On a facilement :