P^\/'2ax — x^ , , y hla ^x

I di/ y 2 pa? - 1/*=- ç^^ V V^ arc ^my ^^ >

Donc :

P C \ / C \ /2 a — X V= -^ — j X dx\/ 2 a j: — x^-\- p \x dx arc sin \/ — 5 .

Or, on a :

A= yxdxylax — x^^^aX dxy 2 eroJ —

— I (rt — a:) c/a; V 2 aa; — x*..

dxy iax—x^^= —- '-^ j-yarccos—^ :

j (a — x)y 2 aa: — x^ dx=^ — — (2 ^a: — x*)''^;

A= ^^ -^ 1- -^ arc cos (2 ax — ;i-) ■■^^

Cherchons : B = | a: (irr. arc sm y — r .

On a :

f . % /2a— Jc .x« . . /2a— ;r , 1 f x* hctiic arc sinv =— arcsinX/ 1 1 — =

^ ^ 2a 2 . ^ . X 4-^|/2ar

4 •' |/2 aoî — j;*'

/ic* t/x r X* dx

;= ) / , . =~ ; posant a —x=-a cos cp, 1/2 ax — x* -^ 1/ a«— fa — a?)* ' '

1/1 ax — x* •'^z a' — (a — xj on a :

j — ^ =a* j (1 4- cos* ç> — 2 cos cp) dç

• |/^'2ax-ic* J

A ^ . . * sin cocos cpi = a^ cp-2sincp-h^ + 3L ïl

3 a — X 2i/2aa; — X- (•/ — x)|/2riic — x^\

==a' { -arc cos \- —r >

Mais,

d'où :

x'^i a — XI . 3a* a — x a. /" ~"

13 = -— 7î — arc cos A — —-arc cos -V/ Ifix — x^

(a — x) 1/2 ux — X*

Enfin,

V (x — a^v/^lax — x* . a' a — x

— a= ^i Î-— 4- —arc cos

1 , .• / " . TTic* x^ a — X

— -rr- (2 ax—x^)\/ 2 ox — ic* + "i 7 arc cos

,3 a* a — aï a% /" I , (a — oc)\/^ ax — a?' + -g-arccos y/2aa? — ic*H g

TTic* , 5a*— 2ic' a— a; , 4a;*— 5aaî— 15a* y- r-

•= — r-H t; arc cos rrz 1/2 ax—x^.

En faisant a; = 2 ^, on a pour le volume total compris dans le cylindre :

r4 ir a* 3 7î a*"! 5 ir a*

6. Trouver le volume commun à deux cylindres circulaires droits égaux qui se coupent rectangulai rement. Les équations des cylindres sont :

ic* + î/* = a*, y* -|- ^* = a*.

La formule (Â, p. 124) nous donne dans le cas actuel :

it a

p diù j iXa* — p* sin* w. p dp,

puisque : isf = l/à^ — y* = |/a* — p* sin* w.

11 est facile de voir que les limites de p sont et a, si Von ne considère que la huitième partie du volume total.

En effet, l'équation a;* + t/* = a*, nous donne :

Quant aux limites de (o elles sont et - •

On trouve facilement :

a' — p'sin* w. pc?p = — -

1 a'cos^u) . 1 a'

3 sin*u) ' 3sin*(o'

par suite :

Or,

1 — cus'o) = —

a' Icos'wrfu)

3;sin«w 3

sin*(o

r d(ù __ J sin* (0 fcos' (0 du) ^ /"cos tad(ù Ç J sin'o) J sirl^w J

cotg u) ,

sin'o) Donc,

cosw do) = — — : sin w.

sinco

V=— — cotgw-^ — : hsino)

3 1 sino)

-lit

4 — cos 0) sinco

-f sino)

^ ,. 1 — coso) sino)

Car, lim — : = lim =0, pourw=0.

sinu)

COSO)

Le volume total =

7. Une sphère est coupée perpendiculairement à l'un de ses grands cercles par un cylindre ayant pour diamètre le rayon de ce grand cercle. Evaluer le volume de la portion de sphère comprise dans ce cylindre (fig. 15).

Les équations des deux surfaces sont :

ie* + 2/«+^« = a% (1) ic* + y» n= ax. (2)

Nous emploierons les coordonnées polaires, et nous aurons :

Or, de l'équation de la sphère, on tire, pour la partie au-dessus du plan desxy^

Les limites de p sont données par Téquation (2) : (o étant l'angle du rayon vecteur quelconque Om avec OA, les limites de p sont p = et p = a cos w. En effet, Téquation (2) donne :

p« s= ap cos w.

Les limites de w sont w = 0, et w = -. On a donc :

iir ma cos iù mit

2 I là

V=J dis>] y/a'- p^ p dp =J dco j - ^ (a* - p*]^

.acosco

pour la partie du volume située au-dessus du plan des xy, et en avant du plan des xz.

Le volume au-dessus du plan des xy sera le double de V :

Enfin le volume total qui comprend la partie au-dessus et celle au-dessous du plan des xy, sera :

8. Trouver l'aire de la sphère (fig. 16) dont l'équation est :

On en tire :

par suite,

z l/R* — ce* — 1/* On aura donc :

Limites. — L'équation du cylindre circonscrit à la surface étant :

x^ + 2/' = RS

les limites de y, relatives à la huitième partie de la surface de

la sphère sont : i/ = et y = |/^R* — ac*. Les limites de x sont, comme on le voit facilement, a; = 0, et a; = R.

Or,

C dy .y

— — = arc sm — + const. ;

dy -TT

On a donc

l/R« — rr* - y*

u R fR -r: R*

L^aire totale = 8 A = 4 tt R*.

9. Trouver Taire de la portion de sphère détachée par le cylindre, dans l'exercice 7, page 133.

Si nous employons les coordonnées polaires, nous aurons :

— im —

A= CJp jp </wy/i + p' + ./« .

Or.

donc,

7c a cos (1) ic

/"â rtCOSlO

A = a Idwl— 4^L= = «|(— \/a«- p'Uw

1t It

'2 râ

= a I rfd) (a — a sin w) == a* I (4 — sin w) rfw := — - — a*.

Telle est l'expression de Taire détachée au-dessus du plan des xy et en avant du plan des xz. L'aire complète au-dessus du plan des a?*/ est = 2 A = tc a* — 2 a*.

L'aire de la portion restante du quart de la sphère sera :

7c a* — (tt a« — 2 a*) == 2 aV

Si l'on imagine un second cylindre ayant pour diamètre de sa base le rayon OA' directement opposé à OA, la surface détachée par ce second cylindre sera égale à la surface détachée par le premier. La surface totale détachée de la demi-sphère par ces deux cylindres est donc :

La surface restante sera alors :

2 Tc a* - S = 4 a«,

c'est-à-dire qu'elle est égale au carré du diamètre de la sphère. Si l'on considère les deux cylindres et la portion qu'ils détachent de la sphère entière, portion qui est évidemment = 2 S,

on aura :

et la portion restante sera égale à deux fois le carré du diamètre de la sphère.

40. Trouver la surface commune à une sphère et à un cylindre droit dont l'axe passe par le centre.

Les équations des surfaces sont :

a;* + î/» + ;^* = K«, On a pour la huitième partie de Taire cherchée :

formule dont les limites sont faciles à déterminer, puisque le cylindre donné x* + y* = a', est le cylindre circonscrit à la portion de surface qu il s'agit d'évaluer.

arç sin\/

Par conséquent :

A = RJ dx. arc sm y ^^g^, ;

mais,

Ida;, arc smV = aparcsmV

J R« — a;* R«— ce»

r |/R^— a^ag^dx

En posant a; = a sin cp, on a :

/x^dx r a*sin*cpdç> /• R*d<p __ /•

(R«iïjî)j/a^ — a;« Jr«— o«sin«cp Jr«— a*sin«(p J

j R« cos' <p 4- (R* — a») sin* çp ^ ^ tg9l/R* — o*

^^'ri/rti:^^'-'' *« -^^^^ "P'

par suite,

J da; arc sinV ^,Z^« =(* *'*° ^'"^ r«Z^« ;

'2 it

. tg <p l/R» — a' + Ri arc lg-*X»l

=ï^-i-iv/i^*-«*-?(ï^-\/^'-i-

Donc : . irR

et l'aire totale = 8 A = 4 tt R JR— \/r« — a« j •

Cas parliculier, — Si a "= R, on retrouve l'aire de la sphère = 47: R*, ce qui est évident.

Applications

4. Trouver le volume commun à deux cylindres circulaires droits égaux qui se coupent rectangulairement. (On fera usage des coordonnées rectangulaires.)

2. Le volume de la portion du cylindre ayant pour base le cercle {x — a)* -{-{y — [3)' = R*, comprise entre le plan des

xy et le paraboloïde z = — |- y, est donné par la formule :