en éliminant les différentielles dx et dy

I (y-yo)cos7-(g-^o)cQSp+/?[(a?-a?o)co9p-(jr-yo)c09«]

(z-2o)cosa-(a?-dgo)cos7+y[(a?-a?o)cosp-(j^-j^o)cosg]

cosp-f7COS7

Telle est l'équation aux différences partielles de la surface conoïde. Au reste » cette même équation peut être présentée sous une forme plus simple que nous allons faire connaître.

Si fon élimine dz , %.• entre les équations (16) et (17), s.* entre les équations (1) et (17), on trouvera

(cosacosiV — cos7CosZ.)^^-4" (<^o*P<^<>9Ar — cos7COsll)rfy = 0,

(cosL + pcosN)dx 4- {cosM + qcosN) dy=.o; puis on en conclura

. . CO9aCOsAr-C0S7008L C08pCOSiV-C087C08ilf

cosL+pcosiV cosiUf+^cosiV

D'ailleurs, les fractions que renferment les deux membres de la formule (ts) étant cigales » on obtiendra encore une fraction équivalente à chacune d'elles, si Ton divise la somme de leurs numérateurs par la somme de leurs dénominateurs» après avoir multiplié les deux termes de la première par cosa , et les deux termes de la seconde par cosp » ou bien les deux termes de la première par x^-Xo * et les deux termes de la seconde par y-^^yo* Cela posé, on tirera de la formule (s s) , en ayant égard aux équations (17) et (i 8) du § i»

cos'g+cos'^+cos'y (x-Xpjcosa-f (/-jo)cosp+(g-go)co87

pcosa+^cos^-cosy A^(j:-Xo)+7(y-jo)-(«-25o) *

ou , ce qui revient au mémo »

(i/|) p{x'Xo)-k'q (^-j'o)-(2-5o) = (/?co8 a+^cos? -CO87) [(«-a?o)cosa+ {y-yo) cos?+ («-«„) CO87)] .

Telle est , sous la forme la plus simple , l'équation aux différences partielles de la surface conoïde. J'ajouterai que» pour établir directement cette équation» il suilirait de projeter la distance du point [x^tyot 2^0) au point {x»y» ^ > i*" sur l'axe de la surface conoïde » 2.® sur la normale menée à la surface par le point {x^y, z) , et d'observer que la seconde projection , devant être égale en longueur à la perpendiculaire abaissée du point {x^fy», Zo) sur le plan langent» a nécessairement pour mesure le produit de la première projection par le cosinus de l'angle aigu compris entre la normale et l'axe.

Dans le cas particulier où l'on suppose a = — , ? = — , 7 = 0, Xo=^o» yo = o, 2^ = 0 , la formule (94) se réduit» comme on devait s'y attendre» à l'équation (i5)»

4.* Exemple. Concevons que l'on demande l'équation aux différences partielles d'une surface de révolution. Si cette surface a pour axe Taxe de z , le cercle générateur sera représenté par les équations (34) du § 1 » desquelles on tirera

(s5) xdX'\'ydy = o , dz = o.

(5?) Or on condari de ces dernières» sobsiituées à la formale (4)» el combinées avec Téqoalion (i)»

On arriverait à la même conclusion , en observant que, dans Thypolbèse admise la normale menée à la surface par un point quelconque {^^yfS) doit toujours rencontrer Taxe des z » et qu'en conséquence la projection de la normale sur le plan des X , y doit passer par Torigine. En effet » si Ton nomme S , «a » ( les coordonnées courantes de la normale , cette droite sera représentée par la formule

et, pour que sa projection sur le plan des x , j passe par Torigine, il suffira que l'équation

soit vérifiée par des valeurs nulles de S et de n. En d'autres termes , il suffira

que Ton ait — = — > ou , ce qui revient au même » — = — . p q X y

Supposons maintenant que Taxe de révolution coïncide avec une droite menée par le point (xo»^o,^o)f de manière \ former» avec les demi-axes des coordonnées positives 9 les angles a , ^ » 7 . Le cercle générateur pourra être représenté par les formules (36) du S 1, desquelles on tirera

(ag) (« — fl?o) d9 + {y — Jo) ^O" + (* ~" ^o) rf« = 0 , cosadx 4" cos^dy + 0037^^ = 0 ,

et par suite

(j-yo)c087-(»-*o)co8p (z-eo)co8a-(«-aJo)co87 (a?-a;^)c08p-(j-jro)C08a '

Or on conclura de la formule (3o) , substituée à la fornrale (4) » et combinée avec l'équation (1),

(30 p[(r-jro)cos7-(i-*o)cosp]+7[(«-;fo)co8a-(x-a:o^cos7] = (ar-Xo)cosp-(7-7o)co8«. Telle es! l'équation aux différences partielles des surfisices de révolution. On pourrait

(58) «Dcore établir cette ëqaation, en exprimanl qaè la normale menée à une lemblable surface par un point quelconque {x , jr, z) rencontre toujours Taxe de réTolution. En effet, si Ton nomme ( , n , C les coordonnées courantes de cet axe , on aura

(Sa) g-^o n-yo ^}z^^

cosa cos§ COS7

D'ailleurs» pour que la normale rencontre Taie» il snfBt que les formoles («7) » (5a) puissent être vérifiées simultanément par un système particulier de râleurs de C , q , C« Or, si Ton substitue» dans la dernière formule, les râleurs de (» n , tirées de la première , on trouvera

cosa cosp COS7

(^-^o)(co»P-*-yco87)-(j^"yo)(co»«+pcos7) + (g"go)(pcosp-yco8a)

et par suite on obtiendra l'équation

(33) (x-a?o)(C08p + ^CO87)-(j-yo)(C0Sci4"PCOS7)4"(«-^o)(pC08p-7C0Sa)=0 ,

qui coïncide évidemment avec la formule (Si). Dans le cas particulier où. Ton suppose 0= — , p=— , 7 = 0, «0 = 0,

y^ = o , 2;o = o , la formule (5i) ou (35) se réduit, comme on devait s'y attendre , à l'équation (a6).

Si l'on faisait mouvoir dans l'espace non plus la ligne que déterminent les équations (3) du § 1 , mais celle que déterminent les formules (5o) du même paragraphe , la surface engendrée par le mouvement de cette ligne pourrait encore être représentée par une ou plusieurs équations aux différences partielles , qui ne renfermeraient pas les fonctions arbitraires 7, x» 'I'» ®^<^ Seulement ces équations aux différences partielles seraient en général d'un ordre supérieur. au premier. Ajoutons que^ pour les obtenir, il suffirait de considérer, dans les équations (3o) du § 1, z et Q comme des fonctions des variables indépendantes x , y ^ puis d'éliminer les quantités

,-,. ^ dc dQ d-e d-e rf'c . (^^) ^' ir/ 1^' "rf^' "^rfT' -"rfj^' ^^^••••'

(35) { x(G), X'(e). X%G)y etc.,

GtC

entre les équations (!o) et celles qn'on en dédoit par des différenciations relatires soit k la rariable x » soit k la rariable y. Supposons, pour fixer les idées, qae Ton dé* signe psft m le nombre des fonctions arbitraires

(36) f(G), X(G), HQ)^ etc.,

et par n un nombre entier quelconque. Si des séries (34) él (35) on exclut celles des dérivées partielles de Q , et celles des dériyées de 7(0) » x(G) » 4'(G) t ••• dont Tordre est supérieur à n , le nombre de termes de la série (34) se réduira simplement au produit

(il-H)(n+a)

et le nombre des termes comprb dans les séries (35) , h

D'autre part, si Ton joint aux équations (5o) du § 1, leurs dérivées d'un ordre inférieur ou égal à n , on obtiendra en tout

équations; et Ton pourra, entre ces dernières, éliminer les différents termes compris dans les séries (34) et (35) » dès que le produit (^ + 1) (^ -4^ 2) surpassera la somme

■ ' + (^ + 0 ^ » ou , ce qui revient au même , dès que le nombre J- 1

surpassera le nombre m. Or, cette condition sera remplie, si Ton prend n:=z^m — 1» et alors Télimination produira m équations aux différences partielles qui appartiendront toutes h la surface ci-dessus mentionnée.

Lorsque les équations (5o) du $ 1 renferment une seule fonction arbitraire ^{Q), et se réduisent à k

(57) A«^>y>«*G/?(G)3 = 0 , -F[«,ji«jGif (G)] ^Of

(4o) en joignant à chacune de ces équations ses deux dérivées partielles du premier ordre , on obtient en tout six équations entre les quantités

et l'élimination des cinq dernières de ces quantités , entre les six équations dont il s'agit , produit » comme on devait s'y attendre » une équation aux différences partielles du premier ordre entre les variables indépendantes x , j et Tordoiuiée z considérée comme fonction de ces variables.

Lorsque les équations (5o) du § i renferment deux fonctions arbitraires f (G) j xiC) » et se réduisent à

(38) fl^9jr,hQ,^{Chx{Q)^ = 0 , F[x,j,t,e,f{Q),x{Q)] = o ,

en joignant à chacune de ces équations ses dérivées partielles du premier et même, du second ordre , on n'obtient en tout que douze équations entre lesquelles il n'est pas possible d'éliminer» du moins en général, les douze quantités

Mais, en 8'éle?anl jusqu'aux dérivées du troisième ordre, on obtiendra en tout vingt équations entre lesquelles on pourra éliminer les quantités (3g) avec les suivantes

et l'élimination produira deux équations aux différences partielles du troisième ordre entre les variables indépendantes x ^ y et la variable principale z .

Il est bon d'observer que » dans certains cas » l'ordre des équations aux différences partielles produites par l'élimination des quantités (54) et (35) entre les formules (3o) du § 1 et leurs dérivées successives , peut s'abaisser considérablement. Supposons » par exemple, que- ces formules renferment trois fonctions arbitraires 7 (G) , x(C) » ^(G)* Gomme on aura , dans cette hypothèse , m==3, sm — in^S, il faudra généralement, pour effoctuer l'élimination des quantités (34)» (35)^ s'élever jusqu'aux dérivées du cinquième ordre , et celte élimination produira trois équations aux différences partielles du cinquième ordre entre se , 7 et s . Mais , si Ton établit entre les fonctions ?(£) » X(G) > ^'(G) les relations

( 4i ) x(G) = ?'(©). +(C)-?'(G), ou , ea d'autre» lermM » si les formules (3o) du $ i se réduisent à

(40 f{',y,*Mewiewien=o, i^t«,y.«,T(G).?'(G).f'(G)]=o.

alors, en jouant k ces formules leurs dérivées du premier et du second ordre, oo «btiendra en tout^douie équations entre lesquelles on pourra éliminer les onie quantités

et rélimination prodaira une «eale équation aax différences partielles du second ordre entre les variables indépendantes x , j et la variable principale s. Donc la sor* face engendrée par la ligne qne représentent les formules (4i)f sera représentée ellemême par une équation aux différences partielles du second ordre , qui ne renfermen plus k fonction r » ni ses dérivées. Parmi les surfaces de cette nature » on peut mmarquer celle qui aurait pour génératrice la normale principale d'une courbe h double couriiure , dont les équations seraient de la forme

({x) désignant une fonction donnée» et jp(a9) une fonction arbitraire.

Considérons encore la surface développable qui aurait pour génératrices les diverses finîtes qpe l'^n peut mener h une courbe à double courbure. Si Ton représente par

(44) •=fW5 y=xW

h courbe dont il s*agit; la droite qui toucbera cette courbe au point dont les coordonnées seront

(45) s=et •=?(©) I r=x(G)# pourra Atre représentée par la formule

Donc , pour obtenir Téquation finie de la surface développable engendrée par cette droite » il suffira d'éliminer la constante arbitraire G entre les deux équations comprises dans

lUe'AHllftB. €

fa formule (4G)« Au reste ^ cette éliminalîon ne peut être effisctuëe qu'après la détermination des fonctions arbitraires <p(0) » x(G) » desquelles dépend la construction de la surface.

Soient maintenant p* q f r , s , i les valeurs des dérif ées partielles

dt dt d*t d*t d*t

queiburnit l'équation de la surface développable » après une on deux différenciations rclatiyQS aox yariables indépendantes x , jr. La.fqjrmule (i) dofrt être v^ifiée par les Taleurs de dx , dy , dz tirées de la formule (46); et» cemme €elle-ei donnera

ou > ce qui revient au même »

<i« dy di

on trouvera définitivement

(49) •=/'?'(€) +7X'(G), et

(50) *-G=/'t«-?(G)] + ff[jr-z(G)]-

D^no réqii«tioo .{ia) appartiendra «B«ore It U fiwfitct déT«l«pp«ble , si l'on y rq|«rde Q, , comme une quantité variable déterminée par l'équation (49) • Or, dans ce cas , si l'on différencie l'équation (5o), 1.* p^r rapport & a;^ «.* por rapport à y, les cociBcient»

de -—- ou 4c «-^ — seront é^ux dan^ les ({eux membres , et l'on aura par suite

I 0 = *[«-, (G)] + /tj-;

puis Ton en conclura , en éliminant la quantité Q ,

Aiàsi, quoique les équatfons de la génératrice d'une snrfiice déreloppabfe renferment à^xtn fonctions arbitraires et leurs dérivées du premier ordre» cette surface peut être repré-

(45) 86nlée par une éqnalioii aux différenceê parlielles qai ne éoDHenne plus d^ fonctièiid tetbilrairea, et qui âôi( dû èecood ordre «eulement.

S 3. Sur les directrices des surfaces engendrées par le mouvement des lignes.

Loraqu'une aurface eat engendrée par le mouvement d'une ligne droite ou courbe, dont lea équationa renferment une fonction arbitraire» on peut déterminer celle fonction de manière que la aurface passe par une ligne donnée qui s'appelle alors direoi^icê^ On y parvient en effet de la manière suivante.

Supposons toujours la génératrice représentée par les équations (3) du § i^ c'est-àdjre« par 1^ formules

dans lesquelles v, w désignent deux fonctions déterminées de x, jr, z, et ?(C) une fonction arbitraire du paramètre Q • Soient d'ailleurs

(a) ({x,y,t)—o, T{x,jr,t) = o,

les équaliobs de la directrice , ou » ce qui revient au même , les équations de deux surfrces qui la renferment. Pour déterminer la nature de la fonction 9 » il suffira dW sujettir chaque génératrice h passer par un point de la courbe (s). Donc la fonction 7 devra être choisie de manière' que les formules (1) et (2) soient vérifiées simultanément par un système unique de valeurs de x , y , z. Par conséquent, la valeur de 7 (G) se déduira de l'équation produite par l'élimination des coordonnées x , y , z entre les formules dont il s'agit. La nature de la fonction f{Q) étant ainsi déterminée» l'équation (4) du $ 1 » savoir »

(3) tp = ç(r)

ne renfermera plus rien d'arbitraire , et l'on pourra construire la surface que celte équation représente.

Si Ton voulait déterminer la fonction <p comprise dans les formules (1), de manière que la surface (3) fût circonscrite à une surface donnée , il faudrait cbercher d'abord les équations de la ligne de contact des deux surfaces » et l'on pourrait ensuite opérer , comme^n vient de le dire » en prenant pour directrice la ligne dont il «'agit* Or «oit

(44) l'équation de U surface donnée, u désignant une fond ion connue de x , y, *é La normale , menée h cette surface par un point quelconque (a?» j« s) de la ligne de contact, formera, avec les demi-axes des coordonnées positi?es, des angles dont les cosinus seront proportionnels aux dérivées partielles

du du du

tandis que la tangente, menée par le môme point à la génératrice de la surface (3) , formera , avec les mêmes demi-axes , des angles dont les cosinus seront proportionnels aux râleurs de

que fournissent les équations (3) du § s. D'ailleurs, comme la tangente et la normale dont il est ici question sont toujours perpendiculaires l'une h l'autre , le cosinus de Tangle compris entre ces deux droites se réduira nécessairement à xéro. Donc , si l'on multiplie deux k deux les quantités (5) par les quantités (6) , la somme des produits sera nulle , et l'on trouTora

On arriverait k la même conclusion en observant que , pour chaque point de la courbe de contact de la surface donnée et de la surface (3) , les normales h ces deux surfaces (doivent se confondre , et qu'en conséquence les quantités (5) doivent être proportionnelles aux cosinus des angles formés par la normale à la surface (3) avec les demi-axes des coordonnées positives , on , ce qui revient au même , aux quantités

/9 et f désignant les valeurs de 7~ ^^ 3~ tirées de l'éqoation (3). En effet, si, après avoir posé la formule

on substitue les valeurs de p » f déterminées par cette formule dans l'équation aux différences partielles de la surface (3), c'est- &- dire, dans l'équalioo (5) du $ a, on retrouvera l'équation (7).

L'équation (7) d<;vant être vérifiée , en même temps que l'équation (4) , pour tous les

points do la ligne do contaol » le* deux équalions réunies suffiront pour représenter cette même ligne, qui, dans l'hypothèse admise, deviendra la directrice de la surface (5).

Quoique les méthodes ci-dessus indiquées conduisent h des solutions fort simples des questions que nous nous étions proposées, on peut simplifier encore les calculs qu*eugç l'emploi de ces méthodes. On y parviendra effectivement k l'aide des considérations suivantes.

GonceTons que l'on demande l'équation de la snrfac^oi a pour génératrice la ligne représentée par les formules (i) » et pour directrice la ligne représentée par les formules (a). On pourra continuer h se servir des lettres x, j, 9 pour désigner les coordonnées courantes de la directrice, et employer de nouvelles lettres ( , n , C pour désigner les coordonnées courantes de la génératrice menée par le point (x , j, z). Cela posé » si l'on nomme V tX W ce que deviennent les quantités v eï w quand on y remplace m, j, 9 par (,«,(« les équations de la génératrice deviendrout

(lO) ^ = v, ^ = w,

tandis que la directrice sera toujours représentée par les formules (s). Or, si Ton élimine X, jr et tt entre les formules (à) et (lo) , on obtiendra une équation qui renfermera les seules coordonnées (,«,(, et qui sera vérifiée pour un point quelconque de Tune quelconque des génératrices. Donc cette équation sera précisément celle de la surface ci-dessus meqdonnée. '

De même , si Pon nomme ( , a , C les coordonnées courantes d'une surface , engendrée par k ligne que représentent les formules (i) , et circonscrite à une autre surface qui serait représentée par la formule (4) » il suffira, pour trouver l'équation à la^ quelle doivent satisfaire les coordonnées ( , n , C » d'éliminer jx ^ y » z entre les formules (4) , (7) et (lo).

11 est bon d'observer qu'a 01 équations (10) on pourrait substituer un système quelconque de deux équations qui seraient 'propres k représenter la génératrice menée par le point (âs, 7, s) de la directrice, les coordonnées courantes de la génératrice étant toujours désignées par les trotl lettres ( , n , (.

Appliquons maintenant les principes que nous venons d'établir à quelques exemples.

1.** Ex€fnpU* PropoaoïM-nQUs d'abprd de faire passer par une directrice donnée une surface cylindrique dont la génératrice forme » avec les demi-axes des xe , j^ et z positives, les angles a , p , 7. Les coordonnées C » 1 , C de la génératrice menée par le point (s » j, «) de la directrice vérifieront les deux équations comprises dans la formule

^ co«a cosp C0«7 '

Donc^ si» eulre celte formule et les équatioDS de la directrice^ on éfimiDe x , y ^ z , TéquatioD résultautc, qui renfermera seulement S « « , C» sera précisément celle de la surface cylindrique.

Concevons à présent que li^pirectrice soit une courbe plane. Désignons par k la longueur de la perpendiculaire abaissée de Torigin^ %\xt le plan de cette même courbe , rt par ^ > [a , v les angles quts (orme celte perpendiculaire' atéc les d^mi-axes des coordonnées positives. Enfin nommons ^ Tangle compris entré la perpendiculaire en question et la génératrice de la surface cylindrique , en sorte qu'on ait

(12) co^^ = C0&aC0S> -f' oospcosp 4* COé7C0Sv .

Les équations de la directrice seront de la forme

(l5) 9CO%\'\'yZO%iL'\rZ00%'ê'=:zk^ F(flP,7,x) = 0.

Cela posé, on tirera de la formule (1 1) combinée avec la première des formules (i3)

/ /\ 5"^ *»"/ 5"* (Ç-a?)C08X+(i|-T)C0SLi+(Ç-z)cOSv ÇcosX+>ïcosu + Çco8v-4

(Icf) I Tn • I I Ti ^| I II II I I II

cosa cos^ C097 cosacosl+cos^cosfi+cosvcosv ces} '

et par suite

cosa

coso

a: =Ç— — -|-(ïcosX + iioosf*4-Ç€0^**-^)»