CD
j = *î Y (ScosX + 'icosfA -f- Çcosv : — k\ ,
puis , en substituant les valeurs précédentes de x , y ^ z dans la seconde des formules (i3) , on obtiendra l'équation de la surface cylindrique , savoir,
(16) F[ï-^(Çcosl+nCosp+Çcosv-Ar), „-^2î|(çcos>+etc,-*), ?;^*22î|(Çcos>+etc.-it)]=o.
Lorsque le plan de la directrice coïncide avec le plan des x , y^ elle peut être re présentée par deux équations de la forme
(Si
(17) ., «.=^0t -.fi^jy — o;
ei réqu9tioR de la surface, cjlindri^ue, c'^^'^-direif ré^ualion produite par l'élimiiia- UoD de X, y, \z .mit^ les iToroiiuIês (1 1) et (1 7) » se réduit k
l gcosy-Çcosa ncoyf-Çcosp \ (10) ri ■ ' ■ > t ■>■ ■ I ■ i p=o.
^ ' \ 00S7 co*7 .>/ - /
Concerons» pour fixer les idées, que la directrice toit une «)(ipB« coaqiriiB dam le plan des x^ y, et représentée par la formule
(•9) 7r + fr = '.
L*équation (18) devieodra
/ X ({cosy-j;coa«)» . (nço^y-ÇiJos^)»
(ao) -^ tjj4i ^ 4- -^ ^; ^'' =»C08*y .
Supposons maintenant que la surface cylindrique doive être circonscrite à une autre suHace représentée par l'équation (4)* Gomme ^ çn chaque point 4^ la courbe de contact des deux surfaces, la génératrice de fa première et la normale à la seconde se couporonl à angles djmt^p 1^ çoordoméof m» y, z de oet(# 4oitf))fi ?érifieront éfidemment les deux équations
(ti) ^r^09 ~- cosci + -T- cosp 4- :r' ^^•v = ^ '
tl9 dfy (ts
dont la seconde aurait pu être immédiatement déduite de la formule (7). Gela posé, pour « obtenir Téqnation de la surface cylindrique , il ae restera plus qu'à éliminer x , y , z entre les formules (1 1) ei (ti).
Goncevons-eii particaiier que la surfaci; cyfindrlque doiTe Çitt Circonscrite à un elli^ psoide construit avec les demi-axes a 9 b , c , et représenté par l'équation
La seconde des fomnlpéi^flu) r
(48) (a5) •^cos«+-^cosp-f.~coi7i-:o.
représentera un plan passant par Torigine , et qui coupera TelUpsoide suivant la courbe de contact des deux surfaces. De plus, on trouvera» en combinant la formule (a3) avec les formules (ii) »
(«4) .^iilfL + 2(l^ + ^=o.
puis, en ayant égard à Téquation {%^), ci;
Enfin , si Ton désigne par a A celui des diamètres de Fellipsoide qui sera parallèle aux génératrices du cylindre , on anra évidemment
(»«) -7^ + -î^ + "?- = Ttr'
attendu que l'équation (a a) devra être vérifiée, quand on y supposera
(a^) « = Acosa| yz=Rco$p, a=:itooS7.
Cela ppsé, on tirera des formules (i i) , combinées avec les formules (ai) , (a5) et (a6) ,
co8« cofp co«7 C08»« ros'P co«'7 \ «• ** e* /
ÇCOSa i}COSp CCOS7 (COSa qOOSp CCOS'/
et par conséquent
Telle est l'équation de la surface cylindrique circonscrite h TeUipsoide.
(49) Cette dernière équation peut encore être présentée sous une autre forme très-simple, et que nous allons faire c<5finaltre.
Si , par Textrémité du rayon R , c'est-à-dire , par l'extrémité du point {x , j , z) que déterminent les formules ('^7)» on mène un plan tangent à l'ellipsoïde, et si l'on nomme X , Y , Z les coordonnées courantes de ce pian , on aura
OU » ce qui revient au même ,
puis on en conclura » en ayant égard aux formules (27) ,
,- . ^COSa . ycOSÔ , ZCOS7 1
Concevons à présent qu'une droite soit menée du centre de reiiipsoîde à un point (Ç, >i, () choisi prbitrairement sur la surface du cylindre circonscrit. Cette droite coupera l'ellipsoïde et le plan tangent en deux nouveaux points dont les coordonnées x , j^ z et X , Yp Z vérifieront les formules (22) et (3o). De plus» si l'on désigne par r , s ^ t les longueurs mesurées sur cette droite , à partir du centré de reiiipsoîde^ et qui aboutissent aux trois points correspondants (x,y,z), (S > >i > 0 9 {^* ^ * ^) 9 on aura évi^ demment
Par suite , les équations (ss) et (3o) donneront
(53) • ll + ^4.il = il.
(54) iî^__+__+__j__.
