X-Xq X^Xq

Q et ç(G) désignant les valeurs arbitraires des rapports , , que I'ojé

suppose liées entre elles de telle sorte que Fune se déduise de Kautre. Si mainteuant on élimine C entre les équations (i s)» celle qu'on obtiendra » savoir»

X^Xo \X-Xo I

représentera une surface conique dont la forme et la position rarieront avec la nature de la fonction f . Il est bon d'observer que la valeur de z — s« » fournie par l'équation (i4)« ^( précisément celle qu'on détermine en égalant à zéro une fonction homogène quelconque des trois difiSrences

ac— ««f y—yof z—t..

D*ailleurs , si on prend pour sommet de la surface conique l'origine des coordonnées , ces trois di£férences se réduiront aux variables x , j, z. Donc, pour obtenir l'équation d'une surface conique dont le sommet coïncide avec l'origine, il suffit d'égaler ù zéro une fonction homogène quelconque de a; , ^ et 2.

3.* Exempte. Concevons que l'on demande l'équation finie d^une surface eanoïde, engendrée par une droite mobile qui passe constamment par un axe donné, en demeu-rant perpendiculaire à cet axe. Si l'axe dont il s'agit coïncide avec l'axe des z , les deux équations de la génératrice seront évidemment de la forme

et par suite Téquation finie de la surface conoîde sera

en sorte que l'ordonnée z de la surface se trouvera exprimée par une fonction homogène de ce et ^ , d'un degré nuL

Supposons maintenant que l'axe de la surface conoîde coïncide avec une droite menée par un point donné {XopjoiZo) » de manière à former, avec les demi -axes des coordonnées positives , des angles donnés (^ , P » y* La génératrice de la surface pourra être considérée comme produite par l'intersection de deux pians mobiles dont l'un pas-

( «9 ) serait conslammenk par Taxe de la surface , tandis^ que l'autre serait perpendiculaire à cet axe. Or , si Ton nomme X , fA , v les angles compris entre la perpendicnlaire au premier plan et les demi-axes des coordonnées positives , ces angles vérifieront évidemment la condition

(l^) COSaCOsL -f* COS^COstf 4* COS7COS/V = O j

et l'équation du premier plan sera de la forme'

(18) (» — «o)cOSL + (y — yo)cOSM + (« — «o)008iV = o .

On trouvera par suite

cosL cosM .^^ oobN

^*^' (7-70)0087- (:ï-«o)c08p (z-«o)cO8a-(«-»o)0O87 («-«o)c08p- (7-70)008 a ''

et Ton en conclura

(7-7o)co87-(r-Zo)co8p eosl (aoi , V """ """ — ^— ««. ^ ,

'^ (»-aJo)C087-(«-«o)C08«" C08fl

G désignant une constante arbitraire. Quant à Téquation du second plan , elle sera, évidemment de la forme

(ai) «cosa4-7COsp4-ico87 = Gi = f(G)-

Gela posé, les équations de la génératrice pourront s'écrire oomme il suit :

(7-yo)cos7-(^-^o)cosp ^ ^ ^eos« + jcosp + «0S7 = 9{e). ^ ' (a?-a;o)co87-(«-«o)co8«

et l'équation finie de la surface conoide sera

(«3) âPCOSa + jrcosp 4- «COS7 = f

(7-7o)^CQ»7-(^"^o)co»p

(a? - fl?b) CO8 7 - (s - «o) 008 a

Si , dans celte dernière formule , on pose a = — , S = — , 7 = 0, (ro^=o,

7o = o , :;o==o , on retrouvera précisément l'équation (16).

4«* Exemple* Concevons que l'on demande l'équation finie d'une surface de révolution. On pourra prendre pour génératrice de cette surface ou une courbe plane tournant autour d'un axé , nommé axe de révolution » et situé dans le plan de la courbe , ou , ce qui revient au même » un cercle dont le rayon serait variable» mais dont le plan resterait-

toujours perpendiculaire à Taxe doot il s'agit « et dont le centre serait situé sur ce même aie. Gela posé, admettons d'abord que l'axo de révolution coïncide arec Taxe des z. Les deux équations du cercle générateur seront évidemment de la forme

et par suite l'équation finie de la surface de révolution sera

Supposons maintenant que l'axe de révolution coïncide avec une droite menée par un point donné {x^^yot^o) > de manière à former, avec les demi -axes des coordonnées positives, dé^ angles donnés «, P» 7* Le cercle générateur sera évidemment la courbé d'intersection d'une spbèrë qtii aura pour centre le point (Xo, /09 ^o) ®^ d'un plan perpendiculaire à l'axe de révolution. Donc les équations du cercle générateur seront de la forme

(îi6) a?cosa 4-7cosp 4. zcos7= G j (« — «o)' + (r — Jo)' + (« — *o)* = ?(0 j

et l'éqnatioù fitiè de hi s^Arface dé révolution »era

(a7) (aï — a?o)« + (j^— yo)'4-(« — «o)* = T(«COSa + jrcos? + fC087).

Si l'on suppose, dans cette defnièfe , «== — , p = — , 7 = o,a5o = o,jo = o, So = o , on obtiendra la suivante

do laquelle on tirera une valeur de z semblable à celle que présente la formule (sS).

On pourrait généraliser encore les principes établis au commencement de ce parà-^ graphe, et faire mouvoir dans l'espace des lignes tellement choisies, que la construction des surfaces engendrées par le mouvement de ces lignes dépendit de plusieurs fonctions arbitraires. Considérons en elTet une ligne droite ou courbe dont les équations soient

(a8) /*(«,/»«» Gf G«» G»> G3...) = 0 , -^(«fy, tf G» G.i G«> Ga--) = o »

et renferment , avec les variables x^ y, z , plusieui^ paramètres ou constantes arbitraires Q, Qi, Gb» Gs» otc... Si l'on attribue successivement à ces constantes une infinité de valeurs arbitrairement choisies , la ligne en question changera de position ,

souvent même de forme» sans décrire aucune surface déterminée, lirais, si l'on établit, entre les constantes G » Ci » Ct y Qz » etc«.. « des relations telles que , la valeur de Tune étant donnée , les valeurs de toutes Içjb autres, «'en déduisent , si Ton suppose , par exemple ,

(ag) e,=^{e), e.=x(G). Ci—H^s etc...,

?(G) » x{0) * H^) désignant des fonotions de la constante Q ; les équations (i), réduites aux deui; suivantes

(3o) f[af,yyz,e3 9(e)yX{e)MC)y-'\^o, F[jp,j^,z,G,ç(C),x(G). + (G)>..-] = o,

représenteront une ligne dont la forme et la position seront complètement déterminées pour chaque valeur particulière de la constante Q . Donc , si Ton attribue successivement à cette constante une infinité de valeurs, la ligne en question ae mouvra de manière à engendrer une certaine surface. Or la forme et la position de cette surface dépendront évld[emment de la nature des fonctions 7 (G) » x(C) y ^ (G) *•• * V^^ ^*^^ peu^ choiinr arbitrairement. Ajoutons que» pour obtenir l'équation de la surface» il- suffira d'éliminer G entre les équations (3o) , mais qu'on ne pourra en général effectuer cette élimination qu'après avoir remplacé les fonctions arbitraires f{Q) , xiQ) » ^(O 9

par des fonctions déterminées de la constante G *

Il est bon d'observer que » dans les équations (5o) , on pourrait faire dépendre les unes des autres plusieurs des fonctions ? (G) » x (O) f 'l' (G) » • • • » e^ prendre , par e^^emple, pour f(G)* x{Q) 9 ^(Q) p ••* » des dérivées de la fonction ?(G)* Ainsi» pour fixer les idées» on pourrait supposer

x(G) = ?'(G), ^KG) = /(G), etc.

S t. BqwUiam aux diffirenecê partielUs^ des aurfkees engendrées par le mouvement

des lignes.

Considérons d'abord la surface engendrée par le mouvement de la ligne droite ou courbe que représentent les équations (3) du 3 1 • Si l'on nomme p et f les valeurs des dérivées partielles

dz dt

dx dy

que fournit Téquation de la surface» dans le cas où l'on regarde cd » y comme va-

(5« ) riables indépendantes , et z comme une fonction de ces deux yariabies , on aura

(0 dz=:pdx^qdj;

et cette dernière équation Ma toujours satisfaite » quand les coordonnées x , j , z varieront de manière qne le point (a?, j^, z) décriYO une courbe comprise dans la surface dont il s'agit. Or, si la courbe en question se confond avec la génératrice do la surface, elle aura pour équations finies les formules (3) du g i. Par suite, les difiërentielles des coordonnées de la courbe vérifieront les formules

et, comme, en faisant pour abréger

.-. p dv^dw^ ^^d^dw^ ^ dv^dw dv^dw^ ^ dv dw dv dw

: ' ~ dy dz dz dy ' ^~ dt dm dx dz ' ~ dw 7y ly dm *

on tirera des équations (s) (4)

dx dy dt

on conclura définitiTemeat de l'équation (i) combinée arec la formule (4)

(5) Pp^Qq = R.

Telle est l'équation aux difiS&rences partielles de toutes tes surfaces que peut représenter Téquation (4) du § i. Cette équation aux différences partielles ne renferme plus la fonction arbitraire indiquée par la lettre ^ , mais seulement les dérivées partielles de z , savoir, p et 9 , avec les quantités P , Q , It , qui sont des fonctions déterminées des variables x , j , z. Au reste, on pourrait déduire directement l'équation (5) de la formule (4) du § i. En effet, pour y parvenir, il suffirait de différencier cette dornièn*! formule^ i.^en regardant a; et s comme seules variables, 9.^ en regardant . / et z comme seules variables , puis d'éliminer la fonction dérivée ?'(r) entre les nouvelles équations ainsi obtenues. Ajoutons que l'on pourrait encore établir l'équation (5) , en considérant un point quelconque {Xtjr,z) de la surface dont il s'agit, et observant que, si Ton mène par ce point une normale à la surface et une normale à la génératrice, ces deux droites seront perpendiculaires Tune à l'autre. En effet, les cosinus des angles formés avec les demi-axes des coordonnées positives par la normale et In tangente en question seront proport iounels d'une part aux quantités

de Taulre aux Taleuri de dx ^ dy, dz Urées des équations (4)» et par conséquent anx quantités

Donc, puisque le cosinus de l'angle compris entre les deux droites devra s'évanouir, la somme des produits qu'on obtient en multipliant deux à deux les quantités (6) par les quantités (7), savoir,

Pp^Qq-R

devra se réduire à zéro. En d'autres termes » la formule (5) devra être vérifiée.

1.*' Exemple. Concevons que l'on demande l'équation aux différences partielles d'une surface cylindrique. Si l'on nomme a , p ^ y les angles formés par la génératrice avec les demi-axes des coordonnées positives » cette génératrice pourra être représentée par la formule (5) du § 1 , de laquelle on tirera

(8) Jl ^=^^-

^ ' COSa COSp COS7

Or on conclura de la formule (8) , substituée à la formule (4) , et combinée avec l'équation (1) ,

(g) C087 = pC0Sa-4-7C08p.

Telle est l'équation aux différences partielles des surfaces cylindriques. Pour l'établir directement, il suffirait d'exprimer que la normale menée par un point quelconque d'une surface cylindrique forme un angle droit avec Tune quelconque des génératrices de la surface.

2.* Exemple. Concevons que l'on demande l'équation aux différences partielles d'une surface conique. Si Ton nomme Xo , j'o > ^o les coordonnées du sommet , la génératrice pourra être représentée par la formule (5) du § 1 , de laquelle on déduira encore la formule (8) , et par conséquent la suivante

a?-a?o jr-jTo i-z^

Or on conclura de la formule (10) » substituée à la formule (4) » et combinée avec l'équation (1),

IIL* ann££. 5

(il) t^Zo—p{x — x^) + q{y—jo)'

Telle est Téquation aux différences partielles des surfaces coniques. Pour Tétabllr directement 9 il suffit d'exprimer que le plan tangent à une surface conique passe toujours par le sommet. En effet, si Ton nomme E , >i , C les coordonnées courantes du plan tangent mené à la surface par le point (â?,/, z) , on aura

et, si ce plan doit renfermer constamment le point (ccoi yot^^ > Téquation (is) eutraînera évidemment la formule (ii).

Dans le cas particulier où le sommet de la surface conique coïncide avec Forigine des coordonnées» la formule (ii) se réduit à

(i5) 2 = px + 7j.

Celle dernière équation est celle que fournit le théorème des fonctions homogènes dans le cas où l'on suppose que la fonction des variables x , y , désignée par z . est homogène et du premier degré.

3.* Exemple, Coucevons que l'on demande l'équation aux différences partielles d'une surface conoïde. Si cette surface a pour axe l'axe des z , lo génératrice sera représentée par les équations (i5) du § i, desquelles on tirera

(l4) — = -=^ , rf2 = 0.

Or on conclura de ces dernières» substituées à la formule (4) , et combinées avec Téquation (i) ,

(i5) ^ paî 4-77 = 0.

Cette équation aux différences partielles de la surface conoide est précisément celle que fournit le théorème des fonctions homogènes, quand on suppose l'ordonnée t équivalente à une fonction des variables x ^ y ^ homogène et d'un degré nul. On pourrait encore établir celte môme équation en observant que» si par le point {x,y,z) on mène un plan tangent à ht surface conoïde , il renfermera la génératrice toute entière , et par conséquenl lo point d'intersection- de la génératrice avec l'axe, c'est-à-dire, le point qui , sur cet axe , correspond à l'ordonnée z . En effet , si , dans l'équation (is) , on pose

on se trouvera précisément ramené à la formule (iS).

Supposons maintenant que Taxe de la surface conoïde coïucide avec une droite menée par le point (xot J^o# ^0 » àe manière à former» avec les demi -axes des coordonnées positives» les angles a^ p , y. La génératrice pourra être représentée par les formules (si) et (i 8) du S 1, desquelles on tirera

(i6) cosddW'^'COspdy'-^cosydz = o ,

(17) cosLdx^cosMdjr^cosNdz = o.

Si d'ailleurs on combine l'équation (17) avec la formule (19) du § 1» on trouvera

(*8) [{y-yo)co$y-{z-io)cosp]dx+[{z'Zo) cosa-(a?-a?„) C08y]djr+[(m-Xo) C09p-(y-yo)co9a]rfi: = 0.

Or on conclura des équations (16) et (18) » substituées à la formule (4)f et combinées afec Téquation (1) » 1.^ en éliminant la différentielle dz ,

(19) {cosa^pcosy)dx+{cosp + qcosy)djr = 0 ,

1} (/ — .^^0)0087— (2 — Zo)co8p4-/[7[(a? — a?o)cosp— (j' — yo)co8a] }^a? + { (^ — :ïo)cosa — (o? — «,)cos7 + g[{x — a?o)cosp — {y — yo)co$0L]\dy = 0 ;