IV.* AniiiK
( «oa ) Pc pTus roxprcssîon (90) s'évanouirait» et i'expressioD (91), ou
se réduirait sensiblement h 3 pour les voleurs de z dont les modules seraient de la forme
n désignaïît un nombre enlier infiniment grand. On trouverait par suite
et l'on lireruit de la formule (n4)
OU , ce qui revient au môme .
Il suflit, au reslc, pour obtenir l'équalion (177) , de remplacer, dans la formule (lÂi), X par 2ax , et de multiplier eusuite les deux membres do celte formule par e''**'''' .
Les diverses formules que nous avons tirées des équations (100) et suivantes coïncident avec des formules déjà connues, ou s'en déduisent facilement. Pour obtenir des (brmules nouvelles, supposons maintenant
(178) F(:) =sinr — azcosz ,
a désignant une constante réelle. L'équation (36) , réduite h
(179) tangr = /ii,
offrira une racine nulle, et une infinité de racines réelles « deux h deux égales, mai* afiectées de signes contraires [voyez le 1.'' volume, page 5oo]. De plus l'expression (90} s'évanouira; et, pour faire évanouir l'expression (91), ou
(lî^o)
» $\nz^azcosz
il suffira d'atiribucr au module r de la variable z des valeurs iofinimeni grandes; mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de l'équation (179). Cela posé, si Ton désigne par ±X , dbfi » ±y , ... les racines de celte équation, on aura » en vertu du 3.* théorème et de la formule (108) »
(181) sina; — axcosx= (i — *)(*""Tr) (* t) (* — Tt)
Supposons encore
(182) F{z) — {z* + b)sinz—azco%z,
a » b désignant deux constantes positives , et ces constantes étant choisies de manière que Ton ait
L'équation (36) , réduite à
az
(i84) lang3 = ^^^,
offrira une racine nulle et une infinité de racines réelles, doux h deux égales, mais affectées de signes contraires [voyez le 1." volume, page 3o6]. De plus l'expression (90) s'évanouira, et pour faire évanouir l'expression (91) , ou
I {a-^2)z5inz+{s^+b-à)cosz (i85)
Z («' + ^)sîn3-fl2C0S2 *
il suffira d'attribuer au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes , mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de {'équation (i84). Cela posé, si Ton désigne par db^ , dbfx , dbv , ... les racines de cette équation « l'on aura , en vertu du théorème 3 et de ia formule (108) ,
(186) (a;» + fc)sinaî — aa;cosx=(t — a)ajfi — — j fi A fi ;-J
Supposons enfin
(187) •F(5) = («»4-d— )cosz — a.
L'équation (06) , réduite à
(188) (c* + e— )cos5 = 2 ,
offrira quatre racines nulles. De plus, comme on lîrera de cette équation
(189) tang — = ±< > =± --,
( ao4 ) olle admettra encore» en veriu des principes établis dans le premier volume [pag. 009 et 5 10] , une infinité de racines réelles qui , prises quatre à quatre, seront de la forme
(190) 2 = Ç, 2 = — ?, « = çv/r,, «=z — çj/m,
ç désignant une quantité réelle. D'autre part, l'expression (90) s'évanouira, et pour faire évanouir l'expression (91) » ou
^^^^* 't \ («•-«--•)cos*-a '
il suflira d'attribuer au module r do la variable z des valeurs inCnimenl grandes, mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de l'équation (188)-
Cela posé , si l'on désigne par ±^ » dbf* » les racines réelles de cette équation,
on conclura de la formule (106) » en posant n = 4 >
(.9.) >(e' + e-')co.x=^(. + ff)(i + ^)(.4-^)
Revenons maintenant à la formule (67) , et prenons pour f (r) une fonction entière du degré m , qui ne s'évanouisse pas avec la variable z ; en sorte qu'on ait
(1 95) {{z) = aoZ'" -f rt.s"'-" + «,«"-* + ••• + «-.-. « + <»m .
^o » ^19 ••• tf»i~i > Am désignant des coefficients dont le premier cl le dernier difl^rent de zéro. On trouvera
ç(^\ ûo«'" + fli«'"-"« + ...+fl«-.,a?f*-«+fl^«''
puis on en conclura « en attribuant à c des valeurs très-considérables,
(196) ~j^ ;-+ -+CIC.
Cela posé , les fonctions (54) , (55) deviendront reepectivcment
( ao5 y
tin. \ l V(i\ Vl~t\ ) 1 ( aa-.<i--a*__.
9') Ti-^^+-t|-pw"'"FR"rTJ i:;? +-iTJ-Pw-F(:Ti'
et , si elles conservent des valeurs finies , z étant infini , ces valeurs seront les mêmes que celles des fonctions suivantes
(»y9) -nr\-W)~^^ï^]^ — ^^' — \W) — ïwr
Donc roxpression , représentée par </ dans le théorème i.**, sera de la forme
^o désignant la limite vers laquelle convergera généralement la fonction , , a„. F'(ï) , , a,.,. ( ¥'(,*) , F^(-«) >
tandis que s deviendra infini , et ^. désignant la limite de la fonction
Enfin , dans la formule (6s) , la fonction sous le signe o deviendra
et ne pourra s'évanouir , pour s = o , qu'autant que la fonction F{z) s'évanouira elle-même. Mais^ df^ns ce derpier cas, si Ton désigne par n le nombre des racmes de l'équation (36) qui se réduiront h zéro , on aura , pour des valeurs infiniment petites de 9 ,
( so6 ) Donc la formule (61) donnera
et l'on aura
(ao5) ^^=J!il + ^,, ou (806) X— ^=-^ + ^. + x/..
puis on en conclura
(207) ^ = (yj
Si» pour des valeurs infiniment grandes » mais convenablement choisies, du module r de la variable z » les expressions
s*évanouis8ont, on pourra en dire autant des expressions (soi )» (sos). Alors, les coeflicienU ^o > /i étant réduits à zéro, on tirera de la formule (208)
et l'équation (67) donnera
, , ililiiiLJzI TM"^-^-^ '(4-) '(7) '(f);°^^^^ '(t) ^(f) Kf)""
Si maintenant on attribue à $ une valeur infinimenl petite, on aura sensiblement
Ffi-l («") \«/ I FWÇo)
Ç" a» i.xS...n '
vt par suite l'équation (aïo) deviendra
, ,. Ht) H7) ^i~) __ («p7-)" ( i.a.3-.n hr-/*^ /i?/^\p/^\ ^*'^^ ~7(Ur~f(<'l f(^) ,"« I F(->(o) ) Ujl \pj ivj'-
Lorsque la fonction . F(s) ne s'évanouit pas avec z , la formule (61) donne simplement X -=0 , et l'équation (si 5) doit être remplacée par la suirante
Si , au contraire , la ronction F(5) s'évanouit avec z , mais de manière que i'équacjuation (56) oflre une seule racine égale h zéro, la formule (si S) donnera
Les diverses formules que nous venons d'obtenir supposent que la fonction entière ({z) lie devient pas nulle pour z=zo y c'esl-à-dire , en d'autres termes , que la constante
dilTère de zéro. Si cotte constante s'évanouissait » les expressions (soo)» (201)» (soa) deviendraient infinies , ainsi que les coefficients J; » <^i » et les fractions comprises dans les premiers membres des formules (2i5) , (a 14) » (si 5)* Observons d'ailleurs que» « , p , 7 , ... étant les racines de l'équation (26) , on tirera de la formule (igS)
et par conséquent
Pour montrer une application des formules qui préeèdant, prenea^
(116) F{z)=:ê\nz.
Alors» ainsi qu'on Ta déjà remarqué « l'expression (90) s'évanouira, et l'expression (91) deviendra infiniment petite , si l'on attribue au module r de la variable s des valeurs de la forme r = nn^ n désignant un nombre entier infiniment grand. Cek posé, on tirera de la formule (si 5)
, , iv) '(-t) '(^) '{-^) .H- ......
(«19) ~^-- -— ... = "^ ' sm — sm -- sin — ... ,
f(o) f(o) f(o) f(0) jC" a f y
Au reste, on peut encore déduire la formule (220) 1.* de l'équation (214)» en prenant
F{z) = • 2.* de l'équation (120) combinée avec la formule (217).
Dans le cas particulier où la fonction entière f (z) a pour dernier terme l'unité, ou trouve
(aai) f(o) = i.
et la formule (220) donne simplement
Si , dans les formules (220) et (225) , on remplace x par itx , on eu tirera ,M.(-x) ,(^)f(.^) ,{±),{.!L) . ., . ^ „„
et
("')f(-)'(-)-'(T)'(-T)-f(l)'(-|)- = -fe«"T»»f"°T-
Si , pour fixer les idées , on suppose
( «09 ) (aaO) f (a?) = «« — a:rcos9 + » 9
on pourra prendre
(ai;) «==co80 + 4/ri8ÎnO, p = co80 — v/^AnO ^ ^
£t l'équation (as5) donnera
[i-aaî
»cosaO + aî*]l i-af— ) cosaO+f— j II »-a(-^) cosaO+f— j j...
(aa8) ^
e -aco8(29ra;cos9) + «
Supposons encore (aag) F(2)=cos5.
Alors on tirera de la formule (ai 4)
Si Ton a en particulier f (0) = 1 , on conclura de l'équation (aoo) , en y remplaçant X par ,
("■) '(-)'(— )-'(TH-f)-f(T)«(-|)-="'S«»'i'»-f
Ainsi » par exemple , si la fonction f (a;) est déterminée par la formule (396) , on aura,
[i-a»'co8aO+a;<]| i-al-^j cosaô+f— j JM-sf-T"] ^osaO + f-^j 1... =
ir.rsinO , -. -?râ?sinO
# +aco8(irjrcosO)-K
Supposons encore l(z)Y désignant une quelconque des deux valeurs de t propres \x vérifier la formule
IV*. ANNÉE. aS
( tio ) (t54) r—c = o.
Lei racine! > i fi # v « • •« de Téqualion (36) «eronl éTidcmment (a35) z=zn*9 « = 47:?, * = 9ir*, ï = a5w*, etc.,
^i par mite la formale (ai 4) donnera
, ,, ^(^) •[■ûr] '{^) '-mr -my -mr ' ' -^^^-^- mr [m mr "
Si^ dans celte dernièrci on remplace x par n*x , on en. tirera
.j.iliiiigi -'-«((f))' •'-•'((t))' ""-((y))'
'" ,(«, rc, ,(., - .((f))> .({^))i .{(^))= -
Si d'ailleurs f(o) se rédail à i*unit4» on aura simplement
Ainsi , par exemple, en prenant successivement
f(x) = i+x, ({œ) = i+x\ etc., on trouvera
elc ,
puis on en conclura, en remplaçant x par- x*.
ira?
4ir^ar« elc
La Tormule (s4i) s'accorde évidemment avec la premi&rc dos équations (i5i). Supposons enfin
(a43) FW =cos ((.))• = 1 - ^+—^-eic.
fin Vacirt^ \, ^f '9 ; ... de PéiquÂion (36) «cront évidemment
cl par suite la formule (ai4) donnera
Si , dans 'celle demîèréV oii Tgnijplaee x ^r r-^ , on en iln9(\
■■ . ! "... . i-; . I! :; - î, . .; 'Al: .'\ . j 'j| ^'i .î* , •)'i.>i:îJi< i: • : '. . ; ^
Sï d'xriPIctir» f(o) Hetedutt'M'iâttil*,oli:e«roJiiiipbmi^ . - i :^: i '
Ainsi, pnrMcmpia, cÉi pi^^tanlisuoeftsâirement i. jmiv
f (acj = I -f.aj , ..t{x) = I + »» , etc.. , on trouTera ,...-■. ~-. . ...■■...
(.48) (« +*)(»+f) (>+'-j)-=^«o«{7rfv^} •
( »•» ) W,)(,..,(,.fl)(..^)..=c»j^(ii^)C(«))=}.«.|^(^)(W)=
puis OQ en conclura , en remplaçant x par x* «
+ aC05(ïirar^ir)+#
etc.
Concevons maintenant que les fonctions f (^) » F{z) p. tessant Tune et l'attire d'è\^ entières , soient déterminées par les formules
(«52) f(^)=cos(W)^ («55) F(c)r^-^5^^î^
Alors les racines a , p , 7 X , p , v , ... des équations (35) et (56) coincidercAt
avec les valeurs de t comprises dans les séries («44) » (^3^)- De plus rezprcssion ,
f (f )FW 4((f )).^«o. (.(f ))^ 1 .(W)^.-((*)>" • '
s'évanouira généralement « si Ton attribue au module r de la variable t des valeurs
infiniment grandes , mais sensîjblement distincte^ des racines de l'équation siù ((s))^ = Ob On pourra donc prendre» dans le théorème i.", /=:o. Enfin» comme l'expression (854) s'évanouira encore» pour des valeur» infiniment petites de z tellement choisies
que les valeurs correspopdantes du rapport — différent sensiblement de celles qui vé-
rifient l'équation cos ( f — j j ' = o » on aura » d'après ce qui a été dit ci-dessus [vojez
le «.* corollaire du 1.*' théorème] X =2^0 ; et par suite l'équation (78) , réduite à la formule (81)» donnera
^1 SIR — sin 3^ sm-—
(îôa) cos — cos — cos ■=-
ir aw Swr
(t) (If) m
(ai5)
1rs
Si, dans la formule (a55), on remplace x par —, on eo tirera
•iox SaÎQ-r- 5sin-px X ^ 5 i-
(i56) coi — cos -r 008 — ... =
pui* , en écmaat «yTT au lieu de « , on trouTer*
Ajovtons iqae » si Toà pdac x q= i r od «0Q«{ura des formule^, (soG) et (157) (j58) cos f— j .cos (yJ '^^^ 1*6 ) "* ^^ sin(i).58În (— J . Ssïftf— J ... ,
"5.1 Ji
w il. 1 ■ .1
Si Ton différenciait, par rapport à x, les deux membres de Téquation (266), ou plutôt leurs lo^rithmes^ on serait immédiatement ramené à la formule (3i) du précédent article, ^
