EN TOUS SENS AUTOUR DE CHAQUE POINT

Concerons qu'un corps solide ou fluide vienne h changôi' de fofmc^ fc^.que pur TefTct (l-»ne caasc qndconque tl pa^sm d*«i» premioF^Ul «alureluMi ûclillcieL^jt^R. setoivL élal dlslinct du premier. Rapportons tbus les points de l'espace à trois axes rectangulaires, et supposons que le point malériel correspondant aux coordonnées x ^ y , z dans le second élaltfii corps iio ri précisément celui ({ui,vdanl 4« premier élit»;fi|rMl»p<mr if^oordonnées les trois difforénces

, ^ — if y — ^9 ' ' i-7 ,Ç. ' , •:^ .,.

Si Ton prend x , y, z pbtit* variables indépendantes; {*, 'i , C séronldes fonctions de X » y^ z qui serviront à mesurer les déplacaments du point que l'oo considère pftral.'èlcment «tnx axes des coordonnées. Soient d'nillcurs r le rayon vecteur mené dans le second état du corps d'une molécule ' m . à gno-aiili^inûlédulaïrès-rtiiaiùe m\ et K , p , 7 les angles formés par le rayon vecteur r avec les d^roî-axes des ooordonpéei positives. Si l'on désigne par

la distance primitive des deux molécules m^ni', la valeur numérique de c sera la tnieittré de ce que nous avons nommé la dilatation ou condensation linéaire du corps suivant la direction du rayon vecteur r, savoir, de la dilatation linéaire si < est une quantitii positive, et de la condensation ou contraction linéaire dans le cas contraire. Gela posé, on aura, en vertu des principes exposés dans le second volume [pages 60 et suiF.],

(1) ( = cosa COSa — ^-—-COSB —COS'/I

^ ' \ » + « ; \ dx dy ^ dz 7

/ ^ //lï dn ^ dri \*

+ COS7 7- cosa —- cosp 7- CO»7 ,

\ * dx djr * dt 'I

puis on en conclura , en admettant que les déplacements £ » « 9 C soient très-petits ,

I dx dy ' dz

Or on peut demaDder quelles conditions doivent remplir . $» » , C» considérés comme fonctions de a; , ^ , s » pour que la condensation ou dilatation linéaire 4m corps reste la mémo en tous sens autour de chaque point. Tel est l'objet dont nous allons maintenant nous occuper.

Soient *', t', %'" les dilatations linéaires mesurées parallèlement aux axes des ce, jr , t. - On aura , en veHu de la formule (a) ,

iim dy dz

En supposant ces dilatations linéaires égales entre elles» on obtiendra la condition

^= — = — ^ ' dx dy dx *

et par suite Féquation (s) donnera

Donc , (i la dilatation linéaire % reste constamment égale à t' , on aura , pour des râleurs quelconques de « , ^ , 7 ,

COSaCOS^=: O.

En posant successivement dans la formule (5) , a = — , p = — , 7 = ~ , on en tire

^ ^ dz dy dx dz dy * dx

Ainsi, pour que la valeur de c devienne iodépendanto des angles a» (3 , 7, il est nécessaire que les déplacements i , ^ , ^ $ considérés comme fonctions de as , y, z , ▼érificnt les conditions (3) et (6). Réciproquement^' si ces conditions sont vérifiées , < sera indépendant des angles « » P« 7 » et Ton tirera de la formule (&)

dli'dn dK

Il est facile de s'assurer que, dans le cas oii les conditions (5) et (G) sont vérifiées, la distance f se réduit à une fonction linéaire de x, j, r. Encflet, concevons que Ton difTérencie la première des équations (6) par rapport à cd , la seconde par rapport îN j, la troisième par rapport à c. Ou trouvera

^ ^ dzdx '^ iUdy ' dxdy "*" dydt ' dydz "^ dzdx '^^ "

€t par conséquent

puis , en diflcronciant la première des équations (g) par rapport à « » la seeonde par

rapport ^ y % la troisième par rapport à s » et ayant égard k la formule (7) , or

obtiendra les suirantes

, . </•« du du

^ ' d/dz dzdx dxdy

Au contraire , si Ton différencie deux fois de suite la première des équations (6) par rap* port aux variables j et e » U seconde par rapport aux variables z et a; , la troisième pur rapport aux variables a; et ^, et si Ton a toujours égard à la formule (7), on trouvera , . ^*« . d^% d*t , du du , </»€

puis on en conclura

, , du du du

Or on tire des formules (10) et (1 2)

et par conséquent

/ MX di dg . dg

( 1 5) </.!=: arfj? -|- hdjr + <rrf« 9

( iC) t = ax -^ hy ^ cz "{^ k f

a p b , c t k désignant des quantités constantes. On peut donc énoncer la proposition suivante.

TnÉonÊME. Si un corps êolide ou fluide vient à changer de forme , de manière que fo condensation ou dilatation linéaire reste très-petite, et soit la môme en tous sem autour de chaque point; cette dilatation ou condensation ne pourra étrequ^une fonction linéaire des coordonnées x , jr, z.

La valeur de f étant déterminée par l'équâtion (iG) , on déduira sans peine les valeurs de S , 1 et ( de la formule (7) combinée avec les équations (6); et, comme celles-ci donneront

, , rf'Ç d'i dt </>Ç

(17) -- = --=___ = rt, —-^=0, etc.,

^ " dy* dz^ dx dydz

on trouvera

/ l = {ax + by + cz + k)x — \a{x^+y^^z^) + hy^gz^l,

(18) I „=(«a:4-/a-f rz-f A):r-iH^'+r + ^0+A-'^* + m, f f S f 1^ f 1 9 ^^ 9 ''^ désigunpt encore des quantités constantes.