Exemple. Soit encore (iSg) F(«)=:C03z — cosà
L'équation (36) , ou
(i4o) coS5 = cosa,
admettra une infinité de racines , savoir,
2 = tf-J-a7r, z = a-|-4îf> 2 = û+G;r, etc.,
2 = a— aTT, i = « — 4^^ > zz^a-^Gn i etc.,
2 = — a, r= — <i4"2^7 « = — a-|-47f» »= — a-+-6tr, etc., 2=— a — aTT, 2= — a — 4'f> 2 = — a — Ôtt, etc.
De plus, Texpression (90) s'évanouira, et l'expression (91) , réduite à
^ ' z (cos z - cos fl)
deviendra infiniment [élite, si Ton atlribuc au module r de la variable z des valeurs infiniment grandes, mais sensiblement distinctes de celles qui correspondent aux racines de l'équation (i4o). Cela posé, le troisième théorème sera évidemment applica-* ble à la fonction F (2) = cosz — cosa ; et la formule (1 iS), réduite à l'équation (107), attendu que les constantes ^o » ^m s'évanouiront, donnera
OU , ce qui revient au méine,
cosx-cosa fl*-Jr* (ar-a)*-x* (air+a)»-x» (47r-fl)»-«» (4tr+a)"-a?"
asin
în*
(aïT-a)» (aîf+a)» (4îr-«)' (4ir+û)»
Gomme on aura d'ailleurs, en vertu do la formule (iso)»
a a aTT-a a^r+a ^n^a ^ir-ha
^ • ' a a a^r air 4^ 4^
on tirera des équations (i/i4) ^^ (i4S)
fl*-jg' (aff>a)«-jr* (afr4-fl)*-jr» (47r-a)«-x* (4ïr + a)*-a;*
(i46) cosx — co8a =
a (air)» (aTT)» (47r)» (4^)'
On pourrait /au reste, déduire la formule (i46) de l'équation (lai) réunie à la suivaDte
(i47) cosa — cosx = sin— —sm .
Les formules (lao), (137)» (137)» (i46) subsistent pour des valeurs quelconques réelles ou imaginaires de la variable x et de la constante a.
Si , dans l'équation ( 1 a 1 ) , on pose successivement 2; = — , c = — , on obtiendra
les deux formules
r a. a 4-4 ^-^ S-S 10.10 la. la
^'^ ' a 1.3 3.5 5.7 7.9 g.ii 11. i3 '
TT 4*4 ^'S "a. la
dont la première a été donnée par Wallis, et l'on en conclura
,. 1.3 5.7 g. Il
Si , dans les formules (lai), (128), (i46), on remplace x par x\/:T * on en tirera
^ ^^^ , . (a7r-a)»+a;' (a7r+a)'+«» (4îr-a)'+ar* (4«+fl)«+a;*
^ ' ^ ' (aw)» (aw)» (47r)» (4ïr)«
Si, dans l'équation (lao) , on rempIaCo la lettre x i.® par x + y\/Tl , a.' par X — JV^ > y désignant une nouvelle variable indépendante de x • les deux formules qu'on obtiendra, étant multipliées Tune par l'autre, donneront
. ... #'J^-acosaa?+<-»y . ^ (7r>J?)'-t>y* (?r+j)«47* (a7r-jr)*4y* (a7r+x)»+y*
^*^^^ 4 — V»+y) ^. ^. (jj^), (^^j.
En opérant de la même manière, on tirera de l'équation (197)
. .,. g'J^+acosag-l-tf-'J^ (ff-gd:)»4-Caj)' (^aj:)H(aj^)* (57r-a3?)«4-(ay)' (3ff4-aa?)'4-(2j^)^ ^' ^ 4 ~ îT» 7r« (37r)« (Str)»
Au reste, les formules (i54) et (i55) peuvent élre aisément déduites de l'équation (]55)» Si, dans l'équation (137), on remplace i."" x par aj+y^/H" et a par a + 6^/r7. a.' a? par x — y\/^ et a par a — 6^/17 • les deux formules qu'on obtiendra, étant multipliées l'une par l'autre , donneront
4[(a?-a)« + (jr.A)]« =
(7r-x-fl)H(y-f^)V (^t-'^'*'^)'>U'*'^)* (aTr>s+fl)'+(.y-A)* (aff^:g-tf)»4.(j>6)*
7r« TT» (aîr)* (aTr)» '"
En opérant de la même manière , on tirera de Téquation (146)
i' [(gy-K-y)co83?-(g^+g"^)cosa]' + [(<J^-<-->)8ina?-(g*-<-'')8infl]* '__ [(a;-û)'+(:)r-A)«][(^+û)*+(/+6)'] ~
(a7r.|.a?-fl)H(y-^)* (a7r-a?-hfl)*-f (jr+^)* (a7r-a?-ffl)H(r"^)* (a7r-fa?-l-fl)'-f (/-l-^)'
Dans les applications que nous venons de faire déa théorèmes a et 5, les constantes ,
( aoQ )
précédemment désignées par ^o • ^x » s'évanoaisseni, el les racines de l'équation (36) sont inégales entre elles. Ces mêmes racines^ deTiondnient ^ales deux à deux» de nanièro à coïncider avec Tune des valears de z comprises dans les séries
2=zo, 2=;aw, -2 = 4*» « = 6fr, etc...,
s = — aw , «= — 4^^! *= — 6ir, etc.,
si l'on supposait
(169) F(2) — I — cosc;
t'ft alors on tirerait de la formule' (106}
011 » ce qui revient au même »
(.60 .co,x=f(,— ^)*(i-^);.....
Au reste, on déduit immédiatement l'équation (iGi) de la formule (i4ti) en faisant évanouir la constante a. - ' '• - ' '
Si l'on prenait ...
l'équation (56) , réduite à
(i63) ej-=i. ou î = |((i)),
offrirait pour racines les divers .logarithmes Népériens de Tunité» savoir,
z = 0, r = aïr|/.7, i = 4Tr|/:r, . « = 6irl/T , etc.,
Alors aussi l'expression (90) deviendrait et, pour faire évanouir l'expreation (91).» ou
(.66) -Lf-f: CL.]^±J±ÎZL,
il suffirait d'attribuer au module r de la rariable z des valeurs de la Tornie (.67) r:==Jiltlh.
SI
n étant un nombre entier infiniment grand. On trouverait donc par suite
(168) ^0 = -. Sf. = o;
et Ton tirerait de la formule (1 14)
Au reste, on déduit immédiatement Téqualion (169) de la formule (i5i) , en remplaçant
œ par — x.
Si Ton prenait
(170) F(«) =e<-^-V — cC.-«)V,
a désignant une constante réelle, l'équation (56) « réduite à
serait vérifiée toutes les fois que l'on poserait
(i + a)* = (» — a)» ± atiTT^/lT .
ou, ce qui revient au même,
— \rx >
n étant un nombre entier quelconque. Par conséquent cette équation offrirait une racine nulle, et infinité de racines imaginaires comprises dans les séries
aa •^ ^a^ aa ^
« = l/TT « = l/n^ 9 . z:=z'^ — i/-i , etc.
%a ^a ^ aa "^
