RELATIVES A L'ALGÈRRE ET A LA THÉORIE DES NOMBRES
Des recherches entreprises sur la résolulion des équations binômes m*ont conduit à reconnaître qu'il existe dçs relations dignes de remarque entre les quantités désignées dans la théorie des nombres sous le nom dé racines primitives et d'au 1res quantités que reiir ferment les produits de certaines expressions algébriques. D'ailleurs l'analyse par laquelle je suis parvenu à découvrir ces relations m'a oflert le moyen de résoudre facilement ceriaines éqa^tioas ia4^termifiées » et m'a fourni dos théorèmes qui paraissent mériter Tattention des géomètres. Je consacrerai plusieurs articles au développement des prfAfèipes sur lesquels repose cette analyse. Mais comme ce développement exige la connaissance préliminaire de diverses propositions relatives & l'algèbre et à la théorie des nombres, je commencerai par établir les propositions dont il s'agit. J'indiquerai en mcme temps plusieurs conséquences nouvelles que l'on peut en déduire.
Soit n un nombre entier quelconque. Je dirai que les quantités entières , positives ou pégatives» h ei k sont équivalentes suivant le module n, lorsque la différence k—'k ou k — h sera divisible par n » et j'indiquerai cette équivalence , nommée eangruefice par M. Gauss, à Taidie de la notation
h^k (mod. n) ,
employée par ce géomètre. Cefa posé , ti l'on vériGe la formule
(i) aoa;'"-ha,a;'"-"-l-a,cc'"-'4-... +^m-.«aî + «m = o , (mod.n)
ilans laquelle m désigne un nombre entier, et a, , a, , ... a^^i » ^m des quantités entières, en attribuant à a> les valeurs entières
X = Xt , jr = ce, , etc««*«
jon la vérifiera encore en prenant
a5p=a5,±m, x = Xndtnf , etc.,
• JiV.* AKjfi»; - f 9
( ai8 ) 1 , j dét>giioQt des nombres entiers » ou « co qui revient au même , en prenant
x^Xtt fiBEEa?»» etc.;
et œ^ , (t^ seront des raoinu de la formule (i). Hais deux qudcooqoes de ces
racines, par exemple, a?, , ce, ne seront considérées comme distinctes que dans lo cas oii elles no seront pas cquivalenlcs suivant le module n. Ajoutons que les notations
— , A 'A-"', etc.,
représenteront les valeurs de x propres ik vérifier les formules
kx=:h, A'W;C=:rfc', etC.
Soit maintenant p un nombre premier quelconque» Je dirai, arec M. ^iosot » que |B est une racine primitive de l'équalion
et r une racine primitive do l'équivalence
(5) . aï" EE » » (niod, /») ,
lorsque p^ set*a ta plus petite puissanco de o qui se réduise à l*uuilé, et r* h plus petite puissance de r équivalence à Tunilé suivant le module p. Ces définitions étant admises, on établira snns peine, sur les racines des équations et deséquiva- Irnces , les propositions suivantes dont la plupurl étntcnt déjh connues *.
i .** TEp.ofkèuu, Soient m uh nombre cnilcr, p ti9i$iombre premier, et a^ , ai, </,»••• dm des quantités entières. La formule
(4) rtoa;'" + <»t®"'"' + ---+rtm,a:4.a^ = o , (mod.p)
nadmettra jamais plus de m racines distinctes.
Démonstration. En effet, soient a?, , cr, x^ , m racines distinctes de la formule (4)* On aura identiquement
• On peul con«ultcr, à ce injet , diwtn Blémoircs d'Euler et de Lagrangc; l*ouTrage Je M. Gautf , iikCinilê : DiêquisitUmes Arilhmeticœ;ltt Tliéurie de» noiiibrea de M. Lrgendrc ; un travail de M. PoUisot, intéré daat le tomeV des Mémoire» de l'Académie det Sciences, et le« Mémoires de mafliématiquet publiés parM.GnillaiiBe Librî. . . . ] :
«•«i* + «.ar,***" + •.. 4- a^^^Xt + «« ^ o , (rood.p).
En substituant la yaleur de a^ , tirée de cette dernièm éqttifBleUca» dam U forcppl^ {^), on trouvera
P, désignant un polynôme qui aura pour premier terme le produit a^x*^^^^ et <|ui s'évanouira pour x = x^ , pour x=^xi , etc. On trouvera de même
(6) P^ = {x — x,)P.. P* = {x — œz)Pi, etc-, P^={x^xJ)P^,
Pt • Pi , Pm^t t Pm désignant des polynômes dont les premiers termes seront
iToas'***' 9 a^x"'-^^, ... HoX , n. , en sorte qu'en aura aireplemenit
(7) Pm = a,.
D'ailleurs » HP vertu des formules (5) , (6) , (7) , on aura , quel que soit x ,
(8) ^oa;'"4-a,x'""-' + ... +a,n^tX + a^=ao{x — x,){x — x^) .,. {x — x^). Donc l'équivalence \h) pourra s'écrire comme il suit :
(9) ao{x — x,){x — 0?,) {x — «3) ^.. (a? — x^) =0. Or cette dernière ne peut être vériGée qu'autant qae l'on prend
« = 0?,, ou « = a5a,... ou xE^x^.
Corollaire. La formule (8) devant subsister, quel que soit x » qairaino évidemment les suivantes
^r, = — ^«(a*. 4-^« + '*' +^'«) » (mod.p)
^1 ^^©(aîiaJa + a?ia*5 + «" +3î,a?,„+a?«a'3 +••• +a*,a?«, -\- ...+a5«,a'«) , (10)
etc.
^m zz:: it ^©a*, ce, .•• CB» ,
lorsque le nombre m ne surpasse pas le module p. Alors en effets si les conditions (10) n'étaient pas remplîtes» la formnle (8), dans laquelle le srcond membre, développé suivant tes puissances descendantes de la varia'ble x , a pour premier terme a^x'", se réduirait h une équivalence d'un degré inférieure p , et pourtant cette équivalence
devrait admcUre autant de racines que la division d'un nombre entier par p peut fournir do restes difl'ércnls, c'est-à-dire, p racines distinctes. Or celte conclusion ne s'accorderait pas avec lo théorème i".
SchoUe. Lorsque ('équation (i) est du premier degré ou de la forme (il) <ïoa3-+-a, ^o , (mod. n)
elle ne peut admettre qu'une seule racine^ et elle en admet toujours une, repré^cnléi* par la nolaiion
fl„
excepté dans le cas où b fraction — , réduite h sa plus simple expression , conserve-
rait un dénominateur qui no serait pas premier un. Ea effet. Ton pourra toujours* trouver des nombres enliiTS x et y propres h vérifier la formule
(i3) (JoX + a,^=ny ,
h moins que a^ et 71 ne soient simullanémcnt divisibles par un nombre qui ne diviserait pas r/g .
^."'TnLohy.HE, Supposons que la formule (4) admette m racines dislinclts» Soit Wailleurs P un polynôme qui divise exactement le premier membre de cette formule, Ix nombre des racines distinctes de Céquivalencc
(i/i) P^o, (mod.p)
sera précisément égal au degré du polynôme P.
Démonstration. Soit Q la quantité qu'on obtient en divisant par P le premier membre de la formule (4). Celle formule pourra s'écrire comme il suit
(i5) PÇEEo; (mod.p)
et par conséquent chacune des racines a; = cr, , x = ar, , .... x = Xm vérifiera Tune des équivalences
(iG) P = o. Q = o. (mod.p)
Soit d'ailleurs f* le degré du polynôme P. m — /x sera le degré du polynôme Q r
et comme le nombre de celles des quantités cd. , x^', x^ qui satisferont h la se-
i;oado des formules (16) ne pourra surpasser m — f* , le nombre de celles <{ui satis-
feront h la première ne pourra devenir inférieur à ^* Donc ce dernier nombre sera nécessairement égal au degré ^a du polynôme P.
3.* TnéoRKHE. Soit p un nombre premier quelconque. La formule
(17) a5''""' = i» (mod./))
admettra p — i racines distinctes , respectivement équivalentes aux nombres entiers
Démonstration. En effet, si Ton prend pour x un quelconque de ces nombres entiers , on trouvera
ir'' = (1 4- x^^)P= \ + {x — î)P, (mod.p) et par conséquent
xP — xE{^ — O'' — (® — 0 E (^ — 2)'' — {x — a) =elc... = 2/* — 2^\P — lEOr
ou , ce qui revient au même ,
a;(aî''""' — 1) =0 ;
et y comme x ne sera pas divisible par p, on en conclura
(19) xP'-^ — 1 = 0 , (mod.p).
Le théorème compris dans la formule (17) ou (ig) est dû à Fermât.
Corollaire. Gomme , pour faire coïncider la formule (4) avec l'équivalence ( 1 7)» il suffit de prendre
m=p — 1, fl, = 1, a, = 0, «« = 0 , ..• «m— . =0 , a« = -:-i,
on aura , en vertu des formules (10) et du 3.* théorème ,
1 4" * + 3 4- ••• + (p — 0 = ^ » (nood.p) i.3 + i.3+... + i.(;) — 1)+2.3 + ... + 2. (p — !) + ••• + (p-"2)(/* — 0=^>
i.2.3...(p — 2)(p— 1) = — *• La dernière des formules (20) peut encore s'écrire ainsi qu'il suit
(ai) i.a.3.,.(p— a)(p — i)4- I =0, (moé.p)
et ccioiprend le th6ot*êinc de WSIson.
/|.* TnàoB&ME. Soit p un nombre premier, ei n un diviuur de p. La f vinlc
(5) aï* = 1 . (woi/>)
admettra n racines distinctes.
Démonstration, Scit
Le binôme
(a3) xP'^ — 1 =x»^— I
ï^rra divisible par le binôme
Donc, puisque la formule (19) admet p — 1 racines distinctes, réc|ui?alencc
(24) x" — 1^0» (niod./>)
ou lu formule (5) , admettra n racines distinctes, en vertu du théorênif* 5.
S.*Tbèokeue. Soient m, n deuxnombres entiers quelconques, &> leur plus gra commun diviseur, et q Un nonvbre premier ou non premier. Toute racine commi des deux équations
vérifiera encore Céquation
et toute racine commune aux deux équivalences
(27) x'^=\, x^'^x, (mod.7] vérifiera encore la formule
(a8) aj'^ — l, (moil.7).
Démonstration. &» étant le plus grand'commun diviseur do m et de n« onpoui trouver des quantités entières u ol v propres à vérifier la condition
(29) ma -^ wr = w .
Cela posé^ on tirera des équations (26)
ou
x*-- — . a"" = x"* (aj** — i) = o ,
par conséqucnl
et des formules (^7)
«'""= » =«"% (mocl.7.) ou
par conséquent
(3i) »** — »^o» (aioJ.7).
Or l'équation (3o) coïncide avec Téqualion (a6), el la formule (5i) avec la formule («8).
Corollaire. Comme toute racine non prîmiliTe ^e l'équation (»), ou 4e Téq^iivaio^ce (a) dans laquelle p désigne un nombre premier^ vérifiera une autre équation de la forme
ce*" = 1 , ou une équivalence de la forme
x'*S 1 • (mod.p)
m étant < n , il suit du théorème 5 qu*une semblable i^cine devra encore vérifier Téquation
ou l'équivalence
(33) 05**^ I* {mod.p)
sa étant un noml>fe entier, diviseur de n » mais inférieur à n. Donc, si l'équation {%) ou réqiiivalence (3) admet des racines non primitives , autres que Fonité » n ne pourra être un nombre premier.
