TnioBÊMB. Soit n un nombre entier quelconque. Véquation

(il) x- = i

admettra autant de racinei primitives qu*il y a de nombres entiers premiers à n , mats inférieurs à n ; et , si l'on suppon

rt , b , e... étant Uê facteurs premiers de n , chacune des racines primitives de Cér quation (a) sera le produit de plusieurs facteurs u, v , w , .... qui serviront de ra^ cines primitives aux équations

(55) a^*=i, v^^=i, t«;^^=i, de...

Démonstration. Si n est un nombre premier, toutes les racines de Tëqualion (s), autres que l'unité, seront primitives, en vertu du corollaire qui précède. Le nombre do ce» racines primitives sera évidemment n — i.

Si n est une puissance d*un nombre premier a , c'est-à-dire de la forme

(36) n = a*, alors toute racine non primitive do l'équation (s) « ou

vérifiera l'équation]

puisque tout nombre diviseur de a* , mais inférieur h a* , divisera nécessairement a*"'. Ponc les racines non primitives de l'équation (s) seront alors en nombre égala a**". Les racines restantes, dont le nombre aura pour mesure la difTérence '*

(39) a* — a— ' = a*-'(a— i) = nfi — -^] ,

seront toutes primitives.

Si n n'est pas un nombre premier, ni une puissance d*un nombre premier, on pourra décomposer n en deux facteurs h , k premiers entre eux, et, pour vérifier réqaar tion (2) ou

(40) «**=!, il suffira de prendre

y , z étant des racines des deux équations

( stfi ) (42) 7*=»' (43)^ ^ «*=ri

J'a joQte que , si dans la formule (4 li) on aubstilue aocoesaiyeoiieni ¥ > j Coulea les taônes de Téquation (49) » et k z toulea les racines de l'équalion (45) • mi obtiAdra toutes les racines de l'équation (4o). En eflet, le nombre des racines de Téquation (4^) étant égal à h , et le nombre des racines de l'équation (43) égal à % , le nombre des valeurs de X, déduites delà formule (4.1 )» sera égal au produit hk, c'est-à-dire au nombre des racines de l'équation (a) ou (4o); et d'ailleurs il est facile de s'assurer que ces valeurs seront toutes distinctes lerones des autres. Car, si Ton désigne par jg , jr» deux racines de l'équation (4t) t par z, , z^ deux racines de l'équation (43) # et si l'on suppose

on en conclura

el, comme on aura d'autre part

il est clair que le rapport -^ sera une racine commune des deux équations