IJ
par conséquent la racine unique de l'équation
« = 1, puisque A et i n'ont d'antre commun diviseur que l'unité. On trouverait donc alors
et de même
ir, = z,.
Donc les valeurs de x fournies par l'équation (4t)» ot correspondantes à des systèmes divers de valeurs de ^ et de s , seront toutes distinctes les unes des autres , et respectivement égaler lulx diverses racines de féqaation (4o).
IV^ AàlRlSB. 3o
( m6 ) Enfin il osi clair que le produit jz sera une racine primitife de Tëquation (4o) , lorsque y , z seront des racines primitives des équations (4i) » (4t)« En effet» soit m le degré de la plus petite puissance de yt qui soit équivalente à l'unilé. Coniiiie le nombre m devra diviser le produit hk , on aura nécessairement
s désignant un diviseur de h , et c un diviseur de Je. De plus . en élevant chaque membre de la formule
(44) (ys)''=5l,
à la puissance entière du degré — , on en tirera
et par conséquent
Or les formules (4a) . (45) devant subsister simultanément» et s éUnt le plus grand commun diviseur dés nombres h et sk , on en conclura
On trouvera de mémo
Donc la formule (44) entraîne les formules (46) et (47)* D'ailleurs , si 7 et s sont des racines primitives des équations (4a) et (43) , les exposants s , t dans les formules (46)9 (47) ne pourront devenir inférieurs , le premier au nombre A, le seoond au nombre h. Donc alors la plus petite valeur que Ton puisse attribuer à m sera m =zhk 9 et par conséquent x sera une racine primitive de l'équation (4o), Ajoutons que, si les facteurs y,z ne sont pas tous deux des racines primitives des équations qu'ils vérifient» le produit yz ne sera pas non plus une racine primitive de réqualioo (5o) , puisqu'on supposant remplies les deux conditions ê<k, t<k, ou Tune d'entre elles, on pourra des formules (4C)» (47) déduire immédiatement la formule (44) « dans laquelle on aura st < hk.
Soient maintenant a, b, c,... les facteurs premiers do n» en sorte qu*on ait
nr=A b ù
D'après ce qu'on vient de dire, on obtiendra les racinea prinûtÎTes de l'équation (i)» en
multipliant ceHes de réquélton (87) qui sont en nombre égal à a*^*{a -^ i) par celle* de Téquation
De môme , on obtiendra ces dernières en multipliant celles de l'équation
qui sont en nombre égal à 6^^*(6 — 1) , par les racines primitives de Téqualion
En continuant dé la niême manière, on 'finira par reoennâttre que chaque racine primitive de Téquation (2) est le produit de plusieurs facteurs u » v , w ,... qui servent de racines primitives aux équations (35); et» comme les produits de cette espèce seront .tous, distincts les uns desa^treS| il es^ clair que le, nombre :4<):!ÇÇI^P^<>^.^i^"^^ Texpressioa ...... -
(48);V = a*-•6f-'cV-^,,(a-0(t-l)(o■r-0••.fr.•»(•:r:T)(^-^^
indiquera précisément le nombre des racinesfijnlitives de Téquotion (t)^ . .
Si dabs le produit u\ v ,'w , ... on ftisalfc 1sfat^èé Saccessivement ioutes tés racines primitives ou non primitives des équations (35), on obtiendrait évidemment' pour ré^ sultato toutes les racines primHives ou iràn.{>rimkitM do VéiÎMtba^^^^ m' ..
Sûholie 1.*' Soit p une racine primitive de réquattoà*(i^.^tièy dfvêrses puissances de p , d'un degré inrérieur à n , savoir, '" " • ; . - ' j •
îi'r .:
seront évidemment des racines de la mémjB é<}ualioa. ïilè j^ùs cet racines seront dîttinciès les ânes des autres. Car, si l'en suppose
e'=rj.
«n étant ioférieur k n , tt l égal on infénear à m , on en conclura
P— «=tî.
(s«8) par conséquent m— (=0, ou m={, poUque , p innl nxxom. priaiilif e , anciiiie puissance de p » d^un degré différent de séro , et inférieur à n » n'aura pour Talear l'unité. Donc la suite (49) comprendra toutes les racines de Téquation (t). De plus, n les nombres n et m < n ont un commun diviseur » >> 1 » alors» en prenant
jr = p*,
on vérifiera non-aeulement l'équation (s) , mais encore la suivante
et par conséquent (d = p"* ne sera pas une racine primitive. Donc les seules puissances de p qui pourront servir de racines primitives k l'équation (t ) seront celles qui offiriront des exposants premiers à n. Il est d'ailleurs (acile de s'assurer que , si m est premier à n,.^a}=;p'",..sera uAe.raQÎoo priiailive. Alors » en effet, ai l'on désigne par
la plus petite puissance de cd ' qui se réduise k Tunité, le plus grand commua diviseur de ms et do n sera le même que celui de s et de n. Or, en yertu du théorème 5 , la puissance de p , dont Texposant sera égal k ce plus grand commun diviseur» aura pour valeur l'unité; et, puisque p est une racine primitive , l'exposant dont il s'agit ne pourra offrir un exposant inférieur k n. Donc la plus petite valeur qu'on puisse attribuer k a doit être divisible par fi » et ne saurait dilKrer de ^ a = ii; d'ob il résulte que a9 = |»'" sera., dans Thypolbèse admise, une racine prifoilive de l^uation (a).
Scholie s. Puisque ies*4fvie?sesr«clMa primitives de l'équation (a) sont reepedirement égales aux diverses puissances de /» dont les exposants sont premiers k p mais inférieurs k n » l'expression (48) indique certainement combien il j a de nombres eatiers , premiers k n , et plus petits que n. C'est » au reste, ce qu*II serait facile de prouver directement.
7.* Tb&ohêmb. Soient p un nombre preml& qudeonque, et n un nombre entier diviseur 4e p — 1 • IJ équivalence
(1) «"izi* {moà.py
admettra autant de racines primitives qu'il y a de nombres entiers premiers à n , mais inférieurs à n; et, si Con suppose • , . .
i». A. c,^... ikuUJUêfketmrâ prmi^9 de n, ch^un€ de» fiieiim.4n^imUiv€$. de CéquivaUtice (3) sera U produit de plusieurs facteurs u, v, w^... qui serviratUde racines primitives aux équivalences
(5o) u =1 9 v=ie •»=!» o*c... (inod.p.).
Démonstration. Pour établir le théorôine 7, U suffit de remplacer^ dans la démons- Iration que nous avons donnée do tbéorème 6, le signe = par te signe = , en prenant le nombre p fioor module*
Scholie. Soit r une racine primitive de l'équiralence (3). Les diverses puissances de r d'un degré inférieur k n , savoir
seront évidemment dos racines de la même équivalence. De plus ces racines seront distinctes les unes des autres. Car, si Ton suppose
T^=,T^ (mod.;i.) ,
m étant inférieur k n , et < égal ou inférieur k m , on en conclura
r'"""'=i (mod.p.) »
par conséquent m = f • Donc la suite (5i) comprendra toutes les racines de la formule (S). De plus , si les nombres n et m < n ont un commun diviseur u > 1 , alors , en prenant ^
œ^r* (mod./9«),
on vérifiera non-seulement la' formule (3J» mais la suivante
n «•• = 1 (mod./>) »
et par conséquent. ^a? = r"* ne sera pas une racine primitive. Donc las seules jouissances de r qui pourront servir de racines primiùves à la fpripule (3) seront celles qui offriront des exposants premiers à n. Enfin, comme le nombre N des racines primitives est précisément égal au nombre des puissances de r qui oflOrent des exposants premiers k n mais plus petits que n » on peut aflirmçr ^e chacim^ de ces puissances sera une radne primitive.' G^est d'ailleurs ce qu'il serait facile de prouver directement.
SehoUe a. Lorsque n deriont égal k p-^-i , les radiies primitives de l'éqnÎTa-' lence (3) rédaite à la forme
«''"•'=1 (mod.p,)
sont ce qu'on appelle les racines primitives du nombre premier p. Cela posé , on trouvera toujours , pour un nombre premier p » autant de racines primitives qu^Q y aura de nombres premiers à p , mais inférieurs k p.
8.* TnioRfiME. Soient p une racine primitive de Ciqualian (t). r «fie romis primitive de CiquivaUnee (3) i ^ w un diviseur entier de n, £ee deux formulée
(5a) œ *^ = 1 , (53) » ^ = i (mod.p)
auront pour racines Us puissances fU p etd^ r, dont tes eocposants seront multiples de tÊ, et pour racines primitives celtes des mêmes puissances d^nt les exposants t
divisés par » , donneront pour quotients des nombres qui seront premiers à — .
Démonstration. En effet, dans Thypothèse admise, les différents termes compris dans la suite ' .
0 w a» ("r: - il» n-«»
n et dont le nombre est — , seront autant de racine distinctes de Téquàtion (5«) , tandis que les différents termes compris dans le suite
o w a» lir"*)** «-•»
seront autant de racines distinctes de Téqui valence (53). De plus« m désignant od des nombres entiers o, i, a,*..r— -«-i, p" deviendra une racine primitive de
l'équation (5a), et r * une racine primitive i^ l'équivalence (53) , si ms^ est le plus petit multiple de m» qui soit divisible par n , par conséquent si m eit pre-
mier a — . . .
9.* TaiOBfiXE. jMfjfiimef choses étant posées que dànf tes thfor^lUfi 6 el 7» détdgnqns par
(2Sl )
n, Uê termeê poêiiifs^ ci par
ft f f^ f ^ p ••*
iâi Urtnes négatifs que pritenu le diveloppemwU da produit (56) iV=„(,«±)(.-I.)(,-±).....
Faiêonê HaiUeurê
^ sera une fonction entière de x , et U$ deux fbrmutes
(Sg) ^ = 0 (mod.p.)
ottroiU /90ttr raoinei, la première ^ lee racines primitives de CiquiUion {&) , ta ieeôàde tes racines primitives de CiquivaUncc (3).
Démonstration^ Comme , en déveloi^ant le produit N , on trouvera
(6o) iV = n-^— l-^-.., + -^ + -£- + ...+-£- + ...--^-ete. , on en conclura
Cela posé , toit p une racine primilire de Téquation (a) « et r une racine primitive de l'équation (3). Cbacuh des binômes
