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(62) œ»-!,»"-!, i*-i, s»*'-'^!,:.. ioB^-i, aj**-i,;.. «^-i,... »***'ivi.

sera égal au produit de quelques-uns des £icte(m linéaires ^ t

(65) « — 1, * — Pf « — ?*>••• « — p"-*»

et de plus éqniralent» suiyant le module p» , au produil de quelques-ooé^des iacteurt lioéairei • '

(64) 05—1. » — r, 05 — r», ... as- r***». , . • /» • -

D'ailleurs m étant l'un quelconque des nombres entiers

le facteur linéaire x — p"* diVbera seulement ^le premier des ^inomes (6a) /si ^jT est une racine primiti?e de l'équation (a), lie méihe facteur diTisera lev deux binômes

lorsque p "* sera une racine 4e l'équation cq ' = i . U divi^^ loi q{aatrt^4>i(iDqies j

lorsque p*** sera une racine de l'équation os ^ » etc. » et généralement il dimera tons lee Unomes dai^ hsqMhi les exposant» do. x seront ^j;aiit aux tènhes q«b julfateùt»

développement du produit

(65)|aa*(,-|)(l--L).o««(i--|)(i-i.)....o««(.-i.J(4--i)....

ou n(,-.i.)(i-i.)(.±)., éto.^..^ lorsque p'" sera une racine de récjuation

«•=:i, OU X = 19 OU .» =.1 • etc....

Il R n

OU 0^^=!,. oft. a»^âsi,...oa « .=s|, otc««^. .

ou X = i , etc.. 9 , etc.*..' •

c'esl-à-dire , lorsque le nombre m sera molliple de a, on de b , ou de e , ••• , oa de ab , ou de ac , ... , ou de be ^ ... , ou de a60.«. D'aiiieors, comme* dans le défe* loppement de chacun des produits que nous venons d'indiquer , le nombre des termes positifs est précisément égal au nombre des termes négatifs, il est clair que le facteur linéaire x — p*" divisera généralement» dans le numérateur de la fraction que renferme la formule (61), autant de binômes que dans le déDommatélir..Donc , en général , ce facteur disparaîtra , si l'on réduit la fraction dont il s'agit à sa plus simple expression. On doit seulement excepter le cas où p"*, cessant d'être racine d'une ou de plusieurs des équations (66), deviendrait racine primitive de l'équation (a). Donc la valeur de X, déterminée'par la "formule (61) , sera ^ale au produit de ceux des facteurs (63) qui répondent aux racines primitives de l!équation (a). Donc X sera une fonction entière de X , et l'équation (58) aura pour racines les racines primitives de l'équation (a).

Si, dans la fraction que renferme la formule (6 1 ) , on remplaçait chacun des binômes (62) par le produit équivalent de plusieurs de# facteun (64) , cette fraction , réduite à sa plus simple expression , serait le produit de ceux des mêmes facteurs qui répondent aux racines primitives de la formule (5). On. êA .doit conclure que l'éqojivalenee ($9) aura pour racines les racines primitives de l'équivalence cb"=i (mod.p.).

Corollaire i.** Si l'on suppose que le nombre n se réduise k une puissance d'un certain nombre, premier a i en sorte qu'on ait \' • /

on trouvera «

(67) Jr= — = a; +» 4-«-+» +'•

Par conséquent l'équation (2) aura pour racines primitives les racines de l'équati

et l'équation (3) aura pour racines primitives les racines de la formjlle

(69) X +« +*- + «+'=:;:0, (mod.p).