IV. ANIfàB. 5l
CoroUairô t.<;Si , n .esk le j)ffoduft d*une ftuiaMOce du noiMJbr^ premier . n par une puiMance du nombre preniier è , ..eh sorte qu'on ait
(jro) . iir=fl<A^,
les racines primitives de T^uaiion (9;)et d^ ré'|ui valence (3) se courondi^ntaVec les racines des. deux formules
CoroUair» 3. Si » e«t do la forme (73) - «=«***«>,- '.
lès racines primitives de réqnation (t) et de réqoifaloMe (3) se-ooafondroni atecles racines des deux formules
Corollaire 4« Soient p un nombre premier quelconque, et a , 6 » c » ... les facteurs premiers de p r- i » en sorte qu'on ait
Les racines primitives du nombre p se confondront avec les racines de l'équivalence
Darts les binômes que renferme le premier membre- de cette équivalence» le« exposants
de X sont respectiviélQe|iit égaux aux valeurs âumérlques des. ternies que présente le développement du prodUh ' '"
(p,) ^ __+...+^ +__ + ... 4.-^ + ...____etc.
Exemples. Puisqu'on trouve , en prenant p:s=:i , p — icst^ a=s» en prenant p = S , p — i = 4i« = â»
enprmant pz=ij,p — i = p, a== • ^ 6=^3 ,
en prenant p=: 11 , p — 1 = 10 , a:±= î ; 6='6-,
„.,(.-ij(.-i)=..(.i)(.-i)=..-..+., •
en prenant p=i5«p— *i = i2, a=:s, 6 = 3,
o-oI-tK-t)— (-t)('-t)=—«-<+-
en prenant p r= 1 7 9 p — 1 = 16, a ==:«,:
etc ,
et que Ton a d'ailleurs ' - j > >
etc.
OD peal affirmer qae les racines primitives de 3 se rédaisefit è la racine unique de FéquiTalence
(79) «4-1 = 0, (mod. 5) ,
que les racines primilires de 5 coïncident avec les racines de réqoivalence
(80) «• + 1 = o , (mod. 5) ,
les racines primitires de 7 ayec les racines de réquiralence
(81) «• — »4'> = o, (mod. 7).
les racines primitives de 1 1 avec les racines de l'équivalence
(8a) 09* — fio'4-«' — » + + * = <>• (mod. 11)^
les racmes primitives de i3 avec les racines de Tâquivalence (85) as* — «• + 1 = 0, (mod. i5),
les racines primitives de 1 7 avec les racines de Téquivalence
( t57 ) (84) a5* + * = o, mod. 17),
etc.
On trouverait de même que les racines primitives des nombres 19 » aS , 39 , 5i » 37 , etc.. , se confondent avec les racines des équivalences
a,e a;3-|-i=o , (mod. 19) , a5«o — x9 4" ^' ""T" ^^ + ^^ — »* 4" «* — ® ' + »* — a? + * = 0 , (mod. 23) , a;i» — x'*'^-^' — x*4-«* — a5* + ï = o , (mod. 29) , aî*4-aî' — 25* — «♦ — x' + a5 + i = o , (mod«3i),
«" — SB* + 1 = o j (mod. 57) , etc....
Il est d'ailleurs facile de s'assurer que les racines primitives des nombres 5 » 5 , 7 , 11, i3> 17 y 19, i5, 99 y 3i, 37» etc., vérifient les formules qu'on vient d'obtenir. En effet , ces racines primitives » lorsqu'on représente chacune d'elles par un nombre renfermé entre les limites o • p » sont respectivement
pour p se 3 ... s y
p=i7 ... 5, 5, 6, 7, 10, II, 12, 14,
''Iles deviendraient
( .58 ) pour p = 5 ... — 1 , p —- S ...— «, t pr= 7 ... — « , 3 ,
prrrll... 5, 4> 5>at
pzzzig... — 9*— 6, — 5, — 4» 2*» 3,
p=29... — 14» — 11. — ïo, — 8, — 3, — 2,2,3,8, 10, II. i4.
si on les représentait par des quantités compriMS entre les limites , + ^^
aura d'ailleurs évidemment
2 + * ^ o , (mod. 3) ,
2*4"»='*4"'=<>» (mod. 6) ,
3' — 3-f-i=5* — 5+1=0. (piod.7), ctc
Il est bon d'observer que le produit (78) sera un nombre pair, si l'un des facteurs
a , 6 , c , est impair, ou si p — 1 est divisible par 4* Donc ce produit sera
toujours pair, excepté dans le cas où Ton supposerait fs = 3. De plus, les différents termes, compris dans le second membre de la formule (78), seront pairs eux-mêmes, si p — I est divisible par 4* I' ^uit de ces observations que l'équation (77) , réduite ft ^a forme la plus simple , aura pour premier terme une puissance paire de x, si p n'est pas (^gal à 3 . et ne renfermera que dea puissances paires de x , ai p — 1 est divisible par 4- D'ailleurs le dernier terme de cette équation sera la valeur du rapport
correspondante à x = o , c'est-ù-dire l'unité. Donc , si Ten excepte le cas oii Ton aurait p = 3, les racines primitives du nombre p donneront l'unité pour produit; et ces racines pourront être considérées comme deux à deux égafes, mais affectées d
signes contraires, toutes les fois que ic nombre p , divisé par 4 » donnera i pour reste, ~
io«* Théorkme. Soient
les racines de t' équation
(85) aoa:"' + o.a;"'-'4-... +a««,aî+a« = o ,
dans laquelle a« , ^g , ^m-i » ^m désignent des quantités entières, et suppoêons que C équivalence -^
(i) rtoaî'" + ««a5'""" + ••• +«m-«îB4-«« = 0 . (mod.n) ,
admette m racines distinctes rêprésentéu par
Soient d* ailleurs
cfn« fonction entière et symétrique de (t > C« > •••• Cm- » « Sm » <^ coefficients entiers ou rationnels^ et V la valeur entière ou fraâtionnaire de cette même pnetion, IJéquation
(86) F(Ç.,.{.,...&,^., «».)=P,5 entraînera Féquivalenee
(87) • T{œt,x^,...x^^^,x^) = V , (xDod.n).
Démonstration. Les fonctions symétriques de St » (* > Cm -.>>{«« . et de x^ ,
«, , ... «M^, , •» , représentées par
F(e,,Ç,, ... 6n-i> ïm) «t F(«,, X., ... a:«-,, x„)
peuvent être considérées » la première comme une fonction entière des sommes
(88) / etc.. ,
( «4o ) la seconde comuic uno fonction semblable des quantités que Ton déduit de ces même» sommes en écrivant partout S au lieu de x , quantités qui vérifient les formules (lo] et par conséquent les suivantes
aî. + îr,+...+aîmzi: ' » (mod.») ,
Oo
XiXi + a:,aî3 + ••• +û5i«m + ^>^3 + ••• + îr,a8« +••• +^ — iSCm ^ — • etc.. ,
X^ X% ••• Xm m^ i Xm ZtZ """■ «
Or il suit évidemment de celte remarque qu'en omettant les multiples de p on trouvera pour la fonction
