etc
\ -.oAc^* ^'^abc
+ etc
Par suite on aura
(lOO) ^/ = 0,
si l n'est divisible par aucun des nombres entiers ' ^
a b c ab ae be . abc
c'est-à-dire, par aucun des termes renfermés dans le développement du produit (<56).
M. lis, si l(! oc»nlrair(^ arrive, alors, en nommant <-> !c plus grand des nombres (io4) '|iii «livisr l , on trouvera
pour ,.,:r.:n. ,, = „(,-i.j(,-i-j(,-J.J...=iV.
pour Ole...
pour w = , *, = 1— "T- •• ,, :=:z p
^ ac ' ' ac \ ù) C"-«)(»-^)
pour
elc...
J"^""- ^=-sïr' ''=-i- = (i-a)(r.*)(..o'
^ clc.
Cela pose, on déduira immédiatement des formules* (loo) et (io5) les propotiiions suivantes.
1 3.* Tni^OBâiiK. Soient n un nombre entier quelconque^ a , b , c , ... Us facuun premiers de n , et faisons
Iai somme des puiasaneet du degré l , pour U$ racines primitive* de fiquatitm
sera nulle, si le défère t n^cst divisible par aucun des termes que renferme le dévi'^ loppement du produit (56) , ccsl-à-dire^ par aucun des nombres ()o4). IHais, &i parmi CCS nombres on trouve un ou plusieurs diviseurs de l , il suffira de considérer le plus f^rand de ces diviseurs , puis de remplacer, dans son expression sous forme fractionnaire, les nombres n , a, b , c , .,, par les nombres N, i — a, i — b, i — r,... pour obtenir ta somme dont il s* agit,
i4-' TiiioRÊMc. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème iZ , et p étant un nombre premier qui, divisé par n , donne i pour reste; la so$nme des puissances du degré l , pour Us racines primitives de ^équivalence
(3) aî" = i, (mod.p) ,
sera équivalente à zéro, suivant le module p, si l n^est divisible par aucun des nombres (io4)« Mais, si, parmi ces nombres, on trouve un ou plusieurs diviseurs de l , il suffira de considérer le plus grand de ces diviseurs , puis de remplacer , dans
son expression sous forme fractionnaire, les nombres n, a, b , c par N ,
1 — a , i — b , 1 — c , .... pour obtenir une fraction équivalente à la somme dont il iagit.
Corollaire i."^ Lorsque, Aans le nombre n , chacun dos facteurs premiers a , b , c , ... se trouire simplement élevé à la première puissance, on a
(io6) vk=aéc...
el le plus petit terme de la suite (io4)» ou —^ — se réduit à l'unité. Alors aussi la dernière de^ équations (i»5) donnera
(107) S^ = itl,
le double signe devant être réduit au signe 4" ou au signe — suivant que le nombre des facteurs a , h , c , ... sera parr ou impair; et la formule (107) subsistera tontes lés (bis que l sera premier à n. On pourra donc prendre (= 1 , et par conséquent la somme des racines primitives sera équivalente à dzi.
£^or0//atr6 2. Lorsque, dans le nombre n, un ou plusieurs des facteurs a, b, c,„. sont élevés au carré ou à des puissances supérieures , le dernier terme de la suite (io4)»
savoir, —7 surpasse l'onilé, et si Ton désigne par / un nombre entier inférieur
h ce terme , on aura
Donc alors , en prenant (=: 1 » on trouveFa
( «46 ) (io8) «, = 0.
Ajoutons que, dans le csa dont il s'agit, l'équation (100) subsistera toutes les fois que le nonibre entier / sera premier an, ou même à .
Kn remplaçant , dans le théorème i4 • n par p — 1 , on en déduira immédiatement la proposition dont voici l'énoncé.
j3.' Tiièohexb. Soient p un nombre premier quelconque ^ et a , b , c » .... les facteurs première de p — i.t La somme des puissancee du degré /» pour Us ra^ cines primitives du nombre p » sera équivalente à zéro , si l tCest divisible par aucun des nombres
U^^\ ^ . ^'^ IZl. P'^ P'^ P-'. P'^ P'^ ^r
^ ^f r ^ a * b c ab ac bc abc
Mais, si, parmi ces nombres, on trouve un ou plusieurs diviseurs de l, il suffira de considérer le plus grand de ces diviseurs, puis de remplacer^ dans son expression sous forme fractionnaire, p — 1 par te produit
