C-Oi-TK-XK-T

a par 1 — a , b par 1 — fc , c par 1 — c , efc... pour obtenir une fraction équivalente à la somme dont il s'agit.

Corollaire 1". Lorsque , dans le nombre p — 1 , chacun des facteurs a, b, c,... se trouve simplement élevé à la première puissance, la somme des racines primitives du nombre p est équivalente à zb 1 , savoir, à -|- 1 quand les facteurs a, b, c,... sont en nombre pair, et à — 1 quand ils sont en nombre impair. La même somme est équivalente à zéro, lorsqu'un ou plusieurs des facteurs a , b , c , ... se trouvent, dans le nombre p — \ » élevés au carré ou à une puissance supérieure. C'est, au reste, ce que l'on savait déjà. Mais on peut ajouter que, si l'on désigne par / un nombre

premier à p — i , ou même à — , la somme des puissances du degré /, pour

les racines primitives du nombre p , sera toujours équivalente à la somme de ces racines.

Pour montrer une application du théorème i5, supposons p = ig. Dans ce cas, le nombre

aura pour facteurs premiers 2 et 3. On pourra donc supposer a = 2 , 6 = 3 , et la suite (107) renfermera seulement quatre termes^ savoir.

>8. T=9' T=^' ir5-=^'

On Ironvera d'ailleurs

Donc, en vertu du théorème i5, la somme des puissances du degré /, pour les racines primitives de 19, sera équivalente S zéro, suivant te module ig, si / n'est pas divisible par 3. La même somme deviendra équivalente h. C , si / est divisible par 18, à — = — 6 , si l est divisible par — = Q» à — = — 5, ■ - i . a -a

l& fi

s^ l est divisible par — = 6 , enfin à -p — r-p — - = 5 , si / est divisible par 5. ËlTeclivement les racines primitives du nombre ig sont

et l'on trouve

2, 3, to, i3 , 14, i5,

2 + 5 + 10+ i5+ 144. r5 = 6, (mod. ig) , 2«4.5* + io'+ i3*+i4'+i5' = o,

a4 4.34+io4+i34+i4*+i54 = o, a5 ^. 35^,05^^55^, 45 ^. ,55 = 0,

etc ,

J84. 354. io3 + i5» + 14»+ i5» = 3 , • 2«^+ 3'^ + 10'^ + i3*« + j4»« 4. i5»« = 3 , etc«tr«« »

a6 + 5«4.io«+i3«4-ï4« + i5« = — 5, 2" 4. 5" + 10" + 1 8" + 14» 4. ï5» = — 3 . etc

a^8 4. 5 v« 4. 10*8 4 i5«5 4 i4«! 4 i.5«« = 6 ,. etc

( â48 ) 16/ TuÉonÈME. Supposons , comme dans le théorème 10, 7c c Con dcsigne pir a,, fr, , ... (!,„-., , fl« des quantités entières, par

les racines de Céquation

(85) ^oa5*' + rt,x'"""' + ... +rt«,,x4-a« = o,

/}((r p Uii nombre premier supérieur ou égal à m; 41 que l'équivalence

(4) "oJc"' +rtia:'"-" +... +.««.. 05 + aiit^o , (mod./)) ,

admette m racines distinctes représentées par

Soient d'ailleurs ^

I4n0 fonction entière à coefficients entiers ou rationnels, mais non sj-métrique , des racines de l'équation (85), ou île plusieurs d^ entre elles » et il le nombre des valeurs distinctes que cette fonction peut acquérir en vertu d'échanges opérés entre les racines Ç. • Ç Çm. Désignons par

U, , V, , ... Vjf

CCS mêmes valeurs , et par

Ut , u, , ... ffjr

les quantités dans lesquçlles elles se transforment, quant aux racines E. » (• , ••• U

de C équation (85) on substitue les racines a?, » x^ x^ de C équivalence (4)*

Enfin soit

(110) ll^+y<.tt^-+y*,a''-H \-Am^^U^Au = 0

Véquation qui a pour racines u, / u. »... ujf. Les coefficients Ât, A», ... Au seront entiers ou rationnels, et Céquivalenee

(111) a*' + /i,M''""*4-yfatt*'"» + ... +Am^%u^Am =0 (mod.p) aura pour racines u, » t£, , ... Ujf.

Démonstration. Comme» daos Thypothèse admise» on aura identiquement

(lia) (a— .V4)(a — v,)...(a^wjir)=M*4-i^.tt'-"4-... + irfM-i«+^if,

(ii5)

il Q»l clpir gue., 4,> 4« 0. A^.^ sefppl.,4o^ j^ooctioiui symât|iip6fi,4^. ;fc . .Ç«.fv* U, * coeificienls entiers ou rationnels, et par copi^ufii^t de; fonctions efUièfQsdçs, rapports

~~ , — » ••• — • Donc Ax 9 An $••»' Au se réduiront à des quantités entières ou

rationnelles. Pe plus, si, dans les seconds membres des équations (ii3)« on remplace

V, , ^; vif )>ar «ir^ ci» » ..«/.u»ft«Tces: seconds iAaml^r4a»^;quiiitaÎM^ dM^ fenoM^uû

symétriques des racines de Féquation (85), se transformeront en des fonctions semblables des racines de Téquivalenee (4). Or il suit «évidemment de cette remarque, qa'en nmettant le&<multiples de p , on aura encore

^.=— (m. + «, + ... +ttii) . (mod.p) , eic* • • • • ,

Donc la formule

(ii5) (tt — II.) (tt — «,)... (a — iij») = a'+^,tt*-»+...+^ji«.a+-rfji, (mod.p) subsistera, quel que soit a , et Téqùivalence

qui a pour raciDQs u, , u.^^.. ujw,, , pourra, être Rré$eQ,tée.«op8..1a formp (117) u* 4. ^. u*-; -f .-«<vi*"-F^H- •>'•-♦*• ^jf-^«^- -«^Ji ^« .:. (»o^« P)-

Au reste, le 16.* théof^èoR^ estVo^prisV^ommé cks'partfcâîer,*âan) ul^ théorème plus général', que Ton démontrerait de la mémo manière, et dont yoici V|6ponpé.