III.* AMliR
(Sa) Or on tirera des formufes précédenlcs , combinées a?ec Téquation («8) ,
ou , ce qu? revient au même»
Telle est la forme la plus simple que puisse recevoir réquation (a8). Supposons mainte* nnnt que, par le point (S>>i, C) et par le rayon R^ on fasse passer un plan. Ce plan, 4ui coupera Tellipsoîde suivant une ellipse, donnera pour sections, dans la surface cylindrique et le plan tangent, deux tangentes conjuguées de celte ellipse. De plus, il est clair que les extrémités des trois longueurs désignées par r ^ $ , t seront situées sur Tcllipse et sur les deux tangentes conjuguées. Donc l'équation (35) entratnc la proposition suivante.
I .*' Théorêmb. Si, après avoir tracé dans une ellipse un rayon quelconque r , on divise successivement l'unité par le carré de ce rayon, et par le carré de chacune des deux distances s ^ t ^ qui séparent le centre des points ou le rayon prolongé rcn^ contre deux tangentes conjuguées , le premier quotient sera équivalent à la somme des deux autres.
Si l'on voulait démontrer directement ce théorème , duquel on peut déduire Téquation (28), il suffirait de projeter Tcllipse sur un plan passant par le petit axe, et formant avec la grand axe un angle t qui aurait pour cosinus le rapport du petit axe au grand axe. Alors en effet Tellipse et les deux langonles conjuguées donneraient pour projections un cercle dont le rayon serait rcosT • et deux tangentes menée» à ce cercle par les extrémités d'un arc égal au quart de la circonférence. Il est aisé d'en conclure que les projections des longueurs s g\ t , savoir,
JC0S7, /CO8T9
seraient équivalentes à denx produits résultants de la multiplication du rayon du cercler par la sécante et pur la cosécante d'un même angle. Donc, en désignant par 0 cet angle, on aurait
5C0ST s , fCOST t .
= — :=z sécô , = — = cosécô ,
rcoST r ?'co«T r
et par suile
1 = cos'O 4-sm'6i = 1 .
Or celle dernière équation coïncide évidemment avec la formule (35) «
Lorsque les constantes a, b , €, B devicDDcnl égales entre elles » rellipsolde se réduit à une sphère , et Téquation (s8) peut s'écrire comme il suit :
(36) Ç»-f ii*-fÇ* — (Çcosa + *co8p + Çco87)»=/l».
Le premier membre de la formule précédente n*est autre chose que le carré de la perpendiculaire abaissée du point (S, n, C) sur la droite menée par l'origin'ê parallèllèment aux génératrices du cylindre circonscrit à la sphère. Donc cette formule exprime que la perpendiculaire dont il s'agit est égale au rayon de la sphère; ce qui est évidem- . ment exact.
^ Si à Fellipsolde que nous avons considéré ci-dessus on substituait un hyperboloîde k une on à deux nappes représeaté par Féquation
ou par la suivante
il est clain^ que l'équation de la «arfiiGe cylindrique , circonscrite à cet hyperboloîde , wrait, dans le premier cas,
«l,.dans le second cas»
(40) ^ll ll. = /î.(if2îl + Jl^i£2!l.]\
^^ ' c* il» b* \ a» ^^ 6» c* I
Dans Tun et l'autre cas , la courbe de contact de Thyperboloïde et de la surface cylindrique serait plape » et son plan serait représenté par l'équation
g, . â?C09a j^cosô «CO87
Quant aa premier théorème , il se trouverait remplacé par une proposition relative k deux hyperboles conjuguées ^, et que l'on peut énoncer comme il suit.
* lloas détîgnoD* foos le nom d'kypêrMêi eot^uguéet dem hyperboles qiii ont le même centre » lei mêmes
2.' Théorêue. Supposons qu*aprts avoir tracé dans un plan deux hyperboles , on mène à ces hyperboles des tangentes conjuguées, ù'est-à-dire, telles que les points de contact soient situés sur deux diamètres conjugués. Concevons de plus que du cetUrc commun des deux hyperboles on mène à Cune d^ elles un rayon r, et que Con divise C unité i.*" par le carré du rayon r , 2.*^ par le carré de chacune des deux distances s • t qui séparent U centre des points oh le rayon r rencontre les tangentes conjuguées. Le premier quotient sera équivalent à la différence des deux autres , et Con aura
pourvu que la longueur s soit celle quUnt^rcepte une des tangentes de Chyperbole à laquelle appartient le rayon r .
Supposons encore que l'on demande la surface cylindrique circonscrite au paraboloïde elliptique qui serait représenté par Téquation
Alors, au lieu des formules (23) et (25), on obtiendra les deux suivantes
(44) -r- cosa + — - cosS = — cosy ,
(45) ^ + ÏT - 7 - 7 •
puis on tirera de ces dernières, combinées avec la forninle (m) »
Çcosa ^ ïjCOS^ ' COS7
fl" b* c
cosa cosp COS7 cos*a cos*p et par conséquent
S cosa sicos^ COS7 «• ' b- c
asymptotes et les niâmes aies, avec cette différence que Toic réel de la pn'mière t»t pcrpfendiculaire a Taii. réel de la seconde. [Voyez, à ce sujet, les Leçons sur len applications du Calcul infinitésimal à la Gcomi-tric . p«ges 273 et snÎTantPS].
cos'a* cos»p
Si, au lieu iTun paraboloide elliptique, on considérait un paraboloïde hyperbolique représenté par la formule
Téquation de la surface cylindrique circonscrite deviendrait évidemment
/ Çcosa >îCOsp COS7 \ *
a* b^ iC cos*a cos'P
fl»"^ b^
H est bon d'observer que , dans les formules (46) et (48) , 4es binômes
COS*a C08»P C08»a COS'P
ont pour valeurs numériques les quotients qu'on obtient en divisant l'unité par leti carrés des rayons qui forment des angles a , ^ avec les demi-axes dos x ei y positives, dans Pellipse et Thyperbole représentées par les équations
Supposons enfin que Ton demande la surface cylindrique circonscrite à une surface du second degré représentée par Téquation
(49) ^•• + JI/»+C»»4-iD/ï + aE«a^4-aFa?^ + aGa:4-a£rj' + a/»=:ii[.
Alors les formules (a3) et (sS) devront être remplacées par les deux suivantes
(50) (irf«+Fj+£«+G)co8«+(Fa^+i?7 + Z)i+£r)cQsf + (£a?+D/+C^+/)co.svr:r:o , (5i) (iÉra?+Fj+£« + G)Ç + (Fa?+^/ + Z)«+ff)iï + (£a?+i77+C«+/)Ç+Gar+£rj+£;x = iï, dont la première représentera toujonrs le plan de la courbe de contact des deux surfaces;
el, en combinant ces formules avec la formule (u)» on trouvera pour l'équation de la surface cylindrique demandée
(Sa) \ [(^S-fF»3+EÇ + G)co8a+(FS+g>»+Z>'^-f£r)cosp+(£g^>i>n-i-Ci;-h/)co87]'
\ ^cos'a-jk^cos»p + Ccos*7+aDcospco87+aJBco87C08«+aFco8aco«p
a.*^ Exemple, Proposons -nous de faire passer par une directrice donnée une surface conique dont le sommet coïncide avec le point qui répond aux coordonnées a;« , j^o » ^o • Les coordonnées g , )7 » ^ de la génératrice menée par le point {x^y^ z) de I9 directrice vérineront les deux équations comprises dans la formule
(53) di^ = Ji:2L=Jii-.
^ ' Xo-x y^^y z^^z
ou , ce qui revient au même » dans la suivante
X'^Xo /""/o Z'-'Zq
Donc, si entre l'une de ces formules et les équations de la directrice on éliuàine x , jp Zf l'équation résultante, qui renfermera seulement (,»,(, sera précisément celle de la surface conique.
Lorsque la directrice est une courbe plane représentée par les équations (55) Ax-^By^Cz^K, Y{x,y.z)^o.
on tire de ces équations , combinées avec la formule (54) »
et paf suite
' x-Xo y-yo «-^o K'{Jxo'hByo'¥Czo)
! ^«, (^ ^^ Àx.-^Byo-^Czo-K
.- , , , . j^Xo+Byo-^Czo'K (Sy) { r=ro— (^— Jo) '
j4xo + Byo'\'Czo-K ^(Ç-a?o)+l>(«-ro) + C(Ç-^o) '
(55) puis , en sobstiluant les valeurs pn^cédentes de x , jr f z dans la seconde des formules (55) » on trouve pour PéquaUon de la surface conique
Lorsque la directrice est comprise dans le plan des x ^ y , et représentée par les formules (17) > TéqUation de la surface conique se réduit à
Concevons, pour fixer les idées » que la directrice soit une ellipse comprise dans K^ plan des X , y t et représentée par la formule (19]. L'équation (5g) deviendra t^
(60), JfdllîlL + iZfl^ = (; ,.). .
Supposons maintenant'que la surface conique doive être circonscrite à une autre surface représentée par Téqualion (4)« Comme, en chaque point de la courbe de contact des deux surfaces, la génératrice de la première et la normale à la seconde se couperont à angles droits, les coordonnées x, y, z de cette courbe vérifieront évidemment les deux équations
>. V rfi* , \ . . du , K , du ,
(61) V tt = 0, 5^(aî — »o)+^(r— 7o)+^(«— ^o)=0.
dont la seconde aurait pu être immédiatement déduite de la formule (7). Cela posé, pour obtenir Téquation de la surface conique , il ne restera plus qu'à éliminer x , y^ z entre les formules (55) et (61).
Concevons en particulier que la surface conique doive être circonscrite h un ellipsoïde construit avec les demi'-axes a , b , c , et représenté par Téquaticn (22). La seconde des formules (61) deviendra
(6,) £(^+Zk^^jL{iiM^„^
fl" ^" C
et, en la combinant avec l'équation (ta) , on obtiendra la suivante
c'c9l-à-dirc l'équation d'un plan qui coupera l'ellipsoïde suivant la courbe de contact des deux surfaces. Dé plus l'équation (63) , réunie à la formule (5}) » entraînera TéquAtion (24) et par conséquent l'équation (sS). Cela posé, on tirera de la formule («55)^, combinée avec les fomiulcs (92} , (26) et (63) ,
cl par siiilc
Telle est l'équation de la surface conique circonscrite k l'ellipsoïde. Cette même équation peut encore être présentée sous d'autres formes très -simples, et que nous allons faire connaître.
Soient ^o le rayon vecteur mené du centre de l'ellipsoïde au sommet de la surface conique, li la partie de ce rajon vecteur qui représente un rayon de l'ellipsoïde » et oc , ^ , 7 les angles que forme la direction commune des rayons R^ » R avec les demi-axes des coordonnées positives. L'équation (a6) sera vérifiée^ et l'on aura de plus
(65) Xo=BoC0Sa, Jo==iloC0Sp, So = i{oC0S7,
(66) --4.~4.~=fl, ^__+-^ + __ Par conséquent la formule (64) , divisée par -ffo' » deviendra
Si, dans cetlé dernière, on suppose R^=zoo ^ la surface conique se transformera en une surface cylindrique, et l'on retrouvera, comme on devait s'y attendre, l'équation^aS).
(57) Concevons à présent qu'une droite soit menée du centre de lellipsoïde h un point *(Sf i> () choisi arbitrairement sur la surfeee d^ cofie ctrconscrit. Cette droite coupera l'ellipsoïde, et le plaa tangent qui touche l'ellipsoïde à Tcxlrémité du rayon R , en deux nouveaux points dont Içs coordpnnéds x , jr^ s tA J[ , Y» Z vérifieront les formules (aa) et (5o). De plus, si l'on désigne par Vy s , t les longueurs mesurées sur cette droite à partir du centre de l'ellipsoïde , et qui aboutissent aux trois points correspondants {x,jr, ») , (5, »j, Ç) , {X, Y,Z) , ces longueui^ se trouveront liées aux coerdennéef 4 , i * C par les formulas (33) et (34). Or on tirera de ces formules , combinées avec Téquation (67) ,
W fe-7^)'=(^-lt.)(7r-^)-
Telle est la forme la plus simple sous laquelle on puisse présenter l'équation (67). D'^illeqra » ai « p^r le point (Ç • ^ » (} et par le rayon H , on fait passer un plan , ce plan , qni coupera TeUipsoîde auivaot une el^ps^ , donnera pour sepliouf , deos la surface conique et le plan tangent dont nous avons parlé ci-dessus , deux tangentes quelconques de cette ellipse. Enfin il est clair que les extrémités des longueurs r, s , t seront situées sur Tellipse et sur les deux tangentes. Donc Téquation (6S} fera connaître une nouvelle propriété de Téllipse. Cette dernière propriété , plus générale que celle dont l'énoncé a fourni le premier théorème, pourrait être démontrée directement par le même mfyyen , -attendu qn^I est hdh de la vérifier dans le cas où Tdlipse te rédnR à un cercle.
Si à Tellipsoîde représenté par l'équation (sa) on substituait l'un des hyperboloïdes représentés per les formules (ij} » (U) , l'^uation de b surface co«i^ue circonscrite se réduirait à l'une des suivantes
:t la formule qui remplacerait l'équation (68) ferait connaître une propriété du système le deux hyperboles copjugpées.
* St^peaesa enoora 4)wi IVin jdeimande la surjace conique ctrconacrite au paraboloïde elliptique représenté par l'équation (43). Alors, au lieu des formules («5) et (65), on obtiendra l'équation (45) et la suivante
IlI.«Alfll£E. *
puis on tirera de ces dernières combinées avec la formule (55)
*.-« y.-y *o-« or.' . y^ «,
«oÇ y.» Ç+«.
et par conséquent
(7») (— +V — rj =1-^+^^ r)(— +ir— -rj-
Si » au Heu d'un parabololde elliptique , on considérait un paraboloîde hyperbolique re*^ présenté par la formule (47)# l'équation ût la surface conique circonscrite deviendraitéyidemment
(7^) l"ïï p ~i —\~- P rl\:^~i^ rj-
Supposons enfin que Ton demande la surface conique circonscrite à la surface du second degré représentée par Téquation (49)« Alors les formules (a5) et (63) devront être remplacées par Téquation (5i) et par la suivante
(74) (^«+rj+Jî«+C)aîo+(Ftfî+Bj+D«+jr)jo+(B«+Dj+C«+/)«o+Gà?+JJj+/if=iC,
qui représentera la courbe de contact des deux surCaices; et » en combinant ces équations « avec la formule (53) , on obtiendra celle de la surface conique demandée, savoir
[(^£^^gl^^^£C.^fC)J?o^^(FSfBl>+i>C4g)ro^^(JSg^■Pl^■^cC:f7)zo^■G4^^g»^^>/c-^
3/ Exemple. Proposons -nous de faire passer une surface conoîde par une directrice donnée. Si cette surface a pour axe Taxe des z, les coordonnées S # n i ( de la génératrice menée par le point {x , y, z) de la directrice vérifieront les deux formuki»
<59) Donc» 81 entre ces formules efc les équations de la directrice on élimine x^ y^ z ^ l*équaUon résulUnte, qui renfermera seulement C, n , C , sera précisément celle de
la surface cottoide.
Lorsque U* directrice est une courbe plane représentée par les équations (55) , on lire de eei'équations combinées avec les formules (76)
X ~ y ~ Aaf-^By "^ K-Cs ~ K-CK ' et par suite
puis, en siJbstitnant les valeurs précédentes de x , jr, z dans la seconde des formules (55) » on^ trouTe » pour l'équation de la surface conoide ,
Dans le cas particulier où la directrice est renfermée dans un plan perpendiculaire à Taxe des x» et représentée par deux équations de la forme
(79) « = a, F(7,«) = 0v l'équation de la surface conoîde se réduit h
Ainsi , par exemple , si l'on prend pour directrice l'ellipse que déterminent les formules
!a sarface conoîde sera représentée par l'équation
à laquelle on pftryiendrait ég^lem^t en prenant pour directrice le cercle que détcf minent les deux formules
(Go)
ac
Supposons maintenant que la surface conoidc doive être circonscrite k une autre surface représentée par Téquation (4)» Alors ^ pour chaque point die la courbe de con^ tact des deux surfaces , l'équation (5) du § a devra èlre vériGée par les valeurs de p et q tirées de la formule (g) , et par conséquent les coordonnées x, j , z de cette courbe seront liées entre elles par tes deux équations
du du
dont la seconde aurait pu être déduite de la formule (7). Gela posé» pour obtenir l'équation de la surface conoide, il ne restera pj,«s.qu'à éliaouiner x , jf z entre les formules (76) et (82^).
Concevons en particulier que la surface conoïde doive être circonscrite à un ellipsoïde dont le centre coïncide avec le point {t^,Jo» ^t^» ^ dont les axes soient respectivement ta , 26, 2c , savoir, à l'eHipfl|oide représenté^ par Téquation
La seconde des formules (84) deviendra
(80) ^(fi±L + i:Içz^=o:
De plus, en combinant pelle-ci avec la première des équations (76)^ on trouvera (87) -^ (35 — aîo) 4--^ (7— J«) =0 .
Enfin on tirera des formules (76) , (85) et (87)
( 6i ) et par conséquent
Telle est l*équation de la surface conoïde circonscrite à l'ellipsoïde.
Si Taxe' d*une surface eoaoïde coîBeidait , non plus atec Taxe des t , mais avec la droite menée par un point donné {x. , j^ , z^) , de manière à former avec les demi-axes des coordonnée» positives «ertat os angles « ^ ^ , 7 , les coordonnées i, n^K de la génératrice menée par le point {x , jr, z) do la directrice vérifieraient les deux formules
(89) (S — «)cos«+(«— j)0O8p4.(ç — «)oesr=o,
(90) (Ç — «)C0S£+(»— /)COsJf + (t— ^)C05iY= 0 ,
L , M » N désignant les angles compris entre les demi-axes des coordonnées positives et la perpendiculaire au plan qui renfermerait cette génératrice avec Taxe de la surface conoide. D*aillanrs ces angles seraient évidemment liés eatre eox par les deux équations
C0SaC0S£ ^ COS^COSibr 4* COS7COS/V = o , 'â?o)cOsX + (j— y.) COSilf +(« — «•) COSiVrso ,
desquelles on tire ^
, ^ cosL cosJf cos^
(r-/o)cos7-(«-«o)cosp («-^o)cosa-(a?-4?o)cos7 («-«o)co9p-(7-j'o)cosa * Donc par suite la formule (90) donnerait
(95) t(r-7o)c087- (s-«o)C0Sp](Ç-a)+[(s.*o)C0S«- («^«o)aOS7](i|^)H{(4h^6
Dans l'hypothèse admise » les formules (89) et (95) représentent la génératrice qui passe par le point {x,ypZ) de la directrice. Qonc, pour obtenir alors l'équation de la surface conoide, il suffit d'éliminer x , y ei s entre les équations de la directrice et les formolea dont il s'agit. ^
Il est bon d'observer que Ton peut substituer » dans les formules (91) et (98}» lescoordonnées (, 1, C aux coordonnées x, y, t,, et remplacer en conséquence l'équatien (93) par là suivante
(6« ) Or de celte dernière réunie à la formule (8g) on conclut
'Ç-«o-[(Ç-«*)cOS«+(u-;ro)c08p+(Ç-«o)cOf7]COSa
;îj2
*i-yo-[(Ç-«o)co8a+(u-;r,,)cosp+(Ç-^o)co8y]cos?
Ç-^o-[(Ç-a?o)cosa+(u-;ro)co8p + (Ç-«o)co57]coi7
Lorsque la directrice est plane, et représentée par les équations (iS), chacune des fractions comprises dans la formule (g5) est éqoiFalente au rapport
. ^ gcos>^->»cosfi+gcos»-A;
^^ ' (Ç-a:o)cosX+(u-yo)cosfi+(Ç-»o)cosv-[(Ç-Xo)cos«+(>î-jro)cosp+(Ç-io)coS7]cos^
et de celte seule remarque on déduit immédiatement des videurs de x^jr^Zp qui » substituées dans I9 seconde des équations (i 3), fournissent l'équation i, ^, ^ propre à représenter la surface conoîde.
Si Ton prenait pour directrice la droite menée par un point donné (x. , j. , r,) , s 4e manière à former, 9vec les demi -axes des coordQ^nées positives , les angles ^ , f* , v , c'est-à-dire , la droite représentée par la formule
' cosX COSp COSv
on tirerait de celte formule combinée avec les équations (is) , (89) et (94) / gv (S-\r,)co8«-f(>a-jr,)cosp-f(S-g,)co87
[(n-7o)cos7-(Ç^^o)co8p](g-ag,)^^[(t-go)cosa-(g-Xo)co87](^^>Jr,)+[(g^a?^)co9p-(l|^y^^
[(>ï-Jo)cOS7-(Ç-«o)cO»p]C05> + [(Ç-ro)C08a-(Ç-fl?o)c087]cOSpi+[(Ç-a?o)c08p-(u-;^o)CO»a]c08» *
Telle est l'équalion du paraboloïde hyperbolique engendré par une droite qui se meut en s'appuyant sur les axes représentés Tun par la formule (Sa) du § 9» Tautre par la formule (97)» et de manière à rester toujours perpendiculaire au premier de ces deux axes*
Lorsque la surface conoîde doit être circonscrite à une autre surface représentée p0r l'équation (4) > on peut prendre pour directrice la courbe de contact des deux surfaces, représentée elle-même par les équations
dont la seconde se déduit de la formnie (g) combinée atec la formule (s4) du $ d. Ajoutons que la seconde des équations (99) peut être remplacée par la suivante
qui exprime qu'en chaque point de la courbe de contact la génératrice de la surface co> noîde et la normale de la surface (4) se coupent à angles droits.
4** Exemple. Proposons -nous de faire passer une surface de révolution par une directrice donnée. Si cette surface a pour axe Taxe des ^ , les coordonnées S , >t , ( du cercle générateur passant par le point {x , j, z)^ de la directrice vérifieront les deux formules
(loi) E» + 'î'=«'+JS ? = ^*
Donc, si entre ces formules et les équations de la directrice on élimine x ^ y» ^ > ^'^' qnation résultante qui renfermera seulement i , ^ , C sera précisément celle de la surface conoîde.
Supposons maintenant que la surface de révolution doive être circonscrite à une autre surface représentée par Téquation (4)* Alors on pourra prendre pour directrice la courbe de contact des deux surfaces , représentée elle-même par les équations
/. V. du du
(10a) « = 0. a>--jr- = a.
dont la seconde se déduit de la formule (9) combinée avec la formule (26) du § 3. Concevons» pour fixer les idées, qae la surface (4) se réduise h Tellipsoide représenté par Téqnation
(io5) (ai-o^r)* + (/-/•)• = -^[«"-(^-^on.
Dans ce cas particulier, la seconde des formates (10a) deviendra
(64) puis on tirera de cette formule combinée arec les équations (loi) et (io3)
x-x„ y-y, ViV^r,^)
l/(«.'+J'»') c l/(«.*+ro') '
el par suite
(•o5) [!/(*.•+ jo') =F 1/(5* + ''")?=-^[«'-{'; -*.)*].
OU , ce qui revient au même ,
(io6) J5* + ^«--^[c«-(ç-fo)*]4-aî.'+ro']' = 4(^-*+^^^ ,
Telle est l'équalion de la surface de révolution qui , ayant pour axe l'axe des t , est circonscrite à Tellipsoïde de révolution représenté par Téquation (io3).
Si Taxe de la surface de révolution coïncidait » non plus avec Taxe des z , mais avec la droite menée par un point donné (a^o» jo» ^o) » de manière à fiormer » afBc les demiaxes dos coordonnées positives , certains angles a » p » 7 ; les coordonnées S » n , C du cercle générateur passant par le point {x , y, z) de la directrice TérLQeraieBt les deux formules
(107) (S-a?)co8a+(y]-j')cosp+(ç-z)co87=o, (5-J?o)»+('»-J'o)*+(Ç-«o)'= («-«o)'-Kr-ro)'+(«-'o)' ,
et la surface de révolution circonscrite à la surface (4) pourrait ôtre considérée comme ayant pour directrice la courbe représentée, non par les équations (103) , mais par les deux suivantes
Îti=o, é/a d dm
[(>'-ro)co5p-(«-x:o)c0S7]j^+[(a;.2o)c0Sa-(a?.a:o)C0S7]^+[(j?.«o)cosp-(y-^^^
dont la seconde se déduit de la formule (9) combinée avec la formule (3 1) du § a.
Nous bornerons ici l'application des principes exposés au commencement de ce paragraphe. Un autre article sera consacré à la recherche des^équation^ qui représentent des 0urfaco9 dont la construction dépend de plusieurs fonctions arbitraires, et en particulier des surfaces développables , lorsque ces surfaces doivent passer par des directrices données , ou ôlre circonscrites à des surfaces donnée^.
