PREMIERS

Si." Considérations générales»

Soit' p UD nombre premier quelconque » et considérons réqui?alence

(0 aoam + ^i*'""'* +««a5'""* •+■••• -l"^«n-i^ + <'-* = <> (naod.p) ,

dans laquelle m désigne un nombre entier, et a»» a,» a, , ... dm-i * ^m des quantités entières» oïl môme des quantités rationnelles qui aient pour valeurs numériques des fractions dont les dénominateurs ne soient pas des multiples de p. Il est clair i.* qu'en multipliant la formule (i) par le produit de ces dénominateurs on réduira les coeiEcients des diverses puissances de « à des quantités entières, s.^ qu'après cette réduction on pourra supprimer tous les termes dans lesquels les coefficients seraient divisibles par p. On obtiendra ainsi une nouvelle équivalence d'un degré égal ou inférieur à m , dans laquelle tous les coefficients seront entiers; et si, dans cette- nouvelle équivalence, t«us les termes étaient divisibles par œ ou par une puissance entière de x , la division du premier membre par cette puissance ne changeratt ni le nombre ni les valeurs des racines distinctes et non divisibles par p. On saura donc déterminer ces racines dans tous les cas possibles, si Ton parvient à résoudre l'équivalence (i) , dans le cas où a^ , Ot , a, , .••• a^..! 9 <ht représentent des quantités entières dont la première et la dernière ne sont pas divisibles par p. D'ailleurs , si , dans le cas dont il s'agit , on nomme ^t $ A% > ••• Am^x 9 Am des quantités entières déterminées par les formules.

(2) — ^Z^'i» —ZZzAn » ••• ZZzAm^if -^ Z=Z Am » (mod. p)

on poiurra réduire l'équivalence (1) à la suivante

(5) aj"-»-^.»*— •-f./<,aj"-24..». +4««.« + y<, = o, (mo<l.p).

Am n*étant pas divisible par p. Eafin, comme on a» pour loiilc valeur entière de X non difiaiUe par f ,

(4) a?'*-'^!, (mod.p)

et par conaéquent . . i . . ,, •

k étant un nombre entier quelconque, on pourra évidemment, dans Téquivalence (3) substituer à ceux des exposants m • rti — i , ... qui seraient supérieurs à p — a , les restes de leur division par p — i. Donc on peut» dans la formule (3)» supposer le degré m inférieur à p— -i.

Concevons maintenant que les quantités a« , a, , .... cf^., , a„, étant entières, et le nombre m inférieur à p — i , ou seulement à p , Ton fasse pour abréger

(G) a.x'" + a.cB""-» + a,»*"-» + ... + ff«,x + a« = f (a?) .

L'équivalence ( i ) pourra s'écrire comme il suit

(7) f(«)=o; (mod.p)

et • si Ton désigne par r une racine quelconque de cette équivalence , on aura identiquement

D*ailleurs F{x) désignant une nouvelle fonction entière de âs k coelBciénts entiers , nous dirons que Téquivalence (7) peut être présentée sous la forme

(9) F(aî)=o, (mod.p) si Ton a , quoi que soit ce ,

f (a) = F{x) . (mod. p).

Cela posé, s'il arrive que la quantité r soit une racine non-seulement de Téquivalence

(7) , mais encore de chacune des suivantes

(10) f'(aj) = 0 , f'(a!) = o , f<'— >(aj) = o , (mod.p) ,

en sorte qu'on ait tout à la fois

(11) f<r)Ho, ifued.p),

(,55) et (i«) ^ (\r) = o , t^(r) =0 , ... f <^-^> W = 0 , (mod. p) .

la lettre % désignant un nombre entier , Téquation (8) donnera , pour une valeur quelconque de X ',

^^ — ^ Mï-a.5..i^^ ' i.a.3..i(/+i) ^ 1^^ ' i.a.3..m )

(nod. p) V

ou , ce qui revient au même ,

(i3) [{x) = (œ — ryff{x) , (mod.p) ,

f{œ) désignant une fonction entière» à coefficients entiers *, et du d^é m — {, déterminée par la formule

i.a.o...! i.a.o. ..!(<+ ij i«a.o...m

PsI* conséquent on pourra présenter féquivalence (7) sous la forme

(1*) (»— r)'f(a5)=o, (mod.p),

et considérer celte équivalence comme offrant un nombre i de racines égales h r. Les autres racines devant nécessairement vérifier la formule

(16) ?(«)— o, (mod.p),

dont le module est m — s , H est tiêht que, dans i'bjpothèse admise^ Féquivalence (7) admettra au plus m — s -}- 1 racines distinctes dont l'une sera la quantité r.

Rébiproquemént » #ï Téqulvalence (7) peut être présentée sous la forihe