M III I II

* ILctt aisé de veMhnaltfe qae h» coeffickats des ditarses ptiiisinces de «-^ r » dans le second membre cWTéqaalîoD (8)» savoir,

•e réduisent toujours ^ des quantités entières , et que ces cpantités soni divisibles par p » qpa^d ies Tractlom qui Ibs représentent offirent dés numérateurs dStisibles par p.

(i5) (« — r)*>(a5) = o, (mod.p),

f{x) désignant one fonction enlière de a; » à coefficients entiers et du degré m — ( , on en conclura que les conditions (19) sont remplies. Alors» en effet, on aura identiquement

f (aï) = (x — r)'> (a?) , (mod. p) , ou , ce qui revient au même ,

(17) {{x) = {x^ryf{x)+x{x),

x(c6) étant une fonction entière et à coclBcicnts entiers, qui devra vériGer, tpiel que soit Xr la formule

(18) x{^) = ^» (mod.p).

D'ailleurs la fonction x{x) étant, ainsi que les fonctions î{x) et {x — r)'f(a;) d*un degré m inférieur h p , la formule (18) ne pourra subsister, quel que soit x , à moins que les coefficients des diverses puissances de x dans le premier iqembre pe soient divisibles par p. Car, dans le cas contraire, cette formule offrirait Texemple d'une équivalence qui admettrait plus de racine^ distÎQCtes que son degré ne renferme d*unités. On aura donc nécessairement

(19) xW=p.+W,

x{x) désignant une fonction entière de se à coefficients entiers, et la formule (17} donnera

(20) f(x)==(<r-.rV>(*)+^+(*).

Or, en différenciant cette dernière équation i fois de suite par rfipptrt à x » Bt.\pos'ant après les différenciations 0 = r, on retrouvera précisément les formules (iv). On peut donc énoncer la proposition suivante.

1.*' ThéobSiu. Pour que C équivalence (7) d^un degré m inférieur à p puimc êêrc présentée sous la forme (iS) , i désignant un nombre entier ^ et ?(x) une .fonction entière , à coefficients entiers ^ du degré m — s , il est nécessaire^ et il suffit que les conditions (11) a<' (19) soient vérifiées. .

Seholie. Le théorème 1 ne subsisterait plus , si le degré m du polynôme i{x) devenait supérieur ou même égal à p . Sapposonf en effet que , le nombre m étant

{$lh )

if^al à p , la lettre r désignant une quantité entière , la lettre i un nombre supérieur à Tunité, et l'expression f (x) une fonction entière de m du degré p^^i. Ton prenne

(ai) f(aj) = (aj — r)'f(aî)+fiB^ — w.

Comme on aura, quel que soit x* [en vertu du théorème de Fermât},

(aa) xP — 03 = 0, (mod.p) ,

et par suite

Téquivalence (7) pourra être présentée sous la forme (i5)» tandis que la valeur de t'{r\ tirée de la formule (si) sera

V{r) as prP'^* .^ 1 = -^ I , (modé;i)k

Nom avons. remarqué ci -desuM que , dans le ca$ où Fé4|uivaleQce (2)^ d'un degré «a ini!&ri«ur ii p • admet t racines^ é^Les à r, Iq nombre des racines. distioctea do oatbû équivaksiiice qot peut surpasser m — t -f* 1 < m. G« cas 9!^ pas le seul dans leipiel h Q(Oio)>re} des. racine» distûaciesde l'équivalence (7}. d(Bvienne intérieur #u degjPé m , et ii peut mâiQe arviver que cetto équivalence sojit. complètfBi^ent iwoIuUe. Aîaaî • en particulier , puisque toute valeur entière de x , nQi\ divil^iit^b pw 3 , vérifie U formule

a?*^ 1 , (mod. 3) ,

il est clair que -- u. '\ . u, ; '»

• a?* = a , (mod. 3) , «•a point de raeines. . /A . , v\ ; ^ . / . « . . / .

Nous allons maintenant rechercher le poipbre des racines, ^distiAct^s de réquivalencô (7), nombre qui, comme on vient de le voir, peut déveniD.^nfér^BUr à tn» ou même se réduire à zéro; et» pour y parvenir, nous commencerons par résoudre I0 {)ro]bléme suivant.

Problème. Étant (jtçikpiê^-daux fif^^tionê. entière e|^d càêfficiênéi entiers

>•; . . Cl-.... ...';:,':.; ^9^) ^ : f^(ff) • ;.«î :•■ • •> :... -v ..../... .^

dont les degrés m, et 1= ou <,tn ne surpassent f as U nombre premier p$ Pf^ le nombre des racines distinctes de i équivalence