IV- AKIfiB
(7) fC«)=o» Cniod.p)
étant supposé précisément égal au degré m de cette équivalence, on demande une nouvelle fonction entière et à coefficients entiers 7 {x) tellement choisie que le degré de cette fonction coïncide avec le nombre des valeurs distinctes de x propres à vérifier simultanément les deux formules
(s3) {{oci) = o , fi(«) ^ o , (mod.p) ,
et que chacune de ces valeurs vérifie encore Céquivalence
(24) ? («) = 0 , (mod. p).
Solution. Si, dans cbacune dei fooclions ({x) , (^{x) , le coefficient de la plus haute puissance de ce ne se réduisait pas à l'unité, on pourrait , en supposant ce coefficient divisible par p, supprimer le terme qui le contient, ou, dans le cas contraire, sobslituer aux coedicients des difTérenls termes , k l'aide do formules semblables aux formules {9), de nouveaux coefficients dont le premier serait l'unité» sans altérer ni le nombre ni le» Taleurs des racines distinctes de chacune des équivalences (a5). Par conséquent, dans le théorème ci-dessus énoncé ^ on pourra toujours supposer les fonctions ({x) , {j{x) réduites à la forme
(26) f (a;) = x'^ + yi.x'"-' + y!/.»"'— + ... + A^^.X + A^ ,
Ax9 A^, ■^m.i » A^; Bus Bn 9 A». $ Bt désignant des quantités entières.
Soient maintenant Q le quotient et R le reste de la division du polynôme I{x) par le polyiîome fi(x). . Q et B seront des tbnctions entières et à coefficients entiers. Tune du degré m — / , l'autre d'un degré inférieur oii tout au plus égal K / — 1 , en sorte qu'on trouvera
(«7) .. ■•-• il=s:A«*'r«4.ii,»'-:> + ... 4.û|^,»>+C|^»,
^9 » 0^ » ••• 0/i.t » ^<^i désignant des quantités entières. De plus, comme on aura généralement
on en conclura
(«9) t{»)~.(^U{»), (inod.p), ;. .
si le* quantités
^9 $ ^§ » ••••• ^Imm'i t ^1 — I
tont toale» divisibles par p , c'est-4i<^ire v si elles yérifient les conditions (5o) ^«^o, ^i^o, •••©!-.• ^Of • i>i— i^o, (modip)*
Dans ce cas particulier » réqairalence (7) da degré m pourra 6tre présentée sons la forme
(3i) Qf«(i») = o, (inod.p) ,
et » comme le nombre de ses racines distinctes sera précisément égal au nombre m , on cqnclara du théorème a de Tartide précédent que réquiralenee "
(3a) fi(a5)^o, (mod.p)
# admet à son tour autant de racines distinctes que son degré l renferme d'unités. Alors aussi toutes les racines de la formule (3 a) vérifieront en même temps la formelle (3i) ou (7) , et par conséquent on pourra prendre
Si les conditions (3o) ne sont pas toutes remplies; alors» en désignant par çt^i^u le premier des coefficients
qui ne sera pas multiple de p , et par C. , C» , CkmmM > Ci des quantités entières » déterminées à Taide des formules
(34) -^i^^ = C.. lL±ÏL. = c.^...^^^i=L.=Gt. {moi.p).
on trouvera
(35) B = ci.4«,(aî* + C,a*-i + Ccb*-! + ... + Ça.,» + Ci) , (mod. p) ; puis, en faisant pour abréger
(56) f.(aj) =x' + C?;«^^* + <7.w*^» 4-— + C*-.x+ <7* ,
on tirera des formules (98) et^(i^5)
(57) »:i(.;j:.;.ofWs<?ft(fîlf»-^tfii-ji^t^), (humI-p)* .;•:
Or il résulle ^li^MME^ent 4^.iti formule ($7) que Iput.Q yalenr 4e x^^. pr^yre à vérifidr simultanéoient les équivalences (^S)» ?érifiera encore la suivante
(38) f.(aî) = o, (mod.p).
Soit maintenant Q. le quotient, et A. le reste de la division du polynôme f,(a?) par le polynôme C{^)* <?e ^^ £1 seront des fondions eatièrei, Vuae do degré / — k, l'autre d*un daglcé inférieur ou tout au plus égal % A •*- 1 » en aorCe qu'on trouvera
(39) R, = d,a5*-« + d,x^-^* + •.. + rf*— a + *-. .
do p d^ , d^ 9 rfx-ft 9 ^'i-.i désignant des quantités entières. De plus, comme on
aura généralement
(40) t,{x) = QX{x) + R,,
on en conclura »
(40 f» («) = Q« t (aî) » (mod. p) .
si les qnanlilés
rfo » di , .... rfji— , , rf^—f
sont tootes divisibles par ^ , c'est-indire , si elles vérifient les ooadilions
(42) d^ — o, rfa^o, .••• rfi^t^o, rf*-.t^o, (mod«p).
Dans ce cas on tire de la formule (3 7)
(43) n^) = «?<?. + ^i-*-.)f.(aî) .
Par CQwéqiieat TéquIvi^BQe (7) pourm étro présentée sous la forme
(44) «?<?. + ci.,.0f.(«) = o , (mod-rt ;
((«Çi-)J
et 9 comme elle offire, par hypotUfe» 'ApHàM^fle raGibëâ* distinctefl que son degré m renferme d'unités, réqui?alence
(38) ' f.(»)=o, (mod.p) . ..*;;.
jouira.«nçore ielamAma propriété-^rojes Ip théorème s de rarticle préçédeiiti. P'âiiJcurs, en ifgriu.des formules: (40 ej^ (43), loule. valeur de a? .propre à v^ifier l'équivalence (38K sera évideroment.uneraciqe commune, auic dfs^x é|fpj?alepceii(93^ t)onc».sî|e$ candUÎ09a'(42) «ont J^empUes. 00 ppurra prendr.^ .. ^ «r.si- ',
Si leè Conditions (4s) ne sont pas toutes remplies , alors » en désignant par d^l^k^j le premier des coefficients
qui ne sera pas multiple do p » et par />. » Z)a » •»• i>4^i » Z>a des quCntités entières déterminées à Taide des formules
(46) .jLiir^^D,, ^=^^=D,,...-^i=^=D,. imoi.p). .
on troqrera
(4?) B. = rf4-^..(aî* + Z).aî*-« + /).»*— + - + ^4-.» + A) # (mod. p) ;
puis » en faisant pour abréger
(48) fi(aî) = «* + Z),fl8*— + /),»*— + ... + Z>4 -,» + />», on tirera des formules (4o) et (47)
(49) f.(«0 =* QM^) + *-»-.f3(aî) .
Or il résulte évidemment de la formule (49) <pi^ toute valeur entière de œ propre à vérifier simultanément les formules (Sa) et (38) vérifiera encore la suivante
(5o), A(«) = o, (mod»p).
En continuant de la même manière 9 on déduira successivement des (bnctiona dîonnées f(^ » TtC^) » tnié stdio de nootdles fbnctiotts
( «fa )^
dont la dernière sera précisément la valeur cherchée de ^{x) . Tour obtenir ces nouvelles fonctions , il suffit d'opérer comme sr Ton se proposait de trouver le plus grand commun diviseur algébrique des deux polynômes î[x) , t^^x) , de supprimer dans le reste de chaque division tous les termes dont Ibs coefficients sont des multiples de* p , de réduire ensuite le coefficient de la plus haute puissance de x k Tunité , et les sriitres coefficients à des nombres eiiiiers kTaide de foriiiûlês seibBIables aux équivalences (54) > (46) , etc.. , enfin de s'arrêter au moment où cette réduction ne peut plus s'feffectuer , c*est-à-dire« au moment où l'on obtient un reste dont tous les coefficients sont des multiples de p. Si l'on désigne par Ri^t ce dernier reste, ce sera le reste précédent A;., » ou plutôt la fonction fi(x)., qui fournira la valeur cherchée de ^{x) » en sorte qu'on pourra prendre (5a) ff{s) = îi{x).
Si tous les restes successivement obtenus offraient des coefficients non divisibles par p » en sort&que le dernier reste» représenté par une quantité constante , fùl lui-même non divisible par p , on pourrait affirmer que les équations («5) n*ont pas de racines communes.
Le problème ci-dessus énoncé étant ainsi résolu , il sera facile de trouver; pour l'équivalence (7) dont le degré « par hypothèse, est inférieur à p , le nombre des racines distinctes et non divisibles par p. En effet , puisqu'on vertu du théorème de Fei^itrat» tous les termes de la stiite
(53) I , a , 3, ... p — 1 vérifieront la formule
(54) a:''"* — 1=0, (mod. p) ,
les racines dont il s'agit se confondront évidemment avec les racines communes aux deux équivalences (7) et (54)* Gela posé, il suffira d'opérer comme dans le problème précédent , en substituant aux deux fonctions t{x) , {t{x) les deux fonctions xf"^^ — 1 , {{x) , pour obtenir une équivalence nouvelle
(55) ?»=o, (mod.p), . ' ".
qui sera vérifiée par ces mêmes racines et seulement par elles. Le degré de cette nouvelle équivalence représentera donc le nombre des racines de la formule (7) distinctes et non divisibles par p .
Si à l'équivalence (54) on substituait l'équivalence (a a), la formule (â&) , obtenue par
( 1^63 )) ia';iiiétli!odiQ:qi|e à«uè[ veaMÉ âHii4M|«er>:jCMK^NUJq6,jiH!^^ la^fo^iiilB
(7) 9 dans le cas même où l'on supposerait le premjer o^^i^ff^rQ do g^lle Jfo^^l^le;diY^iblp par 00 ou par une puissance de x , c'est-à-dire , dans le cas même 0(1 cette formule admettrait des racines divisibles par • /n* ^^ .
Si l'équivalence (7) n'admetlait point de racines» les équivalences (7) et (as) A*aur raient point de racinas comn^ujcies.. ^t l'opi en serait averti par le calcul même, conformément à la remarque que no^9 avons faite ci-dessus.
Si la formule (7) n'admet qu'aune seule raciiie- drsth^cte dé zéro» réqtlilrûlenco (55) , déduite de la considération des formules (7) et (54) > sçra du premier degré seulement , et fera connaître la racine dont il s*agit.
Pour montrer une application des principes que nous' VeK'ènfs d'établir » chei'ehoiij combien l'équivalence •
(56) a;' — CD +1=0 r (nibd. 7^' "
admet de racines distinctes , ou , ce qui revient au même , combien il y a de racines communes entre cette équivalence et la suivante
(57) «^—1^0, (mo'd.7).
On trouvera , en effectuant la division de x^-^i par x^ — as + ^ »
x^ — i^{x^ — x+ i)(®' +ic — 1) +®' — ««^ puis , en effectuant la division de x' t-x -f? } Pf^r : 0)' — s a; 1 .
x^'^x+i^{x*^^x)i<ff^^^)'+^'xi^.\^^) ' . --^
= (x> — 2aî)(a5+2)+3(cB+4-)'
ou , ce qui revient au même ,
a5^/-i.»+ 1 .zxCoî^^.aff) {(i?—;^)rk ^i» — «!)•-
Enfin; }iaB^rr »4 i.sesa esaçtemçnt divisible par. . œ *--:a ^ . qn^ ffi d^aut^es termei, le reslftvd0;iii division. d^ .: x*^^9^,, par, a? — .%'. ,8era équivalent. à zéro j puisqu'on aura.
X* — 2Xz=z{x — a)flî.
(•64) iàHè h forifaotd (S0J'to*èifMMi« qu-uM!M«ile' và^iàê dbliMle dé lAra» et fiMiiftie par
(58) aj~2 (mod.7); •'
ce qui est exact. . • - ^ . ♦.
Dans Texemple qûè nous venons de'choisir, on pourrait simplHIer le calcul en observant que le polynôme a;'— -9 CD est évidemment le produit des deux facteurs x, X — 2, ot que le second de ces deux facteurs est le seul qui divise lo poljnome
X* — 03+ 1 = (as — 2)(a5* + *® + 5).
On doit) immédiatement ea conclure quQ la (ormule (57) a pour racine, unique le nombre 2.
Cherchons encore combien Téquivalence
(Sg) a5* + aî-4- I ^o, (mod. 11)
adgiet de racines racines distinctes» ou. Ce qui revient au même , combien il y a de ra« cines communes entre cette équivalence et la suivante
(60) 05'* — 1^0, (mod. 11).
Dans ce cas on trouvera successivement
a;" — i = (aî'4-^+ 0(^^ — a?* — a;* + *' + ^a:* — 3) — 2x* + 3x4- >
^(a5i4--aî+i)(*7^ic5 a;> + a;»+2a5«-^5) — 2(aî»-4-4a?— 1),
= (x' + 4aî— i)(a; — 4) + i8(a5 — 2), aj* + 4® — ' * —{^ — 2) (aï + 6).
Donc la formule (69) aura encore pour racine unique le nombre 2.
La méthode exposée dans cb ptiragrapHo ne ' diffère pas 4q( c^leque M. Libri a donnée dans le tome i**' de ses Mémoires. Lorsqu'on applique cette méthode à la recherche de réqùlvalénfcé dé' côn'dhi^on qui doit être vérifiée pour que deux équivalences oient jn» moins une ractbô cotnihilne, oii se trouVé plrécisétnient tamené à ki fèraiiile'(>G)*d*.la page 164 du premier volume des Exercices.
$ u.^ Sur la ré^tf^tiofK de$ é^uivmUneeg binpmeê»
Supposons que la fonnule (7) du paragraphe précédent se réduise à une équivalence binpineotidela formè^-' '^'- - .■ •• •- ^ '• •::>./".h -.r • \ , ^ 0.- .-.,...
K désignant une quantité entière pon divisible par p Si Ton écrit — ^ an lieu de +K , cette équivalence devi^dra
ou» ce qui reviept.an même»
(1) a5- = ^, (mod.p). . ,. «,,,,,,.., /vr,..
Soit d'ailleurs r une racine primhtfe de Téquivalence
(9) x^* = 1 . (mod.p).
La quantité ./< = — K, n'étant pas dlvisftte par p, sera équivalente, suivant te module p , à l'un des termes de la suite
[voyez le théorème 7 de l'article précédent^ «oholiei i e|^]» en sorte qu'on pourra supp^s^
Pexposant t étanff un des nombres '^ ^ ''^
Il y a plus ; si, deux de ces nombres étant représeQt|£i8 ^ t et par j t l'on suppose
od.p — 1) ,
ou , ce qui revient au même ,
ÎV. ANNÉE. 35
et , comme i , j étant inftriean k ranité , les deux puûfinoe^ r', W ne {pourront devenir équivalentes suivant le module p » qu'autant que Ton aura f s j « il ^^ clair que la formule
(6) r^^r; (mod.p) entraînera toujours la suivante
(7) r = «, (mod.p — 1).
Gela posé , comme l'équivalence (1) n'admettra point de racines divisibles par p , on pourra supposer encore
(8) » = *•*» (mod.f) , puis on tirera des formules (1)» (4)» (8)
(9) »•'"■ = r^ (mod.p),
et par conséquent
(10) mtt = f, (mod.p-— 1),
ou • ce qui revient au même,
(11) tna = t+(p — i)t;,
V désignant un nombre entier. Donc» pour que Péqùivalence (1) soit résoluble » il sora nécessaire et il su£Bira qu'on puisse satisfaire par des valeurs entièrea de u et de t; h l'équation (1 1) ; par conséquent il sera nécessaire et il suffira que le plus grand common diviseur de m et de p — .1 divise i. Soit n ce plus grand commun diviseur. La formule
(is) / ., = *• (okoA.p),
qui peut être remplacée par la suivante
(>5) '''■ -A^* =ï, (inod.p),
lera oa no «era pas vérifiéeV ^uifant^oi' ' «' lénr'divfaible otf don divisible par n.
Donc la formule (i3) exprimera la condition nécessaire et suflSsante pour !i|]Uf,ji!^||iTaIenQe (i) puisse être résolue. ^
Supposons maintenant que la condition (i3) se troufe remplie» et désignons par u une valeur particulière de rinconniie te qoe délermiiie la fortmile (lo). Laf ^leàr générale de la même inconnue sera
(i4) ^ tt = ud=-£^/i.
h désignant un nombre entier quelconque » et ce nombre pourra être chobi de maniéré que tt soit positif, mais inférieur à . Gela posé, concevons que v représente
la plus petite valeur de u. Les nombres a
(»5) - u, ^ + ^. ^ + a^, ... u+(n-i)-£li.,
seront les valeurs de u inférieures à p — i , et Ifi fjwrmule (i) admetl^ les>raoiii6l
qui seront toutes distinctes 1^ unes des autres. Dpno le nombre de ces racines dijitinolfis sera précisément n. ,
Lorsqu'on suppose m=s a et p > a , on trou?» » = « , attendu que p^t est nécessairement pair. Alors la condition (i5) se réduit à
en
(>7) A ^ =1, (oiod.p).
D'ailleurs , p étant un nombre premier impair, et A un nombre entier non divisible par p, opauca géaémleotont
(18) ^^""' = 1. (mod.p),
ou, ce qui revient au même.
* \A -^ijxA *.+ ï/=o» (mod.p), ^ par conséqu^iit
Ô7) A = i , (mod./») , OU' (19) <'=-*•!• (mod.p).
Dote P4^inVlnètoc6
(to) «* = -^» (moi.p)
sera é^mlequ, 9iuyaiil[ je ii)i,o^e ^ p^ à 4- 1 ou i— i.
Si Ton aoppoae m = 3 , If^ plii9:gi^nd (0oittmiia..diviawf n dei nombres m et p — 1 sera 3 oa 1» suiyanlquè p, divisé par 3, donnera pour reste 1 on — i. Dans b premier cas» la condition (i3) deTieaira
/>-»■-■ (as) -/< =i# (mod.p).
9Mè1eièom8^v ^ém bbtiêXtitn, rédaftel la fermcde (18), sera ton jours vérifiée. Cela posé » on conclura des principes cinlessus établis que l'équivalence
(•3) »'.=*^, (mDd.p)
irittiél4«dfboi««iiBl*ffê(M|>lBWh'«^ j^i^l liW ptis Avidble par 3,
Dans le cas contraire» l'équivalence (s3) admettra trois racines distinctes , ou'in^én admette a«ioiiM«^ «want ^ue la coAdiiienr 4^3) aetQ outie aéra fas MlîafMle.
Soit encore m = 4* Outroèfora •c£=.4fM rfs-nsia » ÀairmilqiMi 'p«— 1 «era divisible par 4 ou simplement par 9. Donc» si. p — 1 est divisible par 4» 1*^ quivalence
(24) * fi^* = ^. '(mod.p)
- . ; .). • uv- . ^. !• ,1.:.; ■--■': • ■ '•'•'• . •
admettra deux racines» ou n'en admettra aucune, ««iwdri|ifi64tf^M4idifion' ' -
(a5) A =1» (mod.p) ,r.>:
sera ou ne sera pas remplie. Mais, si p — 1 est fli visible aimplement par » , Téquivalence (a4) admettri^ deux racines distinctes ofi ô'èn admettra ^aucune » suivant que la valeur de A satisfelra ou non à la condition (17) » c'est-b-dire » suifj^qj.^^ec^tle,. valeur vérifiera la formule (17) ou la formule (19).
Soit enfin m = 6 • On trouvera n = 6 ou n = 9 » suivant que p — 1 sera diki'ibieioa tien divisibfis par 3. ^ Dans le'premier ^ctte»1i cendifion (13) donnera
( »«9 ) (•6) A =1, (mod.p).
Dans le second cas, celte oonditimi ae iMDiiivni tédoile à la fenaoïle (47)* Donc, oa ▼ertii des principes ci-dessus établis » si p -— 1 n*est pas dirisible par 3 , l'équivalence %.
(97) x^ = A, (mod.p)
admettra deux racines distinctes , on n*en admettra aucune » suivant que la valeur de A vérifiera la formule (17) ou la formofe 1(19). Maia ,4i p»*mz .devient AviaiUb par 3 « l'équivalence (97) admettra six racines distinctes» ou n'en admettra aucune , suivant que la conffithm (96) sera ou ne sera |>as vérifiée.
Généralement » si l'on suppose m = n ^ n étant un diviseur de p — 1 , l'équivalence (1 ) , réduite % ^a forme
(98) »" — -/<, (mod.p) ,
admettra n racines distinctes , respectivement équivalentes aux quantités (16), ou n'en dhneMra ««com. Mirant ^ue k.eoiiditioB«(l9) aare «u 4i6 sera pas<véttfiée*
Si l'on suppose ^ = 1 , ou , ce qui revient au même , t = o , on trouvera ti = o. Dans ce cas» la condition (i3) sera toujours vérifiée» et l'équivalence (i)« réduite à la forme
(99) »"■=!» (mod.p)
n'admettra point d'autre racine que l'unité » si m est premier à ji.«-!- 1, JU/iÛ.iW h contraire arrive » en nommant toujours n le plus grand commun diviseur de m et de p — 1 « on obtiendra » pour racines de T^ulvalenee (99) les différents termes delà suite
qui seront en même temps racines de l'équivalence 0}"= 1 , (mod.p). On arriverait directement aux mêmes concliisiQj^%^ en ayant éggrd.an théorêl^e 5 de l'art jçleipré.cé4ent.
fiL/po«r£aor leaatfes.^Hiypoendisoccossiminént '«hix=9^ mm^ê ,>mta:jl^ , 9ic^. (p étant > 9}» on reconnaîtra 4 j^iqiie l'é^foiiiAkÉiM
(5i) »*= 1 f (mod.p)
admet toujours deux racines distinctes » savoir + i ^ — t » *•* Vie Téquivalence
( «70 ) (5a) «*=i. (mod.f>)
admet deux racines dUiioctes de l'anité , lorsque p — i est di?Uible par 3 » et la •eule racine i dans le cas contraire; 3.* que réqaiValence
(35) a^=i» (Jlpod.p)
admet les seules racines + ^ ^^ •*— i # lorsque «^-^ est impair , et de plus deux autres racines distinctes , lorsque est un nombre pair; etc....
11 est bon d'obserrer que, si A diflAre de Tunité, il suffira de multiplier par r^ les quantités (3o) , pour reproduire les diverses racines de la formule (i).
Observons encore qu'étant donnée une équivalence complète du second degré
(54) aoOî' 4- «■« + «• = <>, (mod.f>),
dans laquelle ae , a. , a» sont des nombres entiers» et p un nombre premier impair qui ne divise point a» , il suffira de poser
(35) » = j — ^, (mod. p) ,
et de diviser ensuite par a, les deux membres de la formule (54) > pour la réduire à l'équivalence binôme
(56) j* — A = o^ (mod. p) ,
A désignant un nombre entier choisi de manière que Ton ait
(57) A = ^' '^^^"^ » (mod. p).
D'ailleurs l'équivalence (56) admettra deux racines distinctes , ou n'en admettra aucune, suivant que la valeur de A vérifiera la condition (17) ou (19). Donc , par suite,, l'équivalence (54) admettra deux racines distinctes» si l'on a
(58) (fl.* — 4«otf.) =(4<»o) , (mod.p).
( «71 ) on » ce qui revient aa mfime ,
(89) ^ («.•— 4«t«») =«• » (mod.p),
tandis que la même équivalence n'admettra point de racines dans le cas contraire. Concevons » ponr fixer .les idées , que mqnivalence (34) coïncide avec la suivante
(4o) «• + « — 1=0, (mo^ii).
La condition (59) , on
(40 5*=i» (mod.ii),
sera remplie. Donc l'équivalence (4o) admettra deux racines distinctes # qui se confondront nécessairement avec denx des racines de la formule
»■• — 1=0, (mod.ii).
On trouvera effectivement
d8" — i=(a3»+cd~i)(aD* — «7+aa5*— 5ÊD*+5»*+5«?+a««+a5+i), (mod.ii)^ D'ailleurs il suffira de poser (4«) «=y — i=y + 5» (mod.u),
pour réduire la formule (4o) à l'équivalence binôme
y' + «9 = 0 » (mod.ii), ou, ce qui revient au mèokt, à la suivante
(45) /• = — a9=^i (inod.u);
et, comme on tirera de cette dernière
la formnle (4a) donnera
Donc
(46) •=« — • = «• el «Si-h»S7* (aiod.ii).
seront les deux racineê de Téquifalence (4o) , ce qui est
La méthode par laquelle nous avons déterminé ci-dessus le nombre des racines distinclos d'une équivalence binôme ou d'une équivalence dd second d^ré était déjà conatae» et peut se déduire » comme Ta remarqué M* I«ibri » 4c» principes exposés dans le presiier paragraphe. Ainsi » en particulier» si m est un diviseur de f> — i , en sorte qu'on ait (47) p — 1 = 11»,
la division de x^'^ — i ou x"*^— • i par x^^^A donnera poor qootiiiil
et pour reste A^ ^^ i. Donc* ea vertu des priacipea qui moi venons de rappeler, Téquivalence (aS) admettra n racines réelles , odi n'en admettra aucune « suivant que la condition
(48) . -^'—1=0, (mod.f>)
sera ou M sera pas vériflée« Or 1* eMdtttoD (48) M diffbre pM deeeUe que présente ia formule (i3).
Ajoutons que, pour ramener la résolution de l'équivalence (i) à la résolution de l'équivalence (lo) , qui est du premier degré aralement . il aoffil de connaître la valent de i déterminée par la formule (4)- On y parviendra sans peine • quel que soit A , si l'on a formé une table dans laquelle aux nMibrM
correspondent les diverses puissances de r dont IM degrés IMI (ndiqitds par oes mtaies nombres , ou plutôt les restes qu'on obtient en divisant les puissances dont il s'agit par le nombre premier p. On pent placer dans la première colonne de la table ces restes qui » rangés dans un ordre convenable , seront respectivement égaux aux nombres
puis, en considérant chacun de ces derniers nombres comme une Vlilear pantccMète de A , écrire à sa suite la valeur correspondante ds t , qui représentera ce qu'on nomqu V indice do A , ou d'un nombre équivalent à A , dans^le système dont la base est r. Gela posé , il est clair que, relativement à un nombre premier p , il existe autant de systèmes d'ipdioes ff'il y a de p^es primitives , ou de BOttbres entiers, prem|él!i»
( «75 ) k p , et infiriears à p. Dans chacun de ces syslèmea , les indices jouissent de pro** priélés analogues à celles del logerithmes. Ett effets soieol i, j p h les indices de deojL nombres entiers A , B et de leur produit AB , en sorte qu'on ait
(49) A = r^, B^tK AB^r^. («iod.p),
r dés^nant une racine primitiTo de f>. On tirera des équivalences (49)
(50) r^=,r'^}^ (mod.p),
el par suite [attendu que la formule (6) entraîne toujours ta formule- (7]] (5i) *^i+y» (hmmLp-i).
Donc, si Fon représente rbdice de ^ , à l'aide de la lettre CA^aetérisUqiie I , par la notation . l(A) , on aura
(««) l{AB) = l{B) + l{B). {mod.p — i).
On trouvera de même
l{ABq=l(AB) + l{C) = l{A)+l{B) +1{C) , (mod.p — 1) ,
et généralement
(55) l{ABCD...) = HA)^l{B) +I(C) + !(/))+ etc.. . (mod.p — 1) ,
quel que soit le nombre des facteurs A ^ B p C , Z> » ••• Si , ce nombre étant désigné
par m, les facteurs A , B , C ^ Dp deviennent équiralents à une même
quantité x , la formule (53) donnera
(54) • I(«*)=ml(aî) , (raod.f>— 1).
On peut donc énoncer la proposition suivante.
Vindiee du produit de plusieurs nombres est iquivalenS à la somme de leurs indices, suivant te module p — i.
Vindiee d^une puissance du degré m est éifuimttesu , suivanS. te rnsodule p-^t ^ à C indice de ta racine muUiplU par m •
En vertu de la dernière proposition, l'équiValence (1) entraînera la formule IV.«Ah2iéb. «6
(55) :. , fmHœ) = l{A), (inod.p— 1), de laquelle on tirera
(56) I(a,)=i^, (iDk)d.p-i).
L équivalence (56), dans laquelle l[àci) " est précisément la ptus petite des Tafeurs positives de u , propres à rérifier la formule (lo)» montre comment » à l'aide d'une table d'indices, on peut résoudre Téquivalence (i). [Voyez, pour plus de détails, l'buvrage de M. Gauss , intitulé : DiêquiêUUnuê Arithmcticœ}.
Observons enfin que toute équivalence du second degré , étant réductible à une équivalence binôme , pourra encore étro résokie , si le modul». p est un nombre premier», à l'aide d'une table d'indices dans laquelle on aarait pris pour, base Tune quelconque des racines primitives de p.
Eli terminant ce paragraphe , nous ferons remarquer, avec M. Gauss , qu'il est facile de résoudre l'équivalence, (i) , toutes les fois que, ia condition (i3) étant remplie, leS'
nombres m et — sont premiers entre eux. Afors , en 'effet , on pourra trouvea
deux quantités entières v , w propres à vérifier la formule
(67) mw ^ V =5 1 ;
et comme on aura par suite, eu égard à la condition (iS-) ,
i+— -1? mw
(58) • A = A " =A' , (mod.p).
il est clair qu'on résoudra l'équivalence (1 ) , ou
(59) «"• — -rf*"", (mod.p) „ en prenant
(60) x = A*f (mod.p).
Considérons, pour fixerles idées , l'équivalence
(61) »^=3, (mod.aî).
Dans ceccas , on trouvera n= 2 , et la condition (i3) , réduite ^
( «75 ) 3" = i, (lDod.33)
sera remplie. De plus, les exposants ii, 6 étant premiers entre eux^ on pourra choisir v p w de manière à vérifier la formule
111; -f- 1 =6tv p
h laquelle on satisfait en prenant 1; = 1 » w = %. Par suite , on résoudra la fornEiuIe (61) en supposant
(6a) « = 3' = 9 » (mod. tS) ,
ce qui est exact. Ajoutons que» le nombre n étant égal à a , Téquiralence (61) admettra seulement deux racines distinctes, savoir,
(65) aî = 9, x^'. — 9=14» (mod. aS).
En général, lorsque le carré de n ne divise pas p — 1 , J*équi valence (i) peut toujours ôtre résolue par la méthode que nous venons d'indiquer, et les formules (67), (60) donnent
jÉ nt { n S
(64) 05 — -/< ^ \ (mod.p), V étant choisi de manière que la quantité
soit entière. Par suite, si p — 1 n'est difisible qu'une fois par le nombre s , on vérifiera l'équivalence
(2Ô) «•=wdf, (mod,p),
lorsqu'elle sera résoluble^- en prenant
(65) x=A f ''—A, (mod.p).
De même, si p—i n'est pas divisible, ou, s'il est divisible une seule fois par le nombre 3 , on vérifiera l'équivalence
(«3) <»»=Vf> (mod.;»).
( «76 ) •uppotée réiolable , en prenant , dans le premier cas ,
(66) x = A ^A , (inod.p),
et , dans le second cas ,
(67) » — i< :zz^ f (mod.p) , ou bien
(68) a5 = yf ^ =/< ^ , (mod.p).
selon que ;9 — 1 divisé par g donnera pour reate 6 ou 3: eic.....t Ainsi, par exemple , on résoudra la formule
(6g) 0'=ia» (mod.95),
en prenant
(70) •=ia*^'"^^*^=ia'« = 8"-5»» = 5« = i5, (mod-aS).
Toutes les fois que le nombre n se réduit à l'unité , la formule (64) donne
(7O x = A , (mod.p),
V étant choisi de manière que la quantité
>-»-(p-Ot>
soit entière, et cette formule détermine la racine unique de réqui?aleuce (1). Maisi lorsque le nombre n surpasse l'unité , f> -— 1 n'étant pas divisible par n*, Téquivalence (1) admet plusieurs racines^ dont une seule est déterminée par la {brmule (64); et , pour les obtenir toutes , il suffit de multiplier le second membre do ceito formule par les diverses racines de l'équivalence (ag) • ou , ce qui revient au même , de la suivante
(7a) «"=!» (mod.p).
D'ailleurs , si Ton suppose n = s , la formule (7a) » rédoite à
(5i) «' = 1» (mod./i)
( «77 ) aura pour racines * — i et + >• Donc, tU p— - 1 est divisible aneseale fois par le nombre a , FéquiTatenoo
(ao) ^* = A, (mdd.p)
admeltra les deux racines
(73)' ^^A ^ , x'El — /<, (mod.p).
Ainsi , par exemple, on résoudra la formule
(74) «' = 3, (uiod. il), en prenant
(75) « = 5* = 5, ou » = — 5 = 6,"" (mod. Il), et la formule
(76) «•=—5, (mod. 3i),
en prenant . ...
(77) x = 3* = 2o, ou » — — 20=11, (mod.Si).
D'autre part , si Ton a n =: 3 , la formule (71) , réduite à
(3a) «'=!# (mod.p)
donnera
(78) «=1, (mod.p), ou
(79) «• +»+ » =0 . (mod-p) , par conséquent
(80) («»-fi)* = — 3, (mod.p);
et 9 comme , en supposant p — 1 divisible une seule fois par le nombre a , on tirera de la fornuile (80)
(8î) ax+i=d:(— 3) * , (mod.p) ,
it e«t clair ^ue » dans cette hypothèse , les trois"" racines de f équivalence (5^) seront respectirement
DoDC , si p — 1 esl divisible une seule fois par chacun des nombres -t et 3 , t'équivalenco
(2 3) x^ = A (mod.fi)
aduxetlra trois racines qui seront respectivement
(85) x = A 9 , x= ""^;^^ 4 9 . a;^ "^^'^ A ' . (mod-p), oii bien
(84) a: = ^ ^ , a, = JlL±^Li^ 9 , a, = j2±t^L±.^ ^ , (mod.p),
selon que p — i ,- divisé par 9 « donnera pour reste 6 ou 3. Ainsi » par exemple, les trois racines de l'équation
(85) P* = 4. (mod-^i) seront
(86) 35-4" - *6 , CD- 1655. i6E-i3, a?E ■ 16--6. i6E-5, (mod.Si).
Si, la condition (i3) étant remplie» les nombrei m, -^ cessent d'être premiers
entre eux, et, si Ton désigne par &> leur plus grand commun diviseur, le nombre
— sera premier à , et l'on p^rra trouver deux quantités entières v , w
propres h vérifier l'équalion
On aura par suite, eu égard à la condition (i3) ,
et il est clair . qu'oïl résou4ra Téquivfilence (1) en clioÎMssa^iit os, de manière ^ vérîfiei* la formule
(Sg) x^^A , (mod.p),
de laquelle on tire
35 "^U y * =/*• =^. (tntfd.»\ • '
D'ailleurs l'équivalence (89) sera c|uttombrQ dé çelles.qui peuvent être résolues. Eneflel*
», divisant à la fois m et -^^ , par conséquent m et p — i.,,„$eç^|diviseurde n.
Donc la formule (1 3) entraînera iMSuirante* . <- ,
(90) i< " ^W "/'"^»**F=». (mod.p),
(91) \-^ / ^-^ =*' (mod.p).
Or la formule (91)» semblable h la formule (i3), exprime précisément la condition h laquelle A doit satisfaire» pour qu'on puisse résoudre l'équivalence (89).
11 esl bon d'observer que » t^ étant, diviseur de n ^ o>^ sera diviseur -do p — '- i. Donc il est toujours facile de réduire l'équivalence (1) du degré m à une autre éqoi^ valence dont le degré «> soit la racine d'un carré qui divise p — - i. Lorsque p.-*- v n'offre pas de diviseurs carrés » dont Iqs rfcines divisent Pcxposant m , le nombre «> coïncide avec l'unité, et la formule (89^ ou (60) fournit une racine de l'équivalence (i}#
% 3. Sur ta résolution d^è équivalenees du troisième ttdu quatrième degré*
Étant donnée une équ!v«alence du troisième ou du quatrième degrés on peut, à l'aide de la méthode exposée dans le premier ^^^pli6,^«Ncrabr^^»i t^^^ autant de racines distinctes que son degré- renferme d'unités. Dans le cas contraire , on pourra toujours, h l'aide de la mâne-«iélnode,iY6|i-4!!afiiiurer que l'équivalence proposée n*a point de racines, ou la réduire h une équivalence de degré moindre. Pour celte raison nous nous bornerons .dana ce qui va suivçe , JiconsicLérer les équivalences du 4roisiènve ott du quatrième degré qui admettent trois ou quatre racines disimctesr
( s8o ) Considérons d*abord une éqnivalcnco compleiie du troisième degré ou de la (broie
(i) at»* + £y»îc* -J-a,x4-«i = 0 , (mod.p) »
p désignant un nombre premier y et a.^ a, a. « as des quantités entières dont la première ne soit pas diWsiUe par p , ou même des quantités rationnelles. Si Ton fait
(«) «=7—-—, (iiiod.p),
la formule (i) deviendra
(3) j' + By+C = o. {moé.p)
B , C étant des quantités rationnelles que Ton pourra réduire à des quantités entières. D*un autre côté , si Ton désigne par ,
»ff a#« «Il les racines de Téquation
(4) jr» + JBfjr+C=0,
et par p une racine primitive de la suivante
(5) *'=*/ Pi • p« seront les deux racines de
(6) ««-l-ji-l^isao; et l'etpresiion
considérée comme fonction des racines des équations (4) t (5) , n*aura , comme l'on sait, qoe deux valeurs distinctes» savoir.
qui s(Brviront eIles*mèBies de racines k la rtéduile
Cela posé, concevons quQ riSquivalence (S) admette trois r^cipM distiqctes
yt » y% ♦ y\ »
et que le nombre p — i soit dÎTisible par 5. L'équivalence (ïo) 35^=1, (mo(L/i)j
ofirira elle-même Iroit racines distinctes, dont la première sera Tunité, les deux dernières étant propres à vérifier la formule
(il) œ* + »4-t=o, (mod.f>).
Si Ton nomme r l'une de ces deux dernières , l'autre sera représentée par i**» et si l'on fiûl
u^t tf» seront» en vertu du théorème 17 de la page s5o , les deux racines de l'équivalence du second degré
(i3) a»4-Ctt r=^' (mod.p).
Comme on aura d'ailleurs
/ «i+>ï, + «3 = 0, (l4) < (>îi+P'ï«+P''»3)('»»4-p"«»«+P'»3) = '»«" + '»«* + '3'-^'»«*»"-"''«'3 '«•*»5
le corollaire i.** du théorème 17 de la page sSo donnera
( ^.4-r« + y3 = Of (mod.p),
l (j^. + ry. + rV3)(j^.+'-V. + '-J^3) = — 3B, (moi/;).
A l'aide de ces formules, on réduira la résolution de Péf^ivalence (1) ou (3) à la réso- , lution de deux équivalences du second degré « et d'une équivalence binôme du troisièn^ degré. En effet « supposons
Il suffira « pour déterminer 9 , , de résoudre 1 .* les éf uivalonces du decond ^degré (11) et (i3)« 2.* l'équivalence binôme du troisième degré
(17) v«' = «if (m(^d.p),
IV* ANNÉB- 37
après quoi Ton déterminera «. , si B n'est pas difisible par p , à l'aide de la formule gv. v. ^ — iB , ou
(i8) ». = — ^r— , (mod.p),
et Jx» y%% Ji ^ Taide des formules
7.+r»+/3 — ^' J^. + ny« + »'*r» = 5v«^ y. + r-y. + rys^Si^., (mod-p),
desquelles on tire
(19) y. = v.4-v,. /.=r«v,4-rf;. , J3 = rv. 4-r*v. , (mod.p). '
Si J9 devenait divisible par p , l'une des racines de TéquiTalence (i3) serait équi-^ yalenle à zéro, et en désignant par ti, l'autre racine, on devrait à la formule (17) joindre la suivante
v«^o, (mod.p).
U importe d'observer qu'en vertu des formules (19) on aura
Donc, puisque chacune des équivalences (3) , (10) admet» par hypothèse, trois racines distinctes , et qu'en conséquence aucune des différences r — r*, y^ — j^ , y^ — ji , j. —73 n'est équivalente k zéro suivant le module p , la différence u . — u . ne sera pas non plus équivalente à zéro , et la formule (i3) offrira encore deux racines distinctes. Cela posé , la condition (38) du paragraphe s donnera
(ai) |^ + J'=|, (mod.p).
De môme , l'équivalence (17) devant être résoluble , et p — 1 étant divisible par 3 , on tirera de la formule (1 3) du § s
(aa) a, = 1 , (mod.p) ,
et par suite , si B n'est paa divisible par p ,
£;i jti £2. P'^ £± ( B\P-^
(mod.p).
(«85) D'autre part, on aura, en Tertd âa théorème lo de la page aSg,
(«4) «t +tt. =«• +«. f
v. , v,^ désignant les deux racines de réqaation (9) , dont les valears seront Donc la formale (aS) pourra être rédaite à
on , ce qui revient au même , à
\(C\ V (p-)(p-4) /C\ ' /g» BM, (p-0(p-4)(p-7)(p-io)fg\ ^ (C^B^Y (»7)j\TJ "" 3:6 Uj VT î»?/ 5.67^:1^^ Ui U ^/
\ +elc... = 1, (mod.p).
Ainsi , lorsque , p — 1 élaot ditisible par i, ei B non divisible par p , Téqiiiralence (3) admet trois racines distinctes, les valeurs des quantités B , C vërifient les conditions (ai), (27). Réciproquement» si ces conditions sont vérifiées» P~ > étant toujours divisible par 3 » et J9 non divisible par p » chacune des équivalences (1) et (3) admettra trois racines distinctes. En effet, eu égard à la condition (si)» réquivaledbe (i3) sera résoluble. Désignons par tf . # ce. ses deux racines, et fiiisons
La condition (97) ou (aS) donnera
«H = a, (mod.p),
ou , ce qui revient au même ,
(«— i)' = o, (mod./9) »
et par conséquent
«^1» (mod.p).
Donc la condition (ss) sera elle-mfime remplie « et Téquation (17) sera résoluble. Cela posé » les formules (18) et (19) fourniront évidemment des valeurs de Jt ^ j%. ji propres à Térifier réquivalence (5).
Si , les conditions (si) , (27) étant remplies , le nombre f> — 1 n'est divisible ni par 4 f ni par 9 » la résolation des équivalences (1 0* (i^)i (^7)> ^^^^ I^ <1®>ul premiers peuvent s'écrire comme il suit :
($8) (a«4-0*= — 3» (mod.p) ,
!•+— JeE-^ + — . (mod-rt.
et par conséquent la résolution des équivalences (1) ou (S) s'effectueront sans peine à Taide des formules (67), (68)» (69) du paragraphe précédent.
Pour montrer une application des principes que nous venons d'exposer , considérons Téquivalence (3o) 05* — .5»*+ i5»— 1 =0, (mod. 3i).
Dans ce cas , le nombro p — 1 = 3o sera multiple de 3 » sans être divisibfe ni par 4, ni par 9, el Ton vérifiera la formule (11) ou (t8) [voyei les formules (77) do
donc «ippoier
De pliu , li l'on fait
la formale (3o) deriendra
(55) j' + »9J+»«=o. (inod.5i).
fia comparaot celle deraière à Téquivalence (3) , oa troavera
(55) •f = 6. £l. + ^=6« + 4> = 5.+ « = 7, (inod.5i).
Cela posé, les conditions (si), (a 7) ^o'"**'''^"'^
(36) 7"=>» (nio<l-3»)»
et
0Q« ce qui revient aa même [attendu que l'on aura C' = -ri.. 7^ = 2»
'0-9 — ^ ^ ^. ip>9'^'7 — 1
— 8*7 ■ et * ,, , zzz — 7 1
(57) — 6 + 2 . 6«. 7* — 2 4- 2. 6. 7 4- «\ 6». 7' + a. 7* = 1 , (mod. 3i) .
Or les formules (36), (87) étant vérifiées , on doit en conclure que l'équivalence (5o) ou (33) admettra trots racines distinctes. Effectivement la formule (i5) ou (29) deviendra
(58) (« + 6)» = 7, Cpaod.5i), et Ton en tirera [voyez les formules (73) du § 2]
(59) «4-6 = ±7^ = =fcio. (mod.Si).
On pourra donc supposer
(4o) ii. = io — 6=rs4,
eiTéqui valence (17), réduite II ^ '• >».v.
(40 Vg^ = 4, (irtod. 5i),
aura pour racines [voyez les formules (86) du $ s] les trois quantités 16 , — 3 » — 13. Cela poséf on pourra prendre
(4a) t>, = i6, rv, = — 5, r'Vg^ — 13, (mod. Si) »
et, comme on tirera de la formule (18) • —
C4*) v»^ — ^-^-vrrr.^l.^^s,^ {tëhééti^ , ^ '^
on trouvera encore . - '^
(44)' ♦. = — 8, rv.ê— 14» •^•v, = — 9» (mod.3i).
(•86) Donc enfin les formules (19) donneront
(45) 7.E16 — 8E8, j.E— »5 — i4E4f y3 = — 5 — 9E — la. (mod.Si), Ainsi TéquiTalence (53) aura pour racines
(46) J = 8. 7 = 4» /^— ia# (mod. 3i).
ce qui est exact» Les racines correspondantes de Téquivalence (Se)» calculées à l'aide de la formule (Sa) seront évidemment
(47) a5=M, x = — 9, (mod.3i).
Considérons maintenant une équivalence complète du 4«* degré ou de la forme
(48) a.x^ 4" ^1®* + ^»®* + ^t^ 4" ^4 = o » (œod.p) ,
p désignant un nombre premier, et a^, a, » n» , ai., a^ des quantités entières dont la première ne soit pas divisible par p ^ ou même des quantités rationnelles. Si Ton fait
(49) » =7 — j^ é (mod.p) .
Téquivalence (48) deviendra
(50) 7*+^r + ^7 + ^ = 0, (mod.p),
B ,^C p D étant des quantités rationnelles que Ton pourra réduire k des qusintités on^ tières. 0*un autre côté, si Ton désigne par
les racines de Téquation
Fexpression
considérée comme foqotion de ces racines, ii'aura » comme Ton .sait, que trois valeurs distinctes, savoir, '
( «8^ ) tfù serviront de racines k la réd|ûte
Cela posé, concevons que l'équivalence (5i) admette quatre racines distinctes,
