y*. Jf yti et faisons
(54) «.=(^-^7^"^*)'. «,=(J-'J-';j-»*J-«)\«,^(^'-^^';^'-^*)\ (mod.p),
ttf • «. f «I seront, en vertu du théorôme lô de la page %lfi, les trois racines de Téquivalence du troisième degré
(55) a* + ai»tt» + (if — 4D)ii — r^^o, tinod.p). Comme on auk*a d'ailleurs
on trouvera encore
J.+yi+rî+y4 = 0f (mod.p),
A Paide de ces formules , on réduira la résolution de Féquivalencc (48) ou (5o) à la résolution de deux équivalences binômes du second degré , et d'une équivalence du troi^ sième. En effet» supposons
(58) „, = y'-y**y^'y4 . ^.^zuji^riia^, ,,=ivtZîiJrzL. („od.p). .
11 suflka» pour déterminer v. » v, > de résoudre i."" Téqui valence (55) , qui est du irpisième degrés 2.* les deux équivalences du second degré
(Sg) v^*^u^, v.'^a, , (mod.p) »
après quoi Pon déterminer* vi , si C^ n'est pas divisible par p , à Taide de la formule 8v,«,i;i=— 8C, ou
(60) v,=— — — , (mod.p),
et jn 9 y» » Ji • yA ^ VMq des formules
(.88) y* +J'» +^3+^^4 = 0 5 (mod./>),
desquelles on tire
(6«)j.=: 1 ./.= 1 • J^3^ 1 .74= 5 • (mod.pj.
Si ^ devepait divisible par p ^ Tune des racines de réfjuÎTaleaee ($5) s'éfanouirait . et , en désignant les deux autres par tf , , u, , en devrait aux fonnules (Sg) joindre , non plus la formule (6o) , mais la suivante
V3~0f (mod.p).
Il est bon d'observer que Ton a , eo vertu des formules (54) »
(63) ci.-ii.E(j.-7.)(7j-74)» «i-«'3E(7«-74)(73-J^«)» <'.-ttjECy.-:y«)(j4-J^.)# (»od'P)-
On peut en conclure que, si l'équivalence (So) admet quatre racines distinctes Tune de Tautre, l'équivalence (55) admettra elle-même trois racines distinctes. Si l'on fait d'ailleurs
(64) u + ^ = U, {axod.p).
et de plus
(65) ^=-(|/J. + 4d), F = -(^ir^-l^D4-C'), («nod.p),
Téquifalence (56) deviendra
(66) U^^EU + F = o, (mod.p).
Supposons maintenant p — i divisible par S. On pourra déterminer les trois racines de l'équivalence (66) correspondantes aux trois valeurs de u qui vérifient la formule (55) , en suivant la méthode par laquelle nous avons résolu r4&qiMVBleiice (4)f et , comme les trois racines de l'équivalence (66) seront distinctes l'une de Faotre , si l'équivalence (5o) offre elle-même trois racines distinctes, il est clair que les quantités E j F satisferontalorsgénéralemeut aux conditions que Ton déduit des formules (ai) et (27) , en y remplaçant B par f et £7 par F. On aura donc • en admettant que Téquivalence (5o) offre quatre racines distinctes j
:': fil
^Oto Ml- ioatéfoit ezcqiter le cas t>b le coefficient E deyiendrait diTuible par p . De ptîw v'diaeunë'disfonDales (59) deTant'étre résoluble , on aura encore , û C nW paa é^uimtodtïtéro»
(«I) •" «.*=!, *«.*=!, (niod.p) ,
. ' fî
eljyir conaéfiueiil
(70) «1 * =(^;;^)* =>, (mod.p).
Cola posé, coQcefons que Télimination de u entre les équations
produise une autre équation de la forme
(7«) n + GF'-\-Hr + I = o,
Oo aura idenliquemenl
(75) f >+cf+//f +/=(r-«. *)[f-u, ' ) (f-«, • )
et par suite ' (74)
/= — «.* Il, * II» * =— (C«) * =:*-.r^-*,
pitî* 6n tontloMi dea formules (74) ^ combinées arec les formules (69) , (^0) ,
(75) C=— 5, i5f = 5, (mod-p),*^
et ...,.....■• : ^ • • '■
(76) , ^z— = 1, (mo^-p). , ,,, . .
Donc , en défi&iiive, les conditions (67) , (68) , (75) doifcnt élre Térifiées toutes les fois que, p^ 1 étant divisible par 3 , et C, B non divisibles par 'p, Téquivaieuce (48) ou (5oyc^re quatre raciqes iimUncti^ Q^9^>^ l^,<49^di^9i.(7Q)f.il!^ ¥P^ tile d*en faii'e mention, puisque» dans le cas- ^ont il. Vagit, elle sera tQujonrf.rçmplje. Donc, si les conditions (67), (68)» (76) sont véririées» p — 1 étant dlvisibIc(ipMy:ii^ • et C, E non divisibles par p» l'équivalence (5o) et par suite Téquivalence (48) offriront quatre racines distipctes. En effet, Jes conditions (67).» (68) étant vériQ^» chacune des équivalences (55) , (66) offrira trois racines distinctes l'une de Tautre. Désignons par Cf. , ff, » Ils celles de ces racines qui appartiendront è Péqni valence (5$). Les quantités
■ î'»«.' ' ' il . .
seront les trois racines de l'équivalence
(78) F^ + GF' + Hy + I=ù,
qui , on vertu de la dernière des formules (74) » deviendra
(79) F^ + GF* + BF — C^-^ = o.
De plus, les conditions (76) , (76) étant remplies, la formule (78) deviendra
ou, ce qui revient au môme ,
f8o) (F— ij» = o,'
et ses trois racines seront équivalentes à l'unité. Donc le^ quantités (77) vérifieront les conditions (6g), (70), et les formules (69) seront résoli^blês. Gela posé, les formules (6b) et (69) fourniront évidemment dès valeurs de j. , j^, jr% , ^4 propres à vérifier l'équivalence (5o).
Si, les conditièns (67), (68), (78), (76) étant refnpliea|Ie nombre p — 1 n'est divisible ni par 4 > ni par 9 , la résolution des équivalepces (66), (6g) jet par suiteli^ réio^ lution des éqnivaleiofèésXSo) , (5i) s'effectueront sians peine à l'aide des formules (67), (68) , (6g) du paragraphe précédent. ^- . 0
Concevons , pour fixer les idées , qu'il s'agisse do résoudre l'équivalence
(81) a8*4-4û5* + 6«*4" *5flî + 7 = o , (mod.5i).
on obtiendra Wib^Wttlë» i--'" '"•*•"»' *''' '»' '•'•* • '• '*'*'■•' •'■ "' * "•''"^' - ^*"/ ' '*''•' '^"-î (85) vî vy* + 9J^-r-5 = o, .(mod.5i); ;- ., s.»
. . • ., "^ - : ;;■ ' ' •■! :. j] ./' ,■• ■l.'in .•• ' .;■:!» . • i. : ■iir. ..' ••
(84)fi' M ', M'iv jî:i..fir='0 ,*i. i.i C?=9 f ' ^■■•D^TT^' ■ • ^ t- • î»i»
Cela poié , Téquivalence (55) deviendra
(85) tt^ 4" i><'4" 13 ^o»
elle se confondra donc avec l'équivalence (33), dont l^a racines étaient 6, i^ ti -^it, en sorte qu on pourra prendre
(86) «1 = 8, at = 4'f «3 = — la , ' (mod-Si).
Or les valeurs précédentes de u. » ti, , tia vérifieront les conditions (69) , (70)» ou
(87) 8*«=i, 4'*=i, (— ia)**=i, (mod-5i). On pourra donc résoudre les équivalences (Sg) , ou
(88) v,» = 8, v." = 4, (mod.5i)-
On tirera effectivement de ces dernières, en ayant égard aux formules (yS) du $ si , «t à la condition a^=i,
(89) v. = db8» = dba*^ = =fca* = d:i6, v.==fc4*=±a««=i:a.
Pftr conséquent on pourra supposer
Les valeurs de 1;, , v, étant ainsi fixées , Téquivalence (33) donnera
(91) „, = ^ = 9 = 8,, (inod.5i){
61 Pon tirera im formules (6t)
(9«) J. = «o = — 11, J^t = «, J^i = — 4. 74S— »8=i5,. (piad.Sa).
Telles seront les ^atre racines de-P^qnirÉienoe (85). Ces racines correspondantes de Viqniyalence (81) , ealcalées à l'aide de la formale (81) seront respeotireoNQt .
(95) « = -^iii »=i, »=-^S-, »=ia-
« Les iquif alences (88) éiantir^solubles, et le nÎNnbre C7 =s 9 n*<lantpai divisible par
Si , on peut aflbmer qoe, dans Tezemple précédent, les conditions (76) , (76) se ?érî-
fient, on» en d'antres termet, qne péqniTalenee produite par l'éUmination de 11 entre
les suirantes
(94) tt*4-i>ti+ ii=0| ^ = «'S (mod.Si),
se réduit à la formule
(95) r^ — 5r- + 5F— 1=0. (niod.5i).
C'est, an reste , ce dont il est facile de s'assurer directement.
