CONSIDÉRÉS COMME DES MASSES CONTINUES

S i.^ Fartnultê généfiilts.

Dans la recherche des équations d'équilibre ou de mouveuieui des corps solidea ou fluides» on peut considérer ces corps comme des masses contiiujies • ou bien les regardercomme des systèmes de points matériels qui s'attirent ou se repoussent à de très-petites distances. Dans la première hypothèse , il faut d'abord établir la théorie des pressions ou tensions exercées en un poîot donné d^un corps solide contre les divers plaâ qu*on peut faire passer par ce même point. J'ai développé cette théorie dans le tome II des Excreiôeê de Mathématiqueê ^ et j*ai fait comialtre les relations qui eftisteal^ dana le cas d*é* quilibre d'un corps solide ou fluide , entre les précisions ou tensions et les forces accélératrices. Si, pour fixer les idées, ondésigue par x ^ y ^ z les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque; par p la densité d'un corps au point ipty^z); par p\ p". p*" les pressions ou tensions que supportent en ce point et du côté des coordonnées positives trois plans respectivement perpendiculaires aux axes coordonnés; par A p F^ E; Ft B, D; E 9 D, C les projections algébriques des pressions p'*p^*p'" sur ces mêmes axes; enfin par X^ ^p ^ . les. projections algébriques do la force accélératrice appliquée au point {x^y^ z) ; les relations ilont il s'agit seront exprimées par les formules

l àA ,dP dB , ^

dfç dy ■ d*

dE dp I^.T dy.

dB ,dD ,dC , „ .

da|is lesquelles a ^.r, a sont|i|rises pour, variables in4^Dd^nteSi|.l^î {es diverses .partiooles dn corps» au Heu dî'ofiKr nui état. d'équilibre, sont en mpjijivevifipt^, alors ,»^<ié

( «94 ) signant par % . ^, ^ les projections algebriquej.de la force accélératrice qui serait

capable de produire à elle seule le mourement effectif 'd'one particule, et prenant x , y,»,t pour variable* indépendantes, on obtiendra, à la place des équations (i ), celles qui suivent

dA éP dS , ^

dB dD dC ,

Enfin, si l'on nomme S » >i » C ie5 dépIacemenU de la particule qui^ au bout d'un temps t , coïncide avec le point (^f/»^) 9 mesurés parallèlement aux axes coordonnés » on trourerti , en supposant cet déplacements très-petits » '>

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'^~ df ' ^~' dt* ' •^'^IS^ ' ■•■■'■

et par conséquent 1m équatîoiu (a) ideviendront

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Les formules (i), (s), (3) sont les véritables équations d'équilibre ou de moufement intérieur des corps considérés comme dds massoi^ ck>nCuiùér; ël poiir en déduire » par exemple, les lois de l'équilibre ou du mouvement des corps solides jJélastiques , il suffit de chercher comment, dans ces derqiers^lespress)bn|.o.$:6oi|^ B^ C^ Z>» E, F,^

doivent s'exprimer à l'aide des dépincements l ''f\ » C. ' Nous feroni, à ce sujet les remarques suivantes. ^^ . . ^ ^^ .^^ \^ i

Soient » au bout du temps t , « , p , 7 les ttogtet q^ fôrme*\ivec les demi-axes des coordonnées positives une droite menée par le point {x^jr, t) , et représentons par c la atlalaliôViUii- é(ièdéiiiiîH'ÂW'Vtklré'''Hv^ ceîté Me. t$n aiVal ;&''*

supjiosatit qWWW^flàtefrà^^^ 'T: ^ /:' 'sotekt'trèsl'^'eM ''-'"^ ^ ' "•'''' ' """' "

diB ' djr d*

Donc le système des dilatations ou condensations linéaires, mesurées dans toutes les directions possibles autour du point {x^jfZ), sera complèlement déterminé, lorsqu'on connaîtra les valeurs des six quantités

^ ^ ^ ^4-^ l^o.^ !lijL.!^

^^ dw' dy' di * dz'^ dy' di^ dz ' dy ^ dx '

qui , dans la formule (4) > servent de coefficients aux carrés et aux produits des cosinus des angles a , ^ , «y. Cela posé» admettons» comme nous l'avons déjà fait dans le 3.* volume [page 167] que» dans un corps élastique» la pression ou tension exercée contre un plan passant par un point donné (d?»J^f 2) dépende uniquement des condensations ou dilatations linéaires autour de ce point, en sorte que le système de ces condensations ou dilatations étant connu » .on puisse en déduire le système entier de» pressions ou ten- •iona exercées contre les diverK plans qui renferment le point (a?» j»^)*. ' Les pressions 01^. tcMMÎons

devient ôtre des (onctions des seules quantités

d^ ' dy ' ds ' dt'^ dy " dx'^ dz ' dy ^ dx *

et ihëme des fonctions linéaires» si» en considérant les quantités dont il s'agit comme infiniment petites du premier ordre » on néglige » dans les développements de A ^ B , C , D » £ » F r suivant les puissances ascendantes de ces quantités » les infiniment petits du second, ordre et des ordres supérieurs. Donc alors, en admettant que les pressions s*évanouissent dans Tétat naturel » on trouvera

Il iiiin I Jtiiiii

:.b t^lIoÉi ttVèM iadiqaé ce principe , dint le tn>is2èine volume dét JSnifdfiSf » comme propre 4 jfunmir les étqi|ailttMi id'é^eftllbre oa de môdvemeiit intériear dNm' corps solide dont t*éUiticilé reste tà'mCine en tout feiîi;'ll«if rico n'empêche d'étendre le même principe tfo cas où l'élaslicité Tsriedtns le passage d'wie direction à une autre.

<■ t b. , c. , «1. « Us , b» • elc. » étant des coeflBcieoU qui teroai délermioéé eu chaque point du corps, mais pourront farter avec « , y 9 %• Lot équations (7) et (8) coïncident afec celles que M. Poisson a données dans son dernier Mémoire sur les <€orps élastiques *• Chacune de ce» équations, prise à part , est de la même forme que rune des équations (5), (6) de la page i du présent folume, et renferme six coefficients 'éépeadants de la nature du corps. Mais il n'arri?e plus ici.comme pou»ieséquations(5),(6)delapaget, que quelques-uns des coefficients qui servent à déterminer la pression A soient égaux \ quelques-uns de ceux qui servent à déterminer chacune des autres pressions fi ^ C ^

* Poar éUblir les fomolet (7) et (8) qu'il regarde oomme eppUeablef tas corpf aolidei élettiqaet , doot les nolécules lont trèt-pea écertéet des positions qu'elles occopaicnt dans l'état mtarel , M. Pobsoo part de ce principe , que les prefiîoot A^ H, 6\ /), E, F, relatives an point («,/,s), dépendent oniq^eaMOt des déplacemeats rehtlfs des molécnles dans le voisinage de ce point et par eoaaéqnent des neuf qaaatiléa

dm* ^^ ds' dx' dy* dt " da ' dy * ds *

paie, en cooiddérant oet qaanUtés comme infiniment peUtns d« pismier ordre, et négligeant lei inftnimeal petiti dn fécond ordr«« il rédait 1m falenn dn J^ B. C, D^St F à de* fonoliont tinéake» des fMMkîlée dbot il s'agit. Enfin il ramène ces fonctions à la formi* sous laquelle ellei te présentent dans les éqoations (7)» (8) t sn admettant qne l«s pressions s'évanouissent dans l'état natnid dn corps, et en oliifrvaol qaa ffet état «ooallam de snbUster, quand on imprima à tons les points on monvcflMnt caauaon de rotitloo «atour de l'u des 1 donnés.

( «97 ) D , E , F ; et les trente-six coefficients a, , b. , c, , d^ , e, » f, » a, , b» , etc.... , sont tous distincts les uns des antres.

Si rélasticité du corps redevient la même en tous sens, les équations (7), (8) se réduiront k celles que j*ai données dans le troisième volume [page aïo]. Alors ^ en effet, comme je l'ai déjà remarqué [troisième volume « page 167], trois directions perpendiculaires entre elles , devront , en^chaque point du corps élastique , correspondre simultanément aux trois pressions ou tensions principales et aux trois condensations ou dilatations principales. t)e plus, si Ton nomme t', t'^ %"' les dilatations ou condensations principales, et w\ w"^ w'" les tensions principales prises avec le signe -4"f ou les pressions principales prises avec le signe — , v\ «-', w'" seront des fonctions de t\ >'» ^"' qui devront conserver les mêmes formes quand on échangera entre eux les axes des o), j, %. Ces mêmes fonctions deviendront linéaires, si, en considérant les quantités <^ c', %"' comme infiniment petites du premier ordre, on néglige, dans les développements des pressions , les infiniment petits des ordres supérieurs; et alors, en supposant les pressions nulles dans Télat naUirel , on aura nécessairement

ff , it désignant deux coefficients qui pourront varier avec x ^ y ^ z. Si maintenant on fait pour abréger

V représentera la dilatation ou condensation du volume, et en posant d'ailleurs

on réduira les équations (10) aux formules (74) de la page 179 du troisième volume, c'est 4i-dire , à

(il) ^'=*i' + J[ti, w'^ki'^Ky^, ^'"=*V''+iv.

Enfin, on raisonnant comude dans le troisième volume [pages 177 et suiv.]t on déduira des formules (11) les valeurs générales de A , B ^ C , D ^ E p F, savoir,

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