IV.^AififâB

et, en substiluant ces vtfleiirs dans les formules (i) ou (3), on'o1>liendra ies ëquatioDS propres h déterminer l'équilibre ou h mouvement des corps élastiques ^ont rétasticîlé reste fa même dans tous les sens. Or ces équations» qui renferment deux coefficients k , K dépendants de Ta nature du corps sont précisément les formula (72) ^ (73) de la pag;e 1 79 du troisième vofume. Elles comprennent comme cas particuliers d'autres équations qui renferment un seul coefDcient^ savoir» celles que l'on trouve dans un Mémoire de SI. Navier, présenté h l'Académie le i4 mai iSai» et dans le premier Mémoire de BÎI. Poisson sur les corps éfastiques » et celles que j*avais données moi-même dans le Mémoire présenté h rAcadéniie fe 5o septembre 1829.

On ne doit pas otibKer que» pow établir les éqaatkom (7)» (8)» (»•)> (ï5)» notts avons considéré les corpp» élastiques comme de» masses cenlinues. Si on les regarde coMne des systèmes de points matériels qui s'attirent ou se repoussent à de très*petites distances» les équations (7) » (8) , (12) » (1 3) ne changeront pas de forme. Seulement les trente-six coefficients renfermés dans les équations (7), (8). se véduirontaux quinze coefficients que comprennent les formules (5) , (6) de la page 9 » et les deux coefficients, renfermés dans les équations (19) » (i3) seront liés Fun à l'autre par la condition

en sorte que les équations (19) » (i3) se réduiront aux formules (/|8) de la page 999 du troisième volume. Or ce qui pourrait faire croire que dans la théorie jdes corps élastiques il convient d'opérer lès diverses réductions dont nous venons de parler, c'est qoe les expériences faites sur des corps dont l'élasticité reste à peu près la même en tous sens paraissent s'accorder spécialement avec les formules qu'on obtient quand on suppose vérifiée la condition (i4)«

Nous allons maintenant rechercher les formules qui devront remplacer les équâtiotf» (7) » (S) > ^^ '*^^ considère un corps élastique passant d'un état dans lequel les pressions ne seraient pas^nsHes h nir second ét^t distinct du premier. Pour y parvenir» nous sur-vrons une méthode semblable à celle dont M. Poisson »*est servi pour établir les formules (7)» i^) » ^ °^^ supposerons quo les pressions A ^ B , C , D , E ^ F relativM atf second état du corp> élastique dépendent en chaque point (Xtjr,z) des déphoemenfls relatib des particules situées dans le voisinage de ce même point. Or» si l'on désigne toujours par Ç » 9 B.^ 0^ déplacements mesurés parallèlement aux'axes cpordonnés dans le passage du premier état au second , les déplacements relatift de.la particule qui coin-

cide dans le second état avec le point {x + ^x,y + A^, z^^z) , par rapport à la particule q^û coïqcide aréc 1^ pnitiC (a?; jr^jf.) . seront les frôis* quantité!.

A.Ç, Au, AÇ.

D'ailleurs» si l'on nomme r le rayon vecteur mené du point {XpjTtZ) au point {x + àx^y + ^XtZ + i^z), Qt i^p, 7 les anglâsfonaéspacoBrajoav^BGtenravec. les demi-^axes des coordonnées positives , on aura

(i5) " Aa?=;rcos*, A/ = rco8p, Ai; = rcos7 ;

et lea trois quafitités. a! , Ai| » . AC: seront, dams le voisinage du poiàt {x,y,z) # sensiblement déterminées par les formules

- ^Ar^^^^yw L^«V 1 ^^-X Y<^^ L-^'^ ft I ^^ \

. dar ^ dy '^ ^ (h \dx ^ dy ^ ^ dt 'j

Opiui tesrdép'laceu^eiits relàtifv (Tes dîvertês mofécuItiSK dans 1^ voismâgf^jdu peint {x^, z) dépendront principalement des neuf quantités

11 11 11 ^^ ^^ £^ rfC rfC </Ç ds* dy* II' d^' ■^' ^* ^' rfT* H'

qui serviront de coefficients aux cosinus des angles a » p , 7 dans, les valeurs des rapports ^

a; A>} AC

Donc, jèti adoptant rhj^poth^e ci -^x^essus' mentionnée , on devra regarder' les pressidàs A ^Jfi \ 'C\,'b , E , F corume dés ïonciions de ces six quantités. Enfin^, si . en cotrsidéraa|[ 'cJ9S quântit&s'cômjii'e'infinTmènt petites dà prétnibr 'ordre, on 'Ué(;lîge daoK' Ids ^^(veroppëîiienis'des pressFoiis À,'É\ C\ D , B'\ '^"^'lés ihAmmenlpiôtîts d%in ordt^ supérieur au premier, les fonctions dont it s*agit seront ïempfacées par dès (timilàUé linéaires, en sorte qu*én pourra'supposér il

«=«+..â+-^+-§+-.fë+f)+"(ê+§)+-.($+ê)-

+'.(ï-^)+MS-S)H-'.(f-è)-

Pour déooiivrir los relations qui peuvent exister entre les soixante coefficients que renferment CCS dernières formules » il suffit d'observer que le premier état du corps continuera de subsister, si , dans le passage du premier état au second , on a déplacé tous les points» en les faisant tourner simultanément autour de l'un des axes coordonnés. Supposons , pour fixer les idées , que, dans le passage du premier ét^t au second, le corps ait tourné autour de l'axe des z; et soient , dans le second état du corps , v , r les coordonnées polaires du point lp»y\^) projeté sur le plan des x, y, en sorte qu'on ait

• { Soi )

(ig) iV=:tCOST, y = t8inT.

Désignons d'ailleors par i raccroissement qu*a reçu l'angle r dans le passage du premier état au second. On aura évidemment

/ Çi=:i,COST — «'COS(t — î)3=:x(l — cos/) — ^sînî, («o) {

( qz^t^sinr — V'Sin(T — /) = ^^(1 — co»i) "^asinif

puis on en conclura , en considérant » comme infiniment petit du premier ordre, et négligeant les infiniment petits d*un ordre supérieur au premier,

(ai) Ç = — î^, nzszlx.

D'autre part, lea valeurs de A , B , C , D , E g F relatives au premier état du corps, ou celles qu'on déduit des formules (17), (18), en remplaçant S, «i , C par zéro , savoir,

tt, b, c, i, e, f

devront coïncider avec celles qu'on obtient dans le second état du corps , lorsqu'aux axes rectangulaires des x , y on substitue de nouveaux axes coordonnés qui forment avec

le demi -axe des x positives les angles i et [-t. Il en résulte immédiatement

que les formules (7), (8) de la page 5a, et les formules (i3) , (i4) de la page 53 , subsisteront si l'on y remplace les pressions eKo , ^i> , G ,£),£, </ par a , b , iC ^ ) , t , f , pourvu que l'on y pose en même temps

(aa) p. = ^ — c.

Pï = 0,

1 ir

00 , ce qui revient au même ,

/ COSai = COSt,

cosa, = — sint.

(a5) ] co§Pi = sînt,

cosp» = cosf ,

oos^s = o.

[ co«7, = 0 ,

cos7. = o.