III.* ANNÉE

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(66) (a) .^iL ^ IZJL

en faisant , pour plus de conamodilé , ± « = ^^ . De plus , si l'on pose

c'est-à-dire, si Ton désigne par r la distance des deux points (ç, >i) , (a:, j) , on tirera do la formule (a)

cosy sinxp

le double signe devant être réduit au signe -f** ou au signe — , suivant que l'angle, a = d= 4» sera relatif à la longueur r comptée à partir du point (£,>}) ou à partir du point {x,j). On aura donc , dans le premier cas ,

(5) af = Ç4.rcos>|/, J^ = >î + r8in4*, et .dans le second.

(6) • a? = Ç — r cos^p > ^ = >î — r sin^p .

Concevons maintenant que le point (S»»i)^ coïncide avec le milieu d'une corde de la ligne (i) , et le point {x^j) avec l'une des extrémités de cette corde. La longueur de la même corde sera égale au double de la distance r , et la formule (i) sera vérifiée par les valeurs de x^ y tirées , soit des équations (5) ^ soit des équations (6). Donc, si l'on fait , pour abréger,

f = (^ç4.C« + -D)cos+ + (CÇ + Bn + £)siû+,.

on aura en même temps

(8) «r* + afr + a=nJiC, «r» — afr + azzriC ,

et par suite .

(g) sr^ -^u = K 9

(67) -Il est bon d'observer que réqualion (lo) peut s'écrire sous l'une ou l'autre des deux formes

(il) {Ai'^Cn + D)cos^ + {Cli + Bn + E)sln^ = o , .

(a a) (^co8^^ + Csin^^)Ç + (Ccos^^-^-B8in^^)u^-Dcos^H-JBsin^^=:o.

Cette équation étant du premier degré par rapport aux coordonnées ; , >i , il^ en résulte que le point (S»'') décrira une droite, si la corde ar varie, mais de telle sorte que l'angle "^ demeure constant. Ainsi des cordes parallèles de la ligne (i) ont leurs milieux situés sur une seule -droite qu'on pourrait appeler axe diamétral. Ajoutons que , si l'on fait ^ , w, ^cos\I»+C8in\I»

db<p désignera l'angle formé par la droite dont il s'agit avec le demi-axe des x positives , et que cette droite sera perpendiculaire aux cordes dont elle renferme les milieux si l'on a

{i4) 1 4-tang(ptang4» = o.,

ou , ce qui revient au même »

C08^p %\tL^

Dans ce dernier cas, Ja droite représentée par l'équation (12) divisera en deux parties symétriques la ligne rejprésentée par l'équation (1), et sera ce que l'on nomme un axt principal ie cette ligne. Gela posé, on démontrera facilement que, pour chaque ligne du second degré , il existe toujours au moins un axe principal. On y parviendra en eifet h Taide des considérations que nous allons exposer.

On tire de l'équation (i5) combinée avec la première des équations (7)

. ^. ^cos^!'+Csin^^ Ccos^^4^Bsi^^i/

ou, ce qui revient au même,

(-i — 5)C08^^ + C8În'} = 0 ,

Ccos^ + (^ — 5) sin^p = 0 ;

puis, en éliminant l'angle *^ , on en conclut

Goègle

De plus, les deux racines de l'équation (18} sont ë?idemment

et elles ne peuvent devenir égales entre olles que dans le cas particulier où Ton a

(ao) A = B, C = o.

Dansée dernier cas, Tune et l'autre racine se réduit à la quantité A , et les équations (17) 8c trouvent vérifiées» quel que soit Tangle >!'• Mais, dans le cas contraire, les équations (17) fournissent une valeur unique et réelle du rapport

s!n>Jf r = tang>p.

Ajoutons que l'équation (is) deviendra, en vertu des formules (17) ,

(ai) s (Çcos>|» +^in^^) + D cos>î' + JE8in>p = 0 .

Or cette dernière représentera évidemment une droite déterminée , toutes les fois que l'angle >|i aura une valeur déterminée, et la quantité s une valeur différente de zéro. Enfin , il est clair que , pour une valeur do s différente de zéro , l'équation (9) fournira deux valeurs de r déterminées et do signes contraires , toutes les fois que la droite (2) rencontrera la ligne (1). Donc la ligne (1) offrira deux axes principaux correspondants aux deu^x racines de Téquation (18) , si ces racines sont inégales, et si aucune des deux racines ne s'évanouit.

.Si, l'équation (18) ayant ses racines inégales, l'une d'elles se réduisait à zéro , la ligne représentée par cette équation continuerait d'offrir un axe principal correspondant à l'autft^e racine.

Enfin, si l'équation (18) avait ses deux racines égales entre elles » mais différentes^ de zéro, alors, en substituant au lieu de s j dans la formule (si) > la valeur commune des deux racines, et attribuant successivement à l'angle ^j; une infinité de valeurs diverses, on obtiendrait une infinité de droites dont chacune pourrait être considérée comme un axe principal de la ligne (1).

On ne peut supposer que les racines de l'équation (18) soient toutes deux nulles» à

(69) moins d'admettre que Ton a yt = B=C = o, c*est-à-dire , que la formule (i) cesse d'être une équation du second degré.

Il sera maintenant facile de résoudre la question suivante.

1 .'' Paoblême. Rechercher quelles sont les différentes espèces de lignes du second degré.

Solution. Comme nous avons prouvé que , pour chaque ligne du second degré , il exisle au moins un axe principal , c'est-à-dire , un axe qui la divise en deux parties symétriques, on pourra prendre cet axe pour axe des x. Alors Téqualion de la ligne ne devra pas être altérée quand on y remplacera y par — y , et par conséquent les termes qui renfermeront la première puissance de y devront s'évanouir. Donc cette équation sera de la forme

(22) Ax* + By* + fkDx=iK.

J'ajoute qu'on pourra toujours réduire à zéro le coefficient D, si la constante ' A n'est pas nulle, et la quantité Kj si, A étant nulle, D diffère de zéi'o. Gar'«

pour y parvenir, il suffira de remplacer» dans le premier cas, x par x , et,

dans le second cas , x par x ^ — - , c'est-à-dire , de transporter l'origine sur l'axé

des X, au point qui a pour abscisse — --r , on — jr-. Cela posé, l'équation (i)

prendra l'une des formes

(23) Ax^ + By* = K,

(24) By* + iDx = o.

De plus, si, dans les formules (23), (24) > on suppose les coefficients A , B , D , K différents de zéro, il suffira de faire

a t b , c désignant des quantités positives pour ramener ces formules aux deux suiivaotes

(*5) '=fc^±f=.,

(aC) y* = ±:2cx.

Or la formule (25) comprend i."" l'équatioR

( 70) qui représente une ellipse dont les demi-axes sont a et 6 ,^ a."" les deui équations

qui représentent deux hyperboles dont les demi-axes sont a et 6; 3.** l'équatiou

qui ne représente aucune ligne. L'ellipse (37) deviendrait un cercle si Ton avait a = fr. Quant à la formule (a6) , elle représente évidemment une parabole dont c est le paramètre.

Si l'on faisait évanouir , dans l'équation (s3) ou (s4) > une ou deux des constantes A f B t D , K 9 mais do manière que cetto équation ne cessût pas d'être du second degré , on obtiendrait Tune des formules

(3i) Ax^ + By = o ,

(32) Ax' — K. (33) By-=K,

(34) X^ = 0, (35) jr' = 0.

Or les seules lignes que puisse représenter une de ces formules sont, 1.^ deux droites qui se coupent à l'origine des coordonnées, a.* deux droites parallèles 5 l'un des axes coordonnés, 3.** l'un de ces mêmes axes.

En résumé, une ligne du second degré ne peut être qu'une ellipse ou un cercle, une hyperbole , une parabole , ou un système de deux droites qui se réduisent quelquefois à une seule. Parmi ces lignes , l'ellipse et l'byperbolo qui peut se réduire à deux droites passant par un même point, sont les seules qui offrent deux axes principaux et do positions déterminées. Le cercle offre une infinité d'axes principaux qui ne sont autres que ses diamètres. La parabole offre un seul axe principal. Enfin le système do deux droites parallèles offre pour axes principaux non-seulement une troisième parallèle qui divise la distance des deux premières en parties égales , mais encore l'une quelconque des droites menées perpendiculairement à ces mêmes parallèles.

Nota, On peut aisément s'assurer que les courbes représentées par les équations (26),

( 7» ) (27) f (28) et (dg) jouissent des propriétés connues qui servent à la description de la parabole , de l'ellipse et de l'hyperbole.

En effet considérons d'abord l'équation

(56) j* = 2ca;,

à laquelle se réduit la formule (a6) quand on choisit convenablement la direction des X positives. Si l'on nomme r la distance comprise entre un point {x^y) db la

courbe (36) et le point situé sur le demi-axe des x positives à la distance — e de l'origine, on aura

ei par suite

Donc cette distance sera équivalente à celle qui séparera le point (œ, y) de la parallèle à Taxe des y à laquelle appartient l'équation

Or on reconnaît évidemment ici la propriété caractéristique de la parabole.

Considérons en second lieu l'équation- (27) , dans laquelle a surpassera b , si l'on . a convenablement choisi l'axe des x » el posons

(59) a» — ^» = fl»e*.

Cette équation donnera

De plus, si Ton appelle r la distance comprise entre le point {x^y) de la courbe (4o) et l'un des dçux points situés sur l'axe des x à la distance ai de l'origine, on

aura

r» = (« ± aty + j» = {x ±.atY + (i — «") (^* "" ^*) = (*— •^)' î puis on en conclura, en ayant égard aux conditions <* < 1 1 x^<,a*, t'»* < a* ,.

Donc, les distances du point {x,jr) aux doux points dont il s'agit seront

a — tx y a-f- e^ 9

et la somme décos distances sera constamment équivalente h 'ja. On reconnaît évidemment ici la propriété caractéristique de l'ellipse.

Considérons enfin l'équation (28) à laquelle on ramène l'équation (29), quand on échange entre elles d'une part les coordonnées x , j y d'autre part les constantes a et 6 ; et posons

Cette équation donnera encore

(43) j.3 = (|-.e»)(aî*-a>).

Par suite, si l'on appelle r la distance comprise entre le point {x,y) de la courbe (43), et l'un des points situés sur l'axe des se 5 la distance at de l'origine, on aura toujours

r»= (azt ea;)*;

puis on en conclura, en ayant égard aux conditions «• > i , x* > a' , «'a:' > a* , et supposant x positive ,

(44) r = tx±a.

Donc les distances du point (œ, j) aux deux points dont il s'agit seront

tx — a y câ?-!"^ f

et la différence de ces distances sera constamment égale h 2a. On reconnaît évidemment ici la propriété caractéristique de l'hyperbole.

Dans les équations (39) et (42) , la constante e est ce qu'on appelle V excentricité de l'ellipse ou de l'hyperbole.

Lorsqu'une ligne du second degré offre deux axes principaux de positions déterminées , cette ligne ne pouvant être qu'une ellipse , ou une hyperbole , ou un système de deux droites qui se coupent . les deux axes principaux sont nécessairement perpendiculaires l'un à l'autre. C'est, au reste, ce que l'on démontre sans peine à l'aide des formules (17) et (18). En effet, nous avons vu que la ligne (1) a deux axes principaux déterminés, lorsque les racines de l'équation (18) sont inégales et diil%rent de zéro. Or soient s^ , 5, ces racines supposées inégales, et ^^^ t'a les valeurs correspondantes

( 73 ) de "i" » tirées des formules (17) , ou , ce qui revient au même, de l'une des suivantes

taDg{;i , tang'K seront les deux racines de l'équation

(4G) tang'+ H — lang+ —.1=0,

que produit l'élimination de s entre les formules (45). On aura donc (47) taDg>I', tang-^a = — 1 , ou 1 + tûng^}/,tang^^a = o.

Or celte dernière formule exprime évidemment que les axes principaux correspondants aux racines 5, , s^ se coupent à angles droits. Ajoutons que Téquation (46) « qui peut encore être présentée sous l'une des formes

(49) C(cos»^|* — sin»>|/) 4- (^ — -^) sin\î/cos>|» = 0 ,

coïncide évidemment avec l'équation (i5).

Dans le cas que nous venons de considérer, le point d'intersection des deux axes principaux de la ligne (1) est évidemment un centre et même le centre unique de cette ligne. Alors aussi un axe diamétral, représenté par la formule (11) , est toujours un véritable diamètre de la courbe; et, comme le centre est nécessairement situé sur tous les diamètres, ses coordonnées, que nous désignerons par S , >i , vérifient la formule (1 1) » quel que soit l'angle ^l' , par conséquent les deux équations

(50) Ai + Cn + Dt=o, CÇ + B>ï + JB = o,

desquelles on tire