AB-C^ ' AB'C

Cela posé , soit k la valeur de u correspondante aux valeurs précédentes de ç et de 1. On trouvera

IIL* ANNÉE. 10

«*ïi.

Alors aussi

la tbrmule (21) , réduite ù

tang

est ou n'est

pas vérifiée,

suivant que la condition

est ou n*est pas remplie. Dans la première supposition, la formule (9) se trouve satisfaite, quelle que soit r , ou ne peut Tûlrc , suivant que les coordonnées ï , >î v^ri-i fient ou ne vérifient pas Téquation (1) , et par conséquent celte équation ne peut représenter que deux droites parallèles. II est d'ailleurs facile de s'en assurer, en observant que la condition (Gâ) équivaut aux deux suivantes

(66) -i = -^- ^=^' et qu'en vertu de ces dernières l'équation (1) devient

(67) -^{Dx + Eyy + 2{Dx + Ej)=K.

Or la formule (67) , do laquelle on tire

DP 1

(68) Dx-^Ey = ^-i^zt-^\/[DE{DE + CK)i,

ne peut représenter qu'un système do droites parallèles. Ces mêmes droites seront distinctes l'une de l'autre , si l'on a

(69) . DE{DE + CK)>o.

Elles se confondront , si l'on a

(70) DE{DE + CK) = o, et disparaîtront , si l'on a

(71) DE{DE + CK)<o.

Ajoutons que les conditions (65) ou (66) peuvent être remplacées par le système des formules

(72) AB-^C^^zo, AE-'\^BD-^2CDE = Q.

( 77 ) Si la condilioir(6â) n'était pas remplie , on ne pourrait plus satisfaire à l'équation (21) en prenant pour s la racine nulle de l'équation (18] , et par conséquent la ligne (1) n'oiTrirait qu'un seul axe principal. Donc cette ligne ne pourrait être qu'une parabole. *

A l'aide des principes que nous venons d'établir, on résoudra sans peine la question suivante.

2.* PaoBLÊ5iE. Etant donnée une équation du second degré entre deux coordonnées rectangulaires x , j, déterminer C espèce de la ligne représentée par cette équation.

Solution. Supposons les cocflicients de l'équation (1) choisis de manière qu'elle coïncide avec l'équation donnée. Pour déterminer l'espèce de la ligne du second degré que celle-ci représente» on commencera par former et par discuter l'équation (18). Admettons d'abord que cette dernière équation n'offre pas de racines nulles, ou, en d'autres termes, que Ton ait

(75). {AB — C^Y>o.

Alors la ligne (1) sera une ellipse, si AB — C* est positif, et une hyperbole, si AB — C' devient négatif. De plus, l'ellipse se transformera en un cercle, si l'on a A = B, C = 0; elle se réduira simplement à un point , si la dilTérence A' — k s'évanouit « et disparaîtra si celte différence n'est pas nulle ou affectée du même signe que la somme yi + Z?. Quant à l'hyperbole, elle se réduira au système de deux droites qui se couperont, si l'on a K — A: = o. Enfin, si la quantité AB — C* devient nulle , l'équation (1) représentera une parabole; et cette parabole se transformera en un système de droites parallèles , si la formule (65) est vérifiée. Ajoutons que ces droites parallèles se confondront ou disparaîtront si la condition (70) ou (71) se trouve remplie.

Lorsque la ligne (i) est une ellipse ou une hyperbole, et que Ton suppose, dans l'équation (2) , les coordonnées ç , yj déterminées par les formules (5i) , alors, pour rendre l'équation (2) propre à représenter un axe principal do la ligne (1), il suffit de choisir l'angle -^ do manière à vérifier la formule (4g)' Qr de cette dernière formula combinée avec Téquation (2) on déduira la suivante

que l'on pourra encore écrire sous l'une des formes

Axi-Cy + D Cxi-By-hE

(78) et qui , dans Thypothëse admise , représentera les deux axes principaux de la ligne (i)^ Si cette ligne est une elKpse ; et si l'on nomme ta^ 2b les axes de l'ellipse » c'est-^àdire, les longueurs interceptées par cette ellipse sur les deux axes principaux; a ^ b seront évidemment les deux valeurs positives de r propres à vérifier l'équation

que produit l'élimination de s entre les formules (18) et (54). Au contraire» si la ligne (i) est une hyperbole, l'équation (77) n'offrira qu'une racine positive» et si Ton désigne par a celte racine » 2 a sera Taxe réel de l'hyperbole» c'est-à-dire, la longueur interceptée par cette courbe sur l'axe principal qui la rencontre. Ajoutons que l'équation (s) représentera une asymptote do l'hyperbole» lorsqu'on supposant Ç» n déterminées par les formules (5o) » on choisira l'angle ^l* de manière que la distance T déduite de la formule (54) devienne infinie, et par conséquent do manière à vérifier l'éqjLiation ■

ou

(tq) ^co8*4'+i^Bin*^4*3Ccos>psin>|i = o •

Donc les deux asymptotes de l'hyperbole seront représentées par l'équation

(80) A{x-lY^B{y-ny^2C{w-l){y^in) = o,

que produit l'élimination de l'angle ^ entre les formules (a) et (79). Remarquons d'ailleurs qu'en vertu des formules (5o) et (Sa) l'équation (80) pourra être réduite à

(81) ^a?«4-J5j* + aCrrj4-Da?4.JBy = *.

Lorsque l'hyperbole se transforme en deux droites» on a k=iK , et l'équation (81) se réduit» comme on devait s'y attendre» à l'équation (1).

Lorsqu'une hyperbole représentée par l'équtiti^n (1) a pour centre Torigine même des coordonnées » cette équation devient

(82) Ax^+By* + %Cxjr = K,

et, comme» dans cette hypothèse» les asymptotes passent nécessairement par l'origine» l'équation qui les représente se réduit nécessairement à

(83) Axl^ By^ + 9Cxy = o .

(79) Od i^rrrve à la même conclusion» en observant que, dons l'faypotbèse admise» on a /> = o , E =^0 , el par suite A: z= o .

Dans le cas oti l'hyperbole représentée par l'égualion (i) n'a pas l'origine pour centre, l'équation (85) représente les parallèles menées par cette origine aux deux asymptotes.

Il est bon d'observer que, la différence AJB — C^ est négative, nulle ou positive,

suivant que les valeurs de — tirées de l'équation (85) sont réelles et inégales, ou égales

ou imaginaires , c'est-à-dire , en d'autres termes , suivant que l'équation (83) est propre h représenter deux droites ou une seule droite, ou seulement l'origine des coordojmées. Ajoutons 1.** que, dans le cas où la ligne (i) admet un centre, les coordonnées de ce centre , déterminées par les formules (5o) , sont précisément les valeurs de x et de ^ que fournissent les dérivées de l'équation (i), prises successivement par rapport aux deux variables a;, y, savoir,

(84) Ax+C;y + D = o, Cx-^-By + E = o ;

3.* qu'il suffit de substituer ces valeurs de x el de j dans le premier membre de l'équation (i ) , pour obtenir la quantité désignée par k ; 3.^ que» Vil existe un w flw sieurs points dont les coordonnées vérifient les formules (84) • un déplacement de l'origine transportée en un de ces poinis réduira réquaiiDO (i) à la Suivante

(85) Ax^ + By^ + a Cxy = K'^k;

4.' que, si l'équation (i) ou (85) représente une ellipse ou un système de droites parallèles, cette ellipse ou ce système de droites sera réel ou imaginaire, suivant que les coefficients A , B , dont le produit restera positif , en vertu de la -condition

AB — C^ > o , seront des quantités affectées du même signe que la différence K k,

ou du signe contraire.

Lorsque l'équation (83) représente une seule droite, la .conditioxi (|65) est ou o!çst pas remplie , suivant que les valeurs de x , y, tirées des formules (84) , se présentent

sous la forme — , ou sous la forme — . o o

'Nous ferons remarquer encore avec quelle fadiilé en déduit des formules (s) et (ii) l'équation d'une tangente menée à une ligne du second degré par un point donné de celte ligne. En effet , soient ? , >j les coordonnées du point dont il s'agit. Pour que la droite (2) se réduise à la tangente menée par le même point, il suffira que la corde mesurée sur cette droite s'évanouisse, et que le milieu de cette corde coïncide avec le point (Ç,»î). Eu d'autres termes, il suffira de choisir l'angle ^ de manière que

la formule (ii) soit vérifiée. Donc, si entre celte formule et l'équation (s) on élimine l'angle ^|^ , l'équation résultante j savoir ,

(86) (^ç + c>i + D)(a? — Ç) + (Cï+B„ + E)(j->,)=o,

sera précisément celle de la tangente menée h la ligne (i) par le point (;, r,). De plus, comme les coordonnées g , r, vérifieront évidemment la formule

(87) Àli^ + Bri-+2Clin + 2Di + 2En = K, l'équation (86) pourra être réduite à

(88) (^ Ç + C>î + i)) 0? + (CÇ + /?>! + £)jr = iC — DÇ - £>: .

Pour montrer une application numérique des méthodes développées dans ce para* graphe, proposons-nous de trouver quelle est la courbe représentée par l'équation

(89) 2a5» + 5aîj-l- o^» — 5a5 — 47 = 0 •

Dans ce cas, la formule (83) deviendra

2 05" + 5»jr 4- 3y» = o , ou

(90) {x+jr){2x + iy) = o,

et représentera deux droites distinctes » d'où il suit que la courbe (89) sera une hyperbole. De plus , ]ps dérivées de l'équation (89) , prises par rapport à ce et à j^, savoir.

donneront pour les coordonnées du contre

03=2 , jr = — 1 ,

et, en substituant ces coordonnées dans le premier membre de Tcqualion (89), ou, ce qui revient au même , dans la fraction

a on trouvera pour résultat

DoDC les asymptotes de Thyperbole (8g) seront représentées par la formule '

(94) •»• + àxy + iy* — 3» — 4y = — 1 . que Ton peut écrire comme il suit

Eo d'autres termes , ces asymptotes seront représentées Tune par Téquation

l'autre par l'équation

Les asymptotes étant construites, il suffira de diriser en parties égales les angles qu'elles forment entre elles, pour obtenir les deux axes principaux de rhypsrbole, et d'ailleurs ces axes seront représentés par la formule (76) , qui , dans le cas présent^ deviendra

Nous obsenrerons, en terminant ce paragraphe, que, si deux lignes du second degré sont représentées par deux équations en x ^ y, dans lesquelles se retrouvent les mêmes termes du second degré , ces deux lignes seront en même temps deux ellipses , deux "cercles, deux hyperboles ou deux paraboles, chacune des ellipses pouvant, ainsi que chacun des cercles , se réduire à un point ou disparaître , chacune des hyperboles pouvant se réduire à ses asymptotes, et chacune des paraboles à son axe ou à deux droites parallèles k cet axe. Dans ces divers cas, Tune des deux lignes offrira toujours un axe principal ou des axes principaux parallèles à un axe principal ou à des axes principaux de Tautre. D'ailleurs , étant donnée une équation quelconque du second degré entre trois coordonnées rectangulaires a? , / , r*-, si Ton coupe la surface que cette équation représente par des plans parallèles au plan des x ^ y t__ les lignes d'intersection seront évidemment représentées par des équations en x , y , dans lesquelles on retrouvera toujours les mêmes termes du second degré. Donc , puisque le plan des x , y est entièrement arbitraire , on peut affirmer que , deux sections étant faites dans une même surface du second degré par deux plans parallèles , l'une des sections offrira toujours un axe principal ou des axes principaux parallèles à un axe principal ou k des axes principaux de l'autre.

IIL*AHKiE. ' Il

$ a. Diteussion des surfaces du second degré.

Soient X , y, z les coordonnées d'un point rapportées à trois axes rectangulaires. L'équation la plus générale des surfaces du second degré sera de la forme

(i) Ax^+By* 4- Cz* + aDyz + 2Ezx + aFxy + aG« + liHy+alz = K ,

Aj B, C, D, E , F^ G , H s 1 0 K désignant des quantités constantes; et leé ' équations d'une droite menée par le point (S» n, () , de manière qu'elle fasse avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a, p , y renfermés entre les limités o , n , seront comprises dans la formule

COSot COS^ COS7

Admettons maintenant que le point ({,«}, C) coincide avec ie milieu d*ane conde de la surfeoe (1) , el le point («> ^» *) avec Tune des extrémités de cette corde. En désignant par tr la longueur de la corde» et posant» pour abréger,

/ s = i^cos*a4- J7cos*p4- ^«os I a = ^Ç> 4. B»« 4. CÇ* 4- 2Dt

s = i/^cos*a4- J7cos*B4- Coos»74- aDoos&oos74- 2*JScos7COsa 4- aFcosacosB ,

>îîÇ4. aEÇÇ 4- aFÇu 4. a GÇ 4- affu 4- 2>/Ç t

on établira sans peine, comme on l'a fait dans un précédent article [voyez la page 1 et SUIT.] , les deux équations

(5) (^Ç4-^'ï+J5Ç4-C)cos«4-(JPÇ+fin4-JDÇ4-J5r)cosp+(JE:|4.I)«4.ÇÇ4-/)c^^

La seconde de cet équations» si l'on j considère S» n» C comme TariaMeâ» repréaente^a ^e plan diamétral qui renfermera les milieux d'un système de cordes parallèle de if surface (1); et ce plan diamétral deviendra un plan principal, c'est^-dire, on plan qui sera perpendiculaire aux cordes parallèles, de manière à diviser la surface, (i) en deux parties symétriques , si l'équation (&) subsiste en même temps que les suivanlea

g% ^C08a+FC0Sp+JEc0S7 Fc05a+BC0Sp+DC087 EcOSa-t-JDcosp-f CCO87

Cosa "^ cosp COS7 "~

?/ cos*a4*co8»p+ <îOS*7= 1.

(85) D'ailloars on tire de la formule (6)

i{À — *)C0Sa4-^C09p4"JEC087 = 0 , Feosa + (B — s)co%p + Z)cos7 = o , Eeoffât'^Dcosp-f- ((? — x)coi7=:£0 , puis 9 en éliminant les angles a » p , y ,

(9) {J — i){B - s){C — 0 - D^{J—i) - £»(3- ^) -F«(0 — 0 + aD£F = o ; et . m i^crttu d<$ k même formule , réquatiDÈf (6) se i^iiit il

(10) «(Çcosa 4- «cosp 4" tco87) + Gcosa 4- Hco^p 4" /cosy = o .

Enfin Ton prouve aisément [voyez les pages 6 et suiv.] , u'* que les trois racines de Téquation (9) sont toujours réelles, 3.** que, dans le cas où ceiT racines sont inégales, les forihules (8) fournissent des valeurs correspondantes» réelles et déterminées, pour les quantités cosa ,^cos^ , cosy; S.* que » dans le ca^ où deux racines de IMquation (9) deviennent égales » les formiilei (8) fournissent dfi nom&re infibi' de sjTdtëmès àe valeurs de cosa, Gosp , co$7 Coffespondailts i ces nlémetf racitfesy satofr, tôûé céu^t qui vérifient Téquation (7) et la suivante

(if> JBFco»« + JW>cosp4*^JBccW7i:2:re.

Cela posé» il est clair que, pour chaque surface du .second degré, il existei^a toajoars au moins deux plans principaux. En effet, comme l'équation (10) représentera un plan déterminé , toutes les fois que les angles a , p , 7 auront des valeurs déterminée», et la quantité s une valeur différente de zéro, on peulafiirmer que la surface (1) offrira deux ou trois plans principaux, si deux ou trois racines deTéquation (9) sont inhales et différentes de zéro. Si la même équation a deux racines différentes de zéro , mais égales entre elles, la surface (1) offrira une infinité de plans principaux correspondants h ces racines et aux diverses valeurs de a ^ p , y qui vérifient les formules (7) et (il). Ettân t ai l'équation (9) admet une seule racine différente de zéro , avfeo deux raciies nllei, la première racine continuera de fournir un plan principal de- la anrCice (i); el, comme on vérifiera la formule (10) en posant à In fois

(la) #=0, (»*3 : Gco6«4"^^50ip4"^<^'7 = ^ •

les racines nulles correspondront elles-mêmes à un nombre infini de plana pi^iocipaux qui seront représentés par dea équatîona de la forme

(l4) ÇC08« •+• «COSp + CCOS7 = COD8t ,

les TBieuri de «» p» 7 ^tant détenninéei par les équations (7)» (11) et (iS). On peut, au reste, yérifier directement cette dernière assertion. En effet, si l'équation (9) a deox racines nulles» Téquation (1) se réduira simplement k la formule (io3) de la page- (si), c'est-à-dire, k

(i5) DEF{^^ + ^ + jry+%Gx + %Hy^2lz = K.

et représentera un cylindre dont les génératrices, étant parallèles ii la droite que déter* minent les deux équations

("®î ^ + i- + T = ''' ^'^^ Ca: + if7 + /^ = o.

formeront avec les axes coordonnés les angles « » p . 7 qui vérifient les formules (7) , (11) et (i3). Donc tout plan représenté par l'équation (i4) sera perpendiculaire ii ces génératrices , et divisera la surface en deux parties symétriques . en sorte qu'on pourra le considérer comme un plan principal. Si les équations (16) et (17) se réduisaient è une seule, le cylindre se transformerait en un système de deux plans parallèles, et Ton pourrait ranger parmi les plans principaux non-seulement un troisième plan qui diviserait la distance des deux premiers en parties égales . mais encore tous ceux qui leur seraient perpendiculaires.

On ne peut supposer que les trois racines de l'équation (9) s'évanouissent . è moins d'admettre que l'on a

c'est-k-dîre. à moins d'admettre que la formule (1) cesse d'être une équation du premier degré.

U est encore facile de s'assurer que , parmi les plans principaux relatifs è une surfoce du second degré, on peut toujours en trouver deux qui se coupent à angles droits. Bn effet, si deux ou trois racines de l'équation (9) sont inégales et diflFërent de xéro, les plans principaux correspondants k ces racines seront, d'apcès ce qui a été dit dans un autre article [pages 9 et 10]. perpendiculaires l'un k l'autre. Si la même équation a deux racines distinctes de xéro . mais égalea entre elles . il existera une infinité de plans principaux perpendiculaires aux diverses droites qui formeront avec les demi-axes des coor^ données positives des angles a . p . 7 propres à vérifier la formule (1 1) » et par con-

iéqueni ioos les plans perpendiculaires à celai qae représente Téquation (16) seront des plans principaux. Or ces mêmes plans » considérés deux à deux , se couperont encore à angles droits. Enfin » si Téquation (9) admet une seule racine différente de zéro avec deux racines nulles, le plan principal correspondant à la première racine et les plans principaux correspondants aux racines nulles deyront toujours être perpendiculaires entre edx » puisque les normales k ces mêmes plans seront des droites perpendiculaires entre elles [voyez la page 1 1].

n est maintenant facile de résoudre la question snivante.

1.* pROBLÂMB. Reehereher quelles iont les différentes espèces de surfaces du second degré.

Solution. Gomme nous avons prouvé que , pour chaque surface do second degré » il existe au moins deux plans principaux perpendiculaires l'un à rau|re, on pourra les prendre pour plans des y^ z et des x, z. Alors l'équation de la surface ne devra pas être altérée quand on 7 remplacera a? par — x et 7 par — /; par conséquent les termes qui renfermeront les premières puissances de x et de y devront s'évanouir. Donc toute surface du second degré peut être représentée par une équation de la forme

Gomme cette proposition sert de fondement à la solution du problême qu'il s'agissait de résoudre» il ne sera pas inutile d'en offrir ici une seconde démoniitration , qui exige mcHOS de calcul que la première.

Etant donnée une surface quelconque du second degré , on peut toujours choisir les plans rectangniaires des x^jr^ des x , z et des y % ^ • de manière que le plan des X t y coupe la surface » et que Taxe des x coïncide avec l'axe principal ou avec l'un des axes principaux de la section faite par ce mêm^ plan. D'ailleurs » si l'on suppose là surface du second degré représentée par l'équation (1) » la section faite par le plan des x, y sera une ligne du second degré , représentée elle-même par la formule

(«) Ax^ 4- By* + %Fxy + 2^05+ stHy = K ;

elt pour qne Taxe des x soit un axe principal de cette ligne » il faudra que l'équation (a) ne soit pas altérée quand on y remplacera x par — x ^ c'est-à-dire, que les termes du premier degré en x disparaissent » et que l'on ait en même temps F =: o « Cs=so. Donc une surface quelconque du second degré pourra être représentée en coordonnées rectangulaires par la formule

(6) Ax* -f By* 4. Cs* + 8 Dyt + tEzx + stBy+ ^lz=^K.

(86) Mais alors ^ la quanlilé F étant réduite à zéro, l'équatioa (9) deviendra

Or, pour s'assurer quo cKie dernière a sqs trois racines réelles, il sui&t de substituer dans le premier membre les valeurs suivantes do $

rangées par ordre de grandeur. En effet supposons , pour fixer les idées, A <B. Les valeurs dont il s'agit, élnnt substituées dans le premier membre de l'équation (c), fourniront les quatre résultats