iî — yi), +Z)*(iï

et, comme ces résultats seront alternativement positifs et négatifs » il est clair que l'équation {c) aura, dans l'hypothèse admise, trois racines réelles, la première inférieure à ^ , la seconde comprise entre A et B p la troisième supérieure à jB« Si roo supposait, au contraire, A> B ^ on établirait de la même manière l'existence de trois racines réelles qui seraient la première inférieure à j? , la seconde comprise entre ^ et 27 , la troisième supérieure II A. La réalité des trois racines de l'équation [c) étant ainsi démontrée , on remarquera que ces trois racines ne peuvent s'évanouir à la fois , h moins que Ton n'ait A=^o ^ B = o , C = o , Z) = o, frzro, c'est-à-dire, à moins que l'équation (6) ne cesse d'être du premier degn^. Donc l'équation (0) offirira toujours au moins une racine différcuto de zéro. Ajoutons quOj si l'on labstitue, dans l'équation (10) , des valeurs do cosa , cosp , COS7 correspondantes à ces racines et propres à vérifier les équations (8) , ou plutôt les suivantes

{d) {A -5)cosa+£cos7=o, (B- j)cosj5+Z)cos7 = o. , £cos«+Z)cosp+(C-j}cos/=:o,

Téqualion (10) représentera tocijours un plan principal de la surface (6). Donc, pour toute surface du second degré, il existe au moins un plan principal, c'est-à-dire, un plan qui divise la surface en deux parties symétriques. Concevons à présent que l'on prenne ce plan principal pour plan des x, z. L'équation de la surface ne devra pat être altérée quand on y remplacera jr par — j . Donc elle sera de la forme

D'ailleurs , le plan des y , z pouvant être choisi arbitrairement, pourvu qu'il soit perpendiculaire à celui des x , z , on pourra supposer qu'il renferme un axe principal

( 87 ) d'une section faite dans la aurfao^ar un plan qoèlconqoe parallèle au plan des ùd, z; et alors il est clair que les termes du premier degré en œ . devront disparaître dans la formule {e) , qui se réduira simplement à Téquation (i8). Donc Téquation (18) est propre à représenter une surface quelconque du second degré.

Observons maintenant que » dans l'équation (18) , on pourra toujours réduire à zéro le coefficient I , si la constante C n'est pas nulle » et la quantité K , si C étant nulle, / diffère de zéro. Cor» pour y parvenir, il suffira de remplacer» dans le

premier cas, z par s — -77- > ^^^ '^^^ '® second.casr ^ par 2-| — =- , c'est-

/ à-dire » de transporter Torigine sur Taxe des z au point qui a pour abscisse •— -77

00 — y. Gela posé» l'équation (1) prendra Tune des formes (19). Ax- + By' + Cz-=zK.

(ao) ^a5«+%«+a/« = o.

De pins , si Ton suppose les coefficients A , B , C 9 I ^ K différents de zéro , il suffira de faire » dans la formule (19)

et » dans la formule (so) ,

ta, t , e désignant des quantitéë positives]^» pour ramener ces formules aux deux suivantes

Or Féquation (ai) comprend huit autres équations /savoir » 1.* l'équation

(•5) ' îr + fr + 7- = »'

(88) qui reprîètfenie un oliipsoide doai les demi-axes sont a , b , e; <•* iei Iroii équatioM

dp» y» «■

flf* y» 1»

(•«) ' --7r + ir + 77-='.

dool chacune repré»en(e uo hyperboloïde k une nappe ; S.* lea trois équations

dont chacune représente un hyperboioide à deux nappes i 4** Téquition ,j . œ^ y* ^

qui ne représente rien , attendu qu'on ne peut 7 satisfaire par des valeurs réelles des coordonnéeé. Quant à la formule (as) , elle comprend les deux équations

dont la première représente un paraboloïde elliptique^ et la seconde un paraboloide hjpcrbolique. Si deux des constantes a , b , e devenaient égales entre elles» Tellipsoîde» l'byperboloide à uùe ou k deux nappes» et le paraboloïde elliptique pourraient se réduire è des surfaces de révolution. Si les trois constantes devenaient égales, TelUpsolde se changerait en une sphère.

( '89 ) Si Ton faiiait éranouir, dans l'é(}uation (19) oa (ao) , une on ptusieors des constantes A ,B ,C ,K , I , mais de manière que cette éqaation ne cessât pas d'être da second degré en a^ » /» s , on obtiendrait Tune des formules

(53) Ax* + By 4. Cz* = o ,

(34) 5j« + C«* = K, (35) Ax^ + Cz- = K. (36) Ax* + By — K,

(37) j»7* + Cz* = o, (38) /faî« + C«>=o. (39) Ax*'^By' = o ,

(4o) Ax^ = K, (40 5r = K, (42) C«* = K,

(46) Ax*'\-5lIz = 0s ' (47) J»7* + a/« = o;

Or Téquation (33) représente une surface conique du second degré» lorsque les trois constantes A , B 9 C ne sont pas des quantités de même signe » et Torigine des coordonnées dans le cas contraire. De plus , chacune des équations (34) » (35) , (36) représente un cylindre elliptique, lorsque les coefficients du premier membre sont des quantités affisctées du même signe que la constante K ; un cylindre hyperbolique , lorsque ces coefficients sont des quantités de signes différents; et ne représente rien, lorsqu'ils sont affectés du même signe que la quantité — K* Chacune des équations (37), (38), (39) représente l'un des axes coordonnés ou deux plans qui renferment cet axe , suivant que les coefficients du premier membre sont de mêmes signes ou de signes différents. Chacune des équations (4o) , (40 » (4^) représente deux plans parallèles à l'un des plai^ coordonnés, ou ne représente rien, suivant que le coefficient du premier membre est ou n'est pas affecté du même signe que la constante K. Chacune des équations (43), (44)» (45) représente un seul des plans coordonnés. Enfin les équations (46) , (47) représentent des cylindres hyperboliques. Ajoutons que le cône et les cylindres elliptiques se transforment en cône et cylindres droits à bases circulaires , lorsque , dans les équations (33) , (34) , (35) , (36) , deux des coefficients A , B , C deviennent égaux entre eux.

Eu résumé , une surface du second degré ne peut être qu'un ellipsoïde , un hyperboloîde à une ou deux nappes , un paraboloide elliptique ou hyperbolique , un cône , un cylindre elliptique hyperbolique ou parabolique, enfin un système de deux plans qui se coupent , ou de deux plans parallèles. De plus , dans la discussion des surfaces que représentent des équations du second degré, il faut observer i.^que le cône peut se réduire à un point, le système de deux plans qui se coupent à une droite, et le système de deux plans parallèles à un seul plan; a.* que Tellipsoïde, Fhyperboloîde à une ou III.» ANNÉE. la

(90) h deux nappes» le partiboloîde elliptique efc le cyHodre elliptique peuvcol derenir ie» surfaces de révolulioa; 3«* que l'ellipsoïde peul m réduire à uue sphère; 4** que TelUp-^ solde, le cylindre elliptique et les deux plans paraltèfos peuYent derenir imaginaires et disparaître.

Parmi le^ surfaces que nous venons d*énumérer , Tellipsolde , l'hyperboloïde à une ou à deux nappea, et la surface conique, en supposant qo^on ne les réduise pas à des surfaces de révolution , sont les seules qui offrent un système unique de trois plans principaux et reetangniaires entre eux. Si Ton joint à ces surfaces rellipsoîde et Thyperboloïde de révolution» la sphère» et le cône droit à base circulaire» on aura toutes celles qui offrent un centre unique » et en même temps toutes celles dans lesquelles il existe au moins trois plans principaux rectangulaires entre eux» sans que jamais deux plans principaux puissent devenir parallèles l'un à l'autre. Le paraboloïde elliptique » quand il ne sera pas de révolution , et le paraboloïde hyperbolique seront les seules qui offriront simplement deux plans principaux» et n'auront pas de centre. Le paraboloïde de révolution offrira une infinité de plans principaux passants par un même axe. Le cylindre elliptique» quand il ne sera pas de révolution» le cylindre hyperbolique» et le système de deux plans parallèles offriront une infinité de centres situés sur un même axe» avec une infinité de systèmes de trois plans principaux et perpendiculaires l'un à l'autre » chacun de ces derniers systèmes étant composé de deux plans déterminés et passants par l'axe, et d*un plan quelconque perpendiculaire à Taxe. Le cylindre droit à base circulaire offrira encore une infinité de centres situés sur un axe » avec une infinité de systèmes de trois plans perpendiculaires Tun à l'autre ^ et assujettis à la seule condition que deux d*enlre eux passent par l'axe» le troisième étant perpendiculaire à Taxe. Le cylindre parabolique offrira une infinité de plans principaux perpendiculaires aux génératrices avec un seul plan principal passant par l'une de ces mêmes génératrices. Enfin le système de deux plans parallèles offrira pour plans principaux, non -seulement un troisième plan pa-^ rallèlcj qui divisera la distance des deux premiers en parties égales» et qui pourra être considéré comme le lieu des centres » mais encore tous les plans perpendiculaires aux deux premiers.

Dans le cas où la surface (i) a un centre unique» les coordonnées Ç, u , ç de ce * centre sont déterminées [voyez la page 4] par les équations

(48) ^i + Fn + Eri + G = Oy F^ + Br, + D^+U = o , £S4-D>î4-C;+i=o,

desquelles on lire

(BC-D*)G^DE-CF)B^(FD-BE)t ^~ JBC-JD^-BE^-CF^'^2D3F l*

' (DE-CF)G+{CJ''E')H+iEF^AD)I **"" ABC-AD^-BÊ^'CF^-^^DE^F '

{FD-SE)G + {EF'ÀD)H+(JB'F^)I ^~ JBC-JD»-£E^''CF^''2DEF

Alorft la ^lUUdUfé

(5o) A = ^fi^ — ^D^ — D^* — rF* + a/)^ir

diffSre kiécessaifement d6 tévo. Réciproquement, lorsque cette quantité difli^re de Eéro / les valeurs de i , yi , K tirées des formules (49) sont finies et déterminées » et» en substituant ces valeurs dans la formule (3) , on obtient les équations d'une droite qui ne peut rencontrer la surface (1) sans avoir avec elle deux points communs situés à égales dbtancesdu point (S« »» ()• Donc alors toute droite menée par le point (S, «i» C) est un diamètre , et ce point un centre unique de ^ aur&ce. On arriverait à la même conclusion» en observant que la quantité — ^ est précisément le dernier terme da premier membre de Féquation (9) » dans cette équation développée et mise sous la forme

(5i) «' — (.< + jff+C*)#> + (5<7 + C^4-^5 — Z)* — £:• — F*)* — A = o,

Donc /si A diffère de zéro , Téquation (g) n'aura pas de racines nulles. Donc alors à chaque direction principale correspondra un seul plan principal représenté par la formule (10); et» comme il existe toujours au moins trois directions principales respectivement perpendiculaires Tune à Taulre [voyez la page i3] , la surface (1) offrira nécessairement au moioft un système -de troia plans pÔQcipaux q^i ae MtipciroBt à angles droits» mais elle n'offrira point de plans principajjx parallèles. Donc cette surface sera du nonir bre de celles que nous avons signalées cAïime ayant un centre unique. De plus , si Ton désigne par k la valeur de u correspondante aux valeurs de S » >i , C que déterminent les formules (48) , on trouvera

(5a) i:==y^5«+B>î»+Cç»+aI)nÇ+a£«+!)i^*î+aGÇ+air*î+a/ç = eç+H>j+/ç,

ou , ce qui revient au même , n^. ^ {D*^C)G-^E^^CJ)B*HF*'jiB)I*'2{EP'JD)HIMfD'BE)IG'2iDE'CF)GB^

( 9« ) et, si le diamètre représenté par Téqualion (s) rencontre la surface (i) » la longueur interceptée par cette surface sur le même diamètre sera égale au double de la longueur r déterminée par Téqualion

(.4, ,-(ii).

que Ton déduit de la formule (4) en prenant u = A •

Concevons à présent que» dans la formule (54) » on substitue successiTement pour $ les trois racines de Téquation (g). Les valeurs correspondantes de r seront toutes trois réelles , ou Tune imaginaire et les deux autres réelles, ou l'une réelle et les deux autres imaginaires, suivant que la surface (i) sera rencontrée par ses trois axes principaux » ou par deux de ces axes» ou par un seul d'entre eux» c'est-à-dire, en d'autres termes, suivant que la surface (i) sera un ellipsoïde » ou un hyperboloîde à une nappe, on un hyperboloîde à deux nappes. Donc» si l'on fait pour abréger

(55) iî = ,.=.iL±,

les. trois ▼aleun de R, déterminJcH par les formates (5i) et (55), od, en d'autres termes , les trois raomes de l'ëquation

seront positives dans la première hypothèse. Donc cette équation (en vertu de la règle de Descartes ^) ofiirira trois variations de signe, et les trois produits

i(/C-A)(^ + 5 + C), (i:-Ar)(^ + iB + C)(iBC + C^+^iB — /)• — £• — F«), (/C — A)(^(7+C^ + ^iï — Z)« — jE*~F*)a

seront positifs. Au contraire » dans la seconde hypothèse , deux valeurs de B étant positives et la troisième négative» l'équation (56) offrira deux variations et une permanence désigne; par conséquent deux des produits (57) seront positifs, et le troisième négatif. Enfin » dans la dernière hypothèse » deux valeurs de R étant négatives et la troisième positive, un seul des produits (57) sera positif, et les deux autres seront négatib. Si

* Cette application de la règle de Descartev à la diacotiioD des rarfacet du second degré a été doni^ée pour la première (bis par M. Petit [▼. le tome 1 de la Correspondance 9ur l'Ecole Polytechniqac, publiée par M. Hackette].