DEF^^{B^C)(E^F)=P, {B'^C)EF^D{E'-F) = Q

et ayant égard k la formule

* Ponr obiesir féqoaUon (3^ , il Mfit de comUner entre elles , par Toie de moltipHcalioD , les deux formulet iint^aiiei

on trouvera âéCnitivement

(4o) ( 5' = P— v^pî+ç^<o, ^ = P4-yp.4^'. >o;*

. -■ . ..^^~^ao<^.-. ;(: - :\

Doncj si, dans le premier membre de Vétfmtàm (H€|) «iPiit'^llrîl^.MicocIMiTemeQl à la yariable s les quatre yaleurs — oo » 8\ «' > «' et -)-oo , on obtiendra quatre résultats alternatiTemeat positifs et négitifs. Jl«^6it permiâ 4'e» GOdclure que TéquaitîoQ (26) aura toujours trois racines réelles, la preiùière inférieure à la limite s^ , la seconde comprise entre s' et $',» lalroiiièiMMpélriéareiitjiriliiiiiicli' «'^«i f^Bimie cas parti* culier que nous avons d'abord considéré, les quantités P, Q / et par suite S', S" s'évanouissent en même temps que les quantités E ^ F; ainsi qu'on devait s'y attendre , puisque s\ s' sont alors deux racines de l'équation (26). Ajoutons que la conclusion générale à laquelle nous sommes parvenitt «ubftsteraft e^côr6~,' li -l^*iléstgnmC par s' , ê" 9 non plus 1(^ ruines de l'équation (28), mais les valeurs réelles de s qui vérifient l'une des deux équations . ' • ' - : - . .« .

(42) .(.|^«)(fi— «)u-f = o; '

c'est-à-dire , en d'autres termes , si l'on prenait

„„ .-=^^j(£zi)V^.j. ..=^ + /{(±£)+..].

OU bien ■.-.';-. » '

Gela posé, admettons q^e Ton ait oalaùl^. Iqs tro^valeura dç $'• et les trois valeurs de s^' fournies par les équations (S5) , (43) et'(44'j* On sera en droit d'affirmer que des trois racines réelles de l'équation (26} lajpremière est inférieure ji la plus petite dés valeurs de s\ la seconde supérieure à la plus grande des valeurs de' a' , mais inférieure à la plu« petite des valeurs de ê' , et là troisième -supéricfure .à la pi^a pàhde des valeurs de s^ ^ ........ .

Concevons maintéiieTil que l'on désigne par -' ^

(45) s,, ^. , Si (

(9) le$ troil» racioes réelles de réquatîon (s6) , et par

(46) «i > pi f V» » «« * P» i 7» î «s > pi , 73 >

les faleurflL oorrespondantea dea angles a, p, 7, tirées des formules (aS) et (ag). Cimeoue des équations (a5) sera vérifiée lorsqu'on attriBnera aux variables s, a, p, 7 , un quelconque des trois systèmes de valeurs dont il s'agit. Par e<mséquent la première de ces équations donnera

(^ — «,)CO8cer4-'*<^<>8pi+£C087i = 0 ,

{A — «,)co8a. -f- Fcosp, 4" Eooèyt =» o ;

puis, l'on en conclura , en éliminant la quantité A »

(47) (*t — *x) COSa. C0Saft-|-^(C0SPi COSa, — C08aiC08Ps)4"'E(cOS7i CO8a,^e08ai COS7,) s=: 0 .

En rwonnant dci même, on tirera de la seconde des équations (aS)

(48) (*.—*,) cospt cosp, +^(^o*7i <^Pi— cosp, co87t)+i''(co8ai cosp, — cosPx COSa.) =0 , et de la troisième

(40) (*« — *«)c<>»7«^>7»+^(C0Sa,C0S7a — C0S7iC08a,)+D(0OSp,C0S7,— COS7,C08p,) = 0.

Enfin , si Ton ajoute , membre à membre , les formules (47) » (48) » (49) » on trouvera

(«, — #,) (cosa, CCS a, + cosp, cosp, + C0S7gC0S7») = o ;

et par suite

(50) . C0SaiCOSa9+CO8PiC0Sp«-f"C0S7iC0S7»s=:O^

pourvu que les racines #, , «, ne deviennent point égales entre elles. On trouvera de même , en supposant inégales les racines «, » «3 »

(51) COS«,COSa3-4-COSp,C09p3-|-<^OS7xOOS73 = 0 y

et , en supposant inégales les racines s, , «3 »

DEF^^{B^C)(E*^F*)=P, {B'^C)EF^D{E*'-F*) = Q

DEF^^{B^C)(E^F)=P, {B'^C)EF^D{E'-F) = Q