IM
K — k diffère de zéro. Alors la surface (i) se trouvera trtûsibrinée eo me autre que nous nommerons surface auxiliaire, et qui, offrant un centre unique» ne pourra être qu'un ellipsoïde rééi ou imaginaire, un byperboloïde à une nappe, ou un hyperboloîde à deux nappes. Or il est clair i .* que la valeur de z en x et jr, fournie par l'équation de la surface auxiliaire, aura pour limite la valeur de z fournie par Téqualion (i); s.* que les -trois valeurs de s relatives aux axes principaux de la surface auxiliaire auront pour limites Fes trois racines de Téquation (5i)^ et qu'en consëqueûce une ou deux de ces valeurs seront infiniment petites suivant que l'équation (5i) offrira une ou deux racines nulles, tandis que les deux autres valeurs ou du moins là deriûère se réduiront sensiblement aux deux racines de l'équation
ou à la racine unique de la suivante
3.* que les longueurs interceptées par la surface auxiliaire sur ses axes principaux, et correspondantes à des valeurs finies de s y auront pour limiles les valeurs réelles et finies de ay/lT, auxquelles on parviendra en combinant la formule (54) avec Téquation (97) ou (98); c'est-à-dire, en d'autres termes, que les axes réels de la surûica auxiliaire qui correspondront à des valeurs finies de s , auront pour limites les valeurs réelles de 2\/7 déterminées par la formule
(99) (BC+C^+^B— D«— £» — f')«' — U + fi + C)(K— A:)/l + (i£ — A)» = o,
ou par la suivante
Donc, si la surface (1) offre une infinité de centres situés sur un même axe ou snr un même plan , les valeurs réelles et positives de 2 {/r* tirées de l'équation (99) ou (100) exprimeront précisément les axes réels ou l'axe réel de la section faite dans la surface (1) devenue cylindrique par un plan perpendiculaire à la ligne des centres , ou la distance des plans parallèles dont le système sera représenté par l'équation ("i). Remarquons d'ailleurs que l'équation (99) admettra deux racines positives, ou en aura une seule # ou n'en aura aucune, suivant que les premières des deux expressions (57) seront toutes les deux positives, ou l'une positive, l'autre négative, ou toutes les deux négatives ^ et qu'en conséquence, si la surface (1) est cylindrique, la section faite par un planperpen* diculaire à la ligne des centres se réduira ou non à une hyperbole, suivant que le produit de ces expressions , qui pourra être remplacé par le polynôme .
( io3 )
(loi) BC-^CA + AB-^D'-^E' — F',
sera lui-même positif ou négatif. Observons enfin que, si la quantité a étant nulle, la surface (i) reste dépourvue .de centres» cette surface ne pourra être qu'un parabo-iolde dont l'axe principal correspondra toujours à la racine nulle de Téquation (5i), et qu'elle sera en effet un paraboloîde hyperbolique ou elliptique , suivant que la section faite dans la surface auxiliaire par le plan principal perpendiculaire à Taxe du parabo-* loïde sera ou ne sera pas une hyperbole , c'est-à-dire , en d'autres termes , suivant que les deux racines de Téquation (97) seront dé signes contraires ou de même signe. Gela posé, l'équation (1) représentera évidemment un paraboloîde elliptique, si l'équation (5i) offre une seule racine nulle correspondante à des valeurs de a , ^ , 7 qui ne vérifient pas la formule (i3), et, si en même temps le dernier terme de l'équation (97) ou le polynôme (101) est positif; un paraboloîde hyperbolique, si l'équation (5i) offre une racine nulle correspondante à des valeurs de a , ^ , 7 qui ne vérifient pas la formule (i3), et, si en même temps le polynôme (101) est négatif; un cylindre elliptique , ou hyperbolique, ou imaginaire, si l'équation (5i) offre une seule racine nulle correspondante à des valeurs de «» P» 7 qui vérifient la formule (i3), savoir, un cylindre elliptique, si les deux premiers des produits (£7) sont positifs, un cylindre hyperbolique, s'ils sont l'un positif, l'autre négatif, et un cylindre imaginaire, s'ils sont tous deux négatifs; un cylindre parabolique, si l'équation (5i) offre deux racines nulles correspondantes à des valeurs de a , ^ , 7 qui ne vérifient pas constamment la formule (i3); enfin deux plans parallèles, si l'équation (5i) offre deux racines nulles correspondantes à une infinité de systèmes do valeurs de a , |3 , 7 qui tous vérifient la formule (i3). Ajoutons 1.* que le cylindre elliptique se transformerait en un cylindre à base circulaire, si , dans l'équation (5i) , les deux racines différentes de zéro devenaient égales entre elles; 2.* que le cylindre elliptique ou hyperbolique se trouvera réduit à une droite ou au système de deux plans non parallèles , si la valeur de k déterminée par la formule (87) vérifie la seconde des équations (73) , savoir, à une droite, si le polynôme (101) est positif, et au système de deux plans parallèles, si le même polynôme est négatif; 3.^ que les deux plans parallèles se réduiront à un seul , si la valeur de k déterminée par la formule (92) devient égale à K , et disparaîtront si la valeur de B déterminée par la formule (100) devient négative, c'est-à-dire , si le premier des produits (57) est négatif.
Les règles que nous venons de tracer, jointes à celles qae nous avons données cidessus pour la distinction des surfaces qui ont un centre unique , suffisent évidemment pour compléter la solution de la question suivante.
s.* Problème. Etant donnée une équation du second degré entre trois coordonnées rectangulaires x , y^ z , déterminer C espèce de la surface représentée par cette équa* tion.
( io4 )
Lorsque la surface (i) esl un hyperboloïde à une ou à deux nappes, et que Ton suppose dans la formule (2) les coordonnées Ç , 19 , ( déterminées par les formules (48)* alors, pour rendre la formule (2) propre à représenter une asymptote menée k cette surface par le point (S, >i» 0 « î' ^^^ ^^ choisir les angles ql, p , y de manière que la distance r déterminée par la formule (54) devienne infinie, et par conséquent de manière à vérifier l'équation
Cioa) « = o,
ou
(io3) -icos»a4-*cos»p+Ccos»7+aDco8pcos74-a£coS7COSa+aFcosacosp = o,
Donc toutes les asymptotes menées à la surface (1) par son centre seront comprises dans la surface conique du second degré représentée par Téquation
( io4) ^(^-S)' +fi(r-'ï)'+ C(f-c)* + 2Z)(r-ii) (*-ç) 4- a£(*-ç) (*-?) + af («-ç)(y-«) =0,
que produit l'élimination des angles a , p , 7 entre les formules (s) et (io3). Le cône terminé par cette nouvelle surface est ce qu'on peut appeler le cône (urympiotique de l'hyperboloïde proposé. Remarquons d'ailleurs qu'en vertu des formules (48) et (5s) l'équation (io4) pourra être réduite à
(io5) i^a?*4-JB7» + C2"4-aZ)j«4-a£«a? + ajFa?74-aCa: + alïy+a/«=:*.
Lorsque la surface (1) se transforme en une surface conique , on a k = K , et la formule (io5) se réduit, comme on devait s'y allendre, à l'équation (i).
Lorsque l'hyperboloïde représenté par l'équation (1) a pour centre l'origine même des coordonnées , cette équation derient
(106) /4x* + 57*4-C«*+ ^Djz + 2Ezx + 2Fxy = K, ( t l'équation du cône asymptotique se réduit nécessairement à
(107) Ax* -f Bj* + Cz* 4- 2Dyz + ^Ezx+2Fxy=io .
S'il arrive, au contraire, que l'hyperboloïde n'ait pas l'origine pour centre, l'équation (107) représentera non plus le cône asymptotique, mais un cône semblable qui aura pour centre l'origine et pour génératrices des droites parallèles aux génératrices du cône asymptotique.
J^orsque l'équation (1) cesse de représenter un hyperboloïde, la surface (107) peut
( io5 )
se transformer en un système de deux plans non parallèles , ou même se réduire à un seul plan » ou à une seule droite , ou à un seul point. Il est d'ailleurs facile de reconnaître quelles sont les diverses formes de la surface (107) qui correspondent k des formes déterminées de la surface (1). En effet, comme dans les équations de ces deux surfaces les termes du second degré offrent les mêmes coefficients, la formule (5i) ne variera pas quand on passera d'une surface h l'autre. Gela posé , on déduira facilement des remarques que nous avons faites sur la formule (5i) les conclusions suivantes.
Si l'équation (5i) offre trois racines égales ou inégales, mais de même signe er différentes de xéro, l'équation (1) représentera un ellipsoïde réel ou imaginaire qui pourra se réduire à une sphère ou à un point, et en même temps l'équation (107) représentera un point unique. Si l'équation (5i) offre trois racines différentes de zéro, et qui ne soient pas toutes de même signe, la surface (1) sera un hyperboloïde à une ou à deux nappes, qui pourra se réduire à un cône , et en même temps l'équation (107) représentera une surface conique. Si l'équation (5i) offre une racine nulle et deux autres racines différentes de zéro, mais affectées du môme signe, la surface (1) sera un paraboloîde elliptique, ou un cylindre elliptique qui pourra se réduire à son axe, ou devenir imaginaire, et en même temps l'équation (107) représentera une droite. Si l'équation (5i) offre une racine nulle, avec deux autres racines différentes de zéro, mais affectées de signes contraires, la surface (1) sera un paraboloîde hyperbolique, ou un cylindre hyperbolique qui pourra se réduire au système de deux plans non parallèles , et l'équation (107) représentera un semblable système. Enfin, si l'équation (5i) offre deux racines nulles, la surface (1) sera un cylindre parabolique ou un système de deux plans parallèles qui pourront se réduire à un seul ou devenir imaginaires, et l'équation (107) représentera un plan unique. Donc , en résumé , les diverses surfaces qui pourront être représentées par l'équation (107) se réduiront à un point, si l'équation (1) représente un ellipsoïde; à une surface conique , si l'équation (1] représente un hyperboloïde ou un cône.; k une drçite, si la surface (1) est un paraboloîde elliptique ou. un cylindre elliptique; au système de deux plans non parallèles, si l'équation (i) représente un paraboloîde hyperbolique ou un cylindre hyperbolique; enfin à un seul plan, si l'équation (1) représente un cylindre parabolique ou un système de deux plans parallèles. Il est d'ailleurs essentiel de se rappeler i.* que l'ellipsoïde peut se réduire à une sphère ou k un point , le cylindre elliptique k une droite , le cylindre* hyperbolique k deux plans non parallèles, et le système de deux plans parallèles k un seul; s.* que l'ellipsoïde peut devenir imaginaire, ainsi que le cylindre elliptique et le système de deux plans parallèles. Quant k la distinction des diverses formes que peut offrir la surface (107) , on peut l'effectaer irèi-simplement en résolvant l'équation (107) par rapport k Tune des variables « , y, z. Ajoutons que, pour distinguer les unes des autres les diverses surfaces que pef^ représenter l'équation (1), pour une forme donnée de la surface (107)9 il suffira le plus souvent ide rechercher s'il existe des points qui puissent être considérés comme III.*AHRis. 14
( io6 )
centres do la surface (i), et si ces points sont situés sur la surface. On y parviendra sans peine à Taide dos formules (48) et ('io&)« Ainsi « on particulier , quand la surface (i) offrira un ou plusieurs centres , les coordonnées de^es mêmes centres seront les valeurs de ( , 1} , 2; que détermineront les formules (48),, ou» ce qui revient au mfime , les valeurs des variables œ, y^ z que fourniront les dérivées de Téquation (i) prises successivement par rapport aux trois variables dont il s'agit , savoir,
(108) Ax-hF;y'^Ez+G = o, Fx + By+Dz + H = 0 , Ex+ Dy-^Cz + l = 0.
De plus, si Ton substitue ces valeurs de x , y^ z dans le premier membre de la formule (i), on obtiendra précisément la quantité désignée dans l'équation (io5) par la lettre k. Cela posé» il est clair que, pour distinguer le parabololdo elliptique du cylindre elliptique, le paraboloïdc hyperbolique du cylindre hyperbolique , et le cylindre parabolique du système de deux plans parallèles» il suffira d'examiner si l'on peut salisiairc ou non aux équations (108) par des valeurs finies de x, y, z. Remarquons en outre que l'ellipsoïde se réduira simplement à un point, l'hyperboloïdc à un cône, le cylindre elliptique à son axe, et le système do deux plans parallèles h un seul plan» si les deux quantités A et i!^ sont égales entre elles.
Lorsque , pour déterminer l'espèce de la surface du sece^d degré que représente une équation donnée, on a i^ecouru aux formules que nous venons d'indiquer, c'est*à-dire, aux formules (loo) et (108) , il ne peut rester h vaincre d'autre difficulté que celle qui consiste h distinguer l'ellipsoïde réel de l'ellipsoïde imaginaire, ou le cylindre elliptique réel du cylindre imaginaire , ou le système de deux plans parallèles et réels du système de deux plans imaginaires , ou enfin lliyperboloïdo à une nappe de l'hyperboloide à deux nappes. Or, pour effectuer celte distinction, on conMnencera par observer que, dans le cas oii l'équation (i) représente une des surfaces dont il est ici question, il existe un ou plusieurs points dont les coordonnées vérifient les formules (108) , et que, si l'on transporte l'origine en un quelconque de ces points^ l'équation (1) se trouvera remplacée par la suivante
(109) Ax* + By* +. Cz* 4- ^Dyz + ^Ezx + ^Fxy = j: — *.
Cela posé , concevons d'abord que Téquation (1) représente un ellipsoïde, ou un cylindre, ou un système de plans parallèles. Alors la section faite dans la surface (1) par cfa«cuR dos plans coordonnés ne pouvant être qu'une eUipsc réelle ou imaginaire , ou un syvtème de droites parallèles , les coefficients A 9 B ^ C seront des quantité^ de même signe ; et la surface (t) sera réelle ou imaginaire, suivant que les signes de ces quantités seront ou ne seront pas semblabies au signe de la différence A -— ft. Si l'équation (1) reptésentait un hyperboloide , «lors, pot^r décidier si cet hyperboloîde offre deux nappts dis*
tincles ou une seule nappe ^ il sullirait de caiculqr 1a quanlilé ci-dessus désignée par a , et d'qcaçDÎner 91 celte quantité est ou n'est pas de môme signe que la différence K — k. Ou pourrait f^pssi résoudre celte question à Toide d'une aiitre mélbodks que iinus indiquerons tout à l'heure. ' . .
Lorsque les quantités k ^ K diil%renl l'une de l'autre, et que la surface (1) se réduit à un cylindre elli[^ii6 ou hyperbolique , ou au système de deux plans parallèles, r^équalion (io4] ou (io5)» représente évidemment l'axe diè cylindre elliptique, ou ce qu'on peut nommer les plans asymptoliques du cylindre hyperbolique » ou enfin le plan mené à égale distance des deux plans parallèles. Si la surface (1) était un ellipsoïde, Téqualion (io4) ou (io5) représenterait un seul point, savoir, le centre même de l'ellipsoïde.
Observons encore que l'équation (g) , qui fournit les valeurs de s correspondantes aux axes principaux de la surface (1) , est précisément celle qui résulte de l'élimination des variables x , ^ , z entre les formules
(110) Ax + Fy + Ez = 8Ty Fx + By + Dz:=^sjr , J?»-l-I)^ + ^« = 5« ,
et par conséquent celle qui a pour racines les maxima et minima de la fonction
Ax^-^By*-{'Cz^ + ^Dyz^2Etx+^Fay • ■
En effet , si Ton pose
Jx^^By^^Cz^'\-'iDyZ'h'7.EzX'\-iiFxy s = ,
OU , ce qui revient au même ,
(i la) j4x\+By^ + Cz^+ zDyz + 2Ezx+2Fxy = s{x' + J' + «') 9
il suffira de différencier successivement la formule (112) par rapport h x, y, z , puis d'égaler à zéro , dans les nouvelles formules ainsi obtenues, les dérivées de s prîtes par rapport à x, j, 2;, pour retrouver les équalions (iio). Il est essentiel d'ajouter que , la valeur de a étant choisie de manière que les équalions (ito) s'accordent entre elles » ces équalions , réduites h deux , représenteront une droite menée p«r l'origine et dont la direction coïncidera toujours avec une direction principale relative à la surface (i). Si, pour cette même valeur de s , les trois équations (110) se réduisaient à une seule, la surface (1) serait de révolution. Elle deviendrait une sphère, ^ le4 éqtiations (110) étaient vérifiées par une seule valeur de s , indépendamment des valeurs attribuées aux variables x^ y, z.
( io8 ) Lorsque la surface (i) a uo centre, et que l'on a transporlé l'origine à ce même centre» l'équation (i) se trouve remplacée par l.a formule (109) , et les axes principaux coïncident avec les droites qui peuvent être représentées par les équations (iio)« ou plus simplement par la formule
Donc , avant le déplacement de l'origine » les axes dont il s'agit devaient être représentés par la formule
, ,, ^(*-Ç)+F(jr->i)+E(^Ç) F{x^ii)^B{y"n)-¥D{z^^) £(^-£)-l-P(y-n)fC(f-!;)
ç , >i , C désignant les coordonnées du centre, ou , ce qui revient au même, par la formule , .^ ^dp+F^+E«+C; Fx-^By-i-Dz-i-H Ex+nyi-Cz-^I
("') TT^ = —, = Tç •
Remarquons d'ailleurs i.* que, pour obtenir la formule (11 3) ou (11 5), il suffit d'ex- 'primer que les dérivées du premier membre de l'équation (109) ou de l'équation (1) sont proportionnelles aux variables x, y, z ou aux différences x — i , 7 -* « » z — C ; s.* que l'on tire de la formule (1 14) ou (> i5)» combinée avec les formules (48) et (59) ,
Jx^Ey-^Fz-^G Fx-hBy-^Dz'^H Ex-^Dy-^Cz-^I JJC-GS-JJn-ZS
r 'désignant la distance qui sépare la surface (1) du point où cette surface rencontre l'un des axes principaux.
On déduirait aisément des formules (2) et (5) l'équation du plan tangent mené à une surface du second degré par un point quelconque de cette surface. En effet, soient i , « , ( les coordonnées du point dont il s'agit. Pour que la droite (9) se réduise k une tangente menée par le même point , il suffira que la corde mesurée sur cette droite s'évanouisse, et que le milieu de cette corde coïncide avec le point (£,«}»()• En d'autres termes , il suffira de choisir les angles a , ^ , y de manière que l'équation (5) soit vérifiée. Donc, si entre celte équation et la formule (9) on élimine «., P» 7» Féqualion résultante , qui se réduira simplement à
{117) (-^Ç+f'i+£Ç+G)(a?-Ç)+(*'Ç+B'ï+Z^Ç+JÏ)(y-*j) + (£5+I>«+Cç+7)(«-Ç)=o,
el qui sera du premier degré en x , y^ z , représeniera un plan qui renfermera toute» les tangentes menées par le point ((•«},(;) à la surface (1) , c'est-à-dire, le plan tangent *• De plus , comme les coordonnées ( , 9 # C vérifieront évidemment la formule
(118) ^Ç*+.J8n*4-Cç» + aDnC4-aBÇÇ4-a^«'ï + aGÇ4-a£ru + a/ç = lC,
aéqualion du plan tangent pourra encore s'écrire comme il suit :
l =i — GÇ — Jï>ï — /ç.
Lorsqu'on remplace la surface (1) par la surface (106), l'équation du plan tangent se réduit &
(«ao) (Jl + F^ + Ei)x+{Fi + Byi + Di)y + {Eli + Dn + CK)zz=K.
Concevons enoore que Ton se propose de trouver les cas dans lesquels la surface (i)< peut être engendrée par une droite , et les équations de la génératrice. Pour 7 parvenir, on prendra sur celte surface un point quelconque dont on désignera les coordonnées par S » «I » ( » et Ton cherchera les valeurs qu'il faut attribuer aux angles a , p, y. pour que la droite passant par le point ($»«»()• et représentée par la formule (2) ,. mi située toute entière sur la surface. Or, pour que cette dernière condition se trouve remplie, il sera nécessaire que les valeurs de x ^ y^ z tirées de la formule (94) « satisfassent, quelle que soit la distance r, à l'équation (1) , c'est-à-dire, en d'autres termes^ que lès valeurs de cosa , cos^ , cos7 vérifient à la fois les deux formules
^cos*a-|-JBcos*p4"Ccos*7+aDcospcos74-a^cos7Cosa+ajPcosacosp = o, (^Ç4-F.ï4-£C+G)cosa+(PÇ+B*ï+Z)Ç+H)cosp+(£Ç.fI),,+Ct4./)cos7=
Donc il existera une droite passant par le point (S, >}> () , et située toute entière sur la surface (;i), si l'on peut des formules (lai) tirer des valeurs réelles des rapports
* Cette DMiiière de panreoir à TéquatioD du plan tangent noni a été indiquée par un jenne ecclésiaa tîqne ^galemeot vené dans lea sciences divines et dans les sciences humaines, el membre de celte illvftre société' q«i , dans les deux hémisphères , a rends tant de ser? ices à U-ciiilisation.
( >lp.)
COSa C08§
