COS7 * COS

altendu qu'alors les mâmcs formules, combinées avec réquation (7), foornironi des valeurs réelles des quantités

cosse y COS^y COS7.

Ajoutons qu'il suffira d'éliminer ces trois quantités entre les formules (a) et (lai), pour obtenir les équations de la génératrice de la surface (1). Donc cette génératrice sera représentée par les formules

(laa) \

c'est-à-dire , qu'elle sera précisément une des droites suivant lesquelles le plao tangent , mené h la surface (1) par le point (Ç, 1 , 2;) • rencontre le cône dont le sommet coïncide avec le même point, et dont les génératrices sont parallèles à celles du cône asymptotique.

Lorsque la surface (1) est un ellipsoïde réel ou imaginaire^ ou un paraboloïde elliptique; le cône représenté par la première des équations (las) se réduit, ainsi que la surface (107) , b un point unique, ou h une droite qui, étant parallèle h Taxe du paraboloïde, rencontre ce paraboloïde en un seul point. Donc alors la surface (1) ne peut «îlre fngcndrée par une droite. Au contraire , si Ton considère un hyperboloïde h une nappe, par exempte, Thyperboloïde représenté par Féquation (24) » l<« formules (laa) deviendront

(Ud) ___— +— p— — -^. —__ + _______,

et , comme on aura d'ailleurs

on en conclura

ou , ce qui revient an même , .

et par suite

^ '' ^ ah c

Ajoutons que la seconde des équations (ts3) peut être réduite à

Donc , par un point quelconque de Thyperboloide h une nappe on peut faire passer deux droites qui soient situées sur cet hyperboloîde , sàyoir, les deux droites représentées par les fcnrmules (1^7) et (198). «

Si à l'équation (s4) on substituait Téquation (29) » la formule (126) serait remplacée par la suiyante

Gomme on ne peut satisfaire simultanément à cette dernière et à la seconde des équa« tiens (1 25) qu'en supposant a; = {,7 = )i,s = ç; il en résulte qu'il n'existe aucune droite qui soit située toute entière sur la surface de l'hyperboloîde à deux nappes.

^ Considérons enfin un parabololde hyperbolique, par exemple, celui que représente l'équation

Les formules (122) deyiendront

Or on tirera de la première

et la aeconde pourra être réduite k

(.53) f^^Il^l^.

Donc, par un point quelconque du paraboloide hyperbolique on peut faire passer deux droites qui soient situées sur ce paraboloide, savoir, les deux droites représentées par les formules (i32) et (i33).

La propriété qu'offre Thyperbololde à une nappe d'ôtre engendré par une droite petit servir h le faire distinguer de Thyperboloîde h deux nappes. Supposons en effet que la surface représentée par l'équation (i) soit un hyperboloïde dont on demande l'espèce. On commencera par transporter l'origine au centre. Alors l'hyperboloide dont il s'agit , et l'hyperboloide conjugué se trouveront représentés, le premier par l'équation (109) , le second par la suivante

( 1 54) Ax* 4- By* + Cf + ^Djz + 2 Ezx + 2Fxy = k — K,

tandis que le cône asymptotique , qui restera le môme pour les deux hyperboloîdes » sera représenté par l'équation (107). Gela posé, concevons que par le centre commun des deux hyperbploîdes on mène une droite qui ne se confonde pas avec Tune des génératrices du cône asymptotique. Cette droite , dont les équations pourront être remplacées par la formule

dans laquelle l , m , n désignent trois constantes arbitraires assujetties à la seule condition do fournir pour le polynôme

(i36) Al^ 4- Bm^ + Cn« + ^Dmn + %Enl + %Flm

valeur différente de zéro, rencontrera nécessairement un des deux hyperboloides , ieux points dont les coordonnées S , i} , ; seront déterminées par Tune des deux iules

une

en deux points

formules

A-iC

»+i?m»+Cn> + 2Dmn+aJB?i/+ajP/iii

savoir, Thyperboloïde (109) , si le polynôme (i36) est une quantité de même signe que la différence K — k . et l'hyperboloîde (i34) dans le cas contraire. De plus, si l'on combine les équations (122) avec les formules (137) ou (i38) , après avoir réduit à zéro les constantes G , Il , I , on trouvera pour les équations de la génératrice qui renferme le point (Ç, 1, C) sur l'un des hyperboloides

ti59)

l ii3 )

Donc la ptrallfcle menée à cette ^néralrice par roriginé des coordonnées sera la drolle suifani lafuelle le c6ae asymptotique coupera le plan représenté par Téquation

(i4o) (^i + /!'m + £m)aj+(F/ + j5m4.Z>n)j + (fî/4.Z>m+Cn)« = o,

c'est-à-dire, le plan diamétral qoi passera par les milieux des cordes parallèleis à la droite (i35). Si cette parallèle vient à disparaître , ou, en d'autres termes, si les équations (107) et (i4o} ne peuvent être vérifiées que par des valeurs nuUes ou imaginaires des coordonnées 9y y , z; on en conclura que Thyperbololde qui renferme le point (S, 91, K) ne saurait être engendré par une droite , et qu'il offre deux nappes distinctes. Par conséquent Thyperboloîde (10g) offrira une seule nappe , si, le polynomie (101) étant une quantité de môme signe que la différence jK^ — > A , le système des équations (107) , (i4o) fournit des valeurs réelles de œ , jr^ z ^ ou , si , le polynôme (101) et la différence K — % 4tant des quantités de signes différents , le système des équations (107) , (i4o) foomil des valeurs imaginaires de 0O9 yt t. Dans la svpposkipn contraire, riiyper]k>loid6 (109) offrira deux nappes distinctes. D'ailleurs « pour savoir si le syntènm des formules (10^) • (i4o) fournit des Yaleurs rédles on imaginaires des variables œ , y 9 9 , il suffira d*é^miner une de ces variables entre les mêmes formules , par exemple»

la Tariable s , puis de tirer de Téquation résultante la valeur du rapport — •

liOrsque des coefficients A , B , C l'un au moins diffère de téro, l'un des axes cooBdeoaiés reiHConlre l'hyperboloïde (109) ou Thyperboiloïde (iS4)» «^ par suite, on peut réduire k iéro , dan» la formule' (i4o) , deux des constantes arbitraires t, m , n. Concevons , par exemple , que le coefficient A ne soit pas nul. Alors , en prenant m = o , n = o , on fera coïncider la droite (i35) avec Taxe des m . Alors aussi , l'équation (i4o) se trouvant remplacée par la formule

(i4i) Ax + Fy + Ez = o^

la surfSatce (109) sera un hjrperboloîde à «ne nappe, si , le produit

étant positif, les formules (107) et*(i4i) fournissent des valeurs réelles de x^ y, z , ou, si le produit (i4s) étant négatif, les mêmes formules fournissent des valeurs imaginaires de 0, y, z.

( t»4) Il nous rc8le à monlrer quelques applications numériques des règles que nous venons d'établir , et à Taide desquelles on détermine l'espèce d'une surface du second degré , d'après l'inspection de l'équation qui la représente.

Proposons-nous d'abord de trouver quelle est la surface représentée par l'équalion

(i43) yz + zx + xjr=i.

Cette surface a évidemment un centre qui coïncide avec l'origine. De pfus » comme l'équation du cône asymptotique de la même surface » c'est-k-dire , la formule

(i44) jrz'{'Zx + xjr = o

fournit, forsqu'elle est résolue par rapport à la variable z , une valeur réelle dis celte variable, et que cette valeur, savoir,

cw •=-^-

ne se réduit pas à l'ordonnée d*un plan ; on pMt aOirmer que le cône asymptotique existe, et que la surface (i43) e^t un hyperboloïdo. Pour déterminer l'espèce de cet hyperboloîde , on mènera par l'origine une droite qui ne soit pas renfermée dans la surface du cône asymptotique, par exemple, la droite que représente la formule

et l'on cherchera le plan diamétral qui passe pat les milieux des cordes parallèles k cette droite. Or les dérivées du premier membre de l'équation (i45) , prises successivement par rapport aux variables x , j, z , se réduisent aux trois binômes

Donc le plan diamétral passant par les milieux des cordes parallèles à fa droite (i35) sera représenté par l'équation

(w4-n)aî + (n + /)j^4-(/ + m)« = o,

et le plan diamétral cherché par l'équation

De plus, on tirera des équations (i43) et (i47) t en éliminant la variable 3 ,

(115) 048) (»+jr)^ — ajjr=o, OU x*-\'Xy{-jr* = o,

et par con8é<{aeQt

ITaalre part, on tirera des équations (i45) et (i46)

Done le jilan diamétral :(i47) ne rencontrera pas le cône asymptotique , tandis que la droite (i 46) rencontrera Thyperboloîde proposé. On doit en conclure que cet hyperboloide ne pourra être engendré par une drqite , pt qu'il offrira deux nappes distinctes.

On arriverait k la même conclusion en obseryant que»^ans l'hypothèse admise, la formaIe.(ii5)y qui comprend les équations des axes principaux , se réduit à

(.50 I±L=.'J± = fîL.

Or, si l'on désigne par r la distance qui sépare le centre de b surface (i43) du point 06 cette surfEice rencontre l'un^des ai^es principaux , on tirera des formules (i43) ^^ (•^^O combinées entre elles

^ ^ V y-f-g Z'¥s» g-fjr tïyt^%z!0'\'tk»y a

ou^ ee qui reyient an méme«

De iija$, il eit olair qu'on vérifiera Téquation (.53) , «oit en posant

et

(iS4) J. + i=o, ou f = dsa^ï/tr.

soit en posant

Zs

et

OU

Donc il existe, pour la surface (t43)> i«* une infinité d'axes principaux compris 4iM le plan représenté par Téquation (i47) » ^^^^ ^^nt aucun ne rencontre la surface; s.* un axe principal représenté par la formule (i 46) , et qui coupe la surface en deux points situés à l'unité de distance de Torigioe. Donc Téquation (i43) représente un hyperboloïde à une nappe» qui est de révolution autour de la droite (i46) * ^^ dont Taxe réel offre une longueur égale à 2.

Proposons-nous, en second lieo , de trouver quelle esl la sarfiice représentée par Fé* quation

(156) 05*— y' — «*+2JfZ+«+jr+^ = 0.

Dans ce cas, la formule (107) se réduit à

»* — 7* — «» 4- «jrs 3= o r ou , ce qui revient au même , à

Donc alors le cône dont les génératrices sont parallèles à celles du cône asymptotique se transforme en un système de deux plans qui se coupent. Par conséquent réqualion (i56) ne peut représenter qu'un semblable système » ou un cylindre hyperbolique, ou un paraboloidc hyperbolique. De plus, comme les dérivées de Téquation (i56) prises par rapport aux variables » , y , z , sont respectivement

(i58) âCB+i=o, — 2j' + f«4-i=o, — az + fj^-f. 1=0 ,

cl qu'on ne peut satisfaire simultanément aux deux dernières des formules (1S8) par-des valeurs finies de 7 et de z , nous devons conclure que la surface (1S6) n'a pas de centre , et qu'elle est un parabololde hyperbolique.

Si h Téqualion (i56) on substituait l'une des suivantes

(1»7) on iMowenit^ au liea 46i'foroi»Iei (t58),

(i6i) aaî+i = o, -^97 + >«+i=o, ajr— .a*— i =0?

el , comme let é^tiationf (161) font Térifléei, quelle que soit t , lorsqu'on pose

on pourrait affirmer que chacune des^urlaces (tSg) , (160) admet une infinité de centres. Enfin , comme» en' substituant les râleurs de x, y tirées des formules (162) dans les premiers membres des équations (iSq) , (160) , 00| ce qui Mfient au même, dans b^ polynôme

on trouTo zéro pour résultat» on conclurait que la surface (iSg) se réduit au syst&me de deux plans qui se coupent suirant la droite (169)» et la surface (160) à un cylindre hyperbolique qui a pour axe celte même droite»

Considérons encore Téquation ^^

(i65) »» -|- «j^* 4- 5«* + 4j« + 4scD + 4»jr + a« + «7 4- a« = 1 •

Dans ce cas» la formule (107) deviendra (i64) «• + «7* + 5«« + l^jrz + 4sa: + Axj = o .

Or on tire de cette dernière » résolue par rapport à x » \i%5) » = — t(/ + «)±t/(s- + 4j^« + «r).

De plus » comme, en égalant k xéro le polynôme

s« + 47« + fy*, on en conclut

et qne par suite on a généralement

(i66) »»+4j»+ar=(»+«j+//r)(«+v— n/ï)=(«4-v)*-^«rs

( "8 ) il est clair que la valeur de x , déterminée par la formule (i 65) , aéra réelle toute* les fois que la valeur numérique de ^ + aj^ sera supérieure à celle de y^T, c'eslk-dire, en d'autres termes» tontes les fois que la valeur numérique de la somme

h s ^era supérieure à \/7 • Donc le cdne asymptotjque représenté par Tiquation

(iG4) ou (iC5) sera réel, et la surface (i63) sera nécessairement un hyperboloide. Pour ebtenir les coordonnées du centre Je cet h7perI>oloîde » il suffira de chercher Jes valeurs de x , y, z qui vérifient simultanément les trois dérivées de Téquation (i63), savoir 9

(167) a5-4-«y+«*+ 1 =0» a»-!- ay + a2 + 1 =0, aaj + a^ 4-5;j+ * ==^» Donc les coordonnées du centre seront

(168) X = 0, jr=: — — ., Z=:zO»

Cela posé, les axes principaux de la surface (i63) seront représentés par la formule

, ^ , a?+2y+2«+i as+ajr+a«+i as+ar+S^+i

Ajoutons que, si Ton transporte Torigine au centre de la surface (i63), les équations de cette surface et des axes principaux deviendront

flp+2y+a« aa?+ay+a« a«+aj+5^

D'ailleurs 9 si Ton désigne par r la distance qui séparé la surface (170) du point od cette surface rencontre un des axes principaux, et /si t*on fait pour abréger

on tirera des formules (170) et (17 0 combinées entre elles

j?+2y + 2z aâ?+ay+az aa?+ay+5« \a / ^ ^

ou , ce qui revient au méme^ . ,

(174) saî + s^ + ï«=(#+0x = «7=(*— !)«>

puis on en conclura

O7S) «(TTr + T + TÎTl^''

oa plot simplement

(176) ,J 6*« — * + a = tf.

Comme celte dernière équation o£Dre deux tariations de signe , on peut affirmer qu'elle a deux racines positires. Donc , parmi les trois taleurs de r correspondantes aux trois axes principaux» et déduites des formules (17a)» (176)9 deux seront réelles. Donc la surbce (i65) sera un hyperboloîde à une seule nappe. On pourrait encore arriver à la même conclusion de la manière suirante.

Si Ton construit les cordes de la surface (170) qui sont parallèles h, Taxe des y , le plan diamétral qui renfermera les milieux de ces cordes sera représenté par l'équation

ou

(177) S8+jr4.Z = 0.

Si entre cette dernière équation et la formule (164) on élimine j , on trouvera

(178) a«aî» = o, (179) z = dzx.

D'autre part, si Ton réduit x et ^ k zéro dans l'équation (170) , on en tirera

Donc le plan diamétral qui renferme les milieux des cordes parallèles à l'axe des y coupe le cône asymptotique de la surface (170) , qui elle-même est rencontrée par l'axe des y* Donc cette surface peut être engendrée par une droite, et Thyperboloîde anquel elle se réduit offre deux nappes distinctes.

Considérons enfin l'équation

(181) »• + aj* + 8 «" + «7^ + 2ZX + %xy + x +^ -j- r — 1 . Dans ce cas, la formule (107) deviendra

(i8a) x* + S7* + 3s'4*3J^ + 2^^+Sû'J = o.

Or , comme on tire de cette dernière , résolue par rapport k x ,

(i85) » = — (7 + «)±(7' + "Vv^/

il est clair que les seules talenrs réelles de », 7 » s , propres k Térifier la formule (18s) , seront des valeurs nulles. Donc Téquaiion (iSi) ne peut représenter ^\iil ^p* solde réel ou imaginaire. Ajoutons que» dans cet ellipsoïde» les coordonnées du centre ▼érifieront les dérivées de Téquation (181) , savoir,

(i84) 2a54-sj^ + ««f-hi = o, sa; + 474^»^4-^^o, ex-j^aj + fi^ + iss^^

et seront par conséquent .

D'ailleor», si Tnn tiransporte rorigine à ce même centre, l'équation (181) sera remplacée par la suivante

(186) «*+ a7' + 3«* + ayz + s^a + â»^ =7- »

c'est-à-dire , par Téquation d'une surface qui coupera évidemment Taxe des x en deux points dont les abscisses seront comprises dans la formule

Donc la surface (181) est un ellipsoïde réel.