EN COUCHES HOMOGÈNES

Considéroos une masse solide ou fluide représentée par M , et comprise sous un certain volume f^. Supposons d'ailleurs tous les points de Tespace rapportés à trois axes rectangulaires des x^jr^ z, et soit

la densité de la masse M au point {x,j, z) • Si Ton divise cette maase en couches infiniment minces et homogènes par des surfaces très-rapprochées les unes des autres , l'équation de chacune de ces surfttces sera de la forme

(a) p = con8t.

Soit d'ailleurs p-^ ^p ce que devient la densité p lorsqu'on passe du point {x^y» z) à un autre point très-voisin et correspondant aux coordonnées x-^ ^x ^ y 4~ ^^7 « ^ 4- As • On trouvera » en regardant les quantités ^x , A^ , As comme Infiniment petites du premier ordre , et négligeant les infiniment petits du second ordre ,

De plus , si l'on désigne par r le rayon vecteur mené du point (aj, y, z) au point (05 + A» , j 4- A^, s + As) , par a , p , 7 les angles que forme ce rayon vecteur avec les demi -axes des coordonnées positives , et par » la valeur numérique du rap-

port — î- , on aura

(4) A« = rco8a, Ajr = roo9p, A2 = rCOS7,

(5) C05«a4-C08»p4-CO»*7=>* "* IIL* ANNÉE. l6

l laa ) (0) .==tii = *(gc». + Aoo.?+ioo.,).

EdGq , il est clair que le rayon recteur r sera dirigé suivant la normale menée à la surface (•) far le point [m, j, z) , si les angloê a ^ p , 7 sont déterminés par la formule

. . CCS a C08Ô COS7 ,

et qu'alors la valeur de « deviendra

Or on peut démontrer que cette dernière valeur de m est la plus grande de celles que fournit l'équation (6) , quand on y substitue pour a , ^ , 7 des valeurs propres à vérifier la condition (5). On y parviendra en effet de la manière suivante.

On a géttéralement

=fê)"-fê)--fê)*-

Donc la quantité

(10) «.= (^CO.a + iLc08p + ^'cOâ7)'

sera toujours inférieure au trinôme

<■•' fê)*+fê)-+fê)"-

tant que les angles a , ^ » 7 ne vérifieront pas les conditions

(18) C08Y-— COgp = 0, -icO.«-j^CO«7 = 0, ^COtp-^-^COta^O,

oirrce qui revient au méfna» la formule (7); tandia que» datM le cm contraire» les quantités (10) et (11] serent égales entre elles. Donc le trimme diNit il s'agit repnéa^lera la valeur maximum de «*, et la racine carrée de ce trinôme offrira le WMximum de la quantité ». Or cette quantité sera plus ou moipa grande, «uivant que l'accroissement ou la diminution de la densité p sera plus ou moins considérable dans le passage du point («, 7, ») au point (a? + A(d, j + Aj, z + ^z) séparé du premier par la distance r. Gela posé, on déduira immédiatement du principe cidessus établi la proposition suivant^.

]> THàoREME. Si, après avoir divisé une masse solide ou fluide en couches homo^ gènes par des surfaces infiniment rapprochées les unes des autres, on passe (t un point* {x,j^z) pris au hasard sur tune de ces surfaces à un second point très-voisin et séparé du premier par la distance r, C accroissement ou le décroissement de la densité deviendra le plus grand possible, lorsque la distance r sera mesurée sur la normale à la surface dont il s agit,

La quantité ^ que détermine la formule (6), et qui sert à mesqrer Tacçroiss^ipenl. ou la diminution de la densité à une distance très-petite du point {x,j,z), est ce que nous appellerons désormais le module de cet accroissement ou de cette diminution.

U est facile de pi'ouver que , dans la formule (7) , le double signe doit être rédyit au signe + ou au signe — , suivant que la densité' croit pu din](inue quand on passe du point {ps,jr,z) à un point très-vçisin (a? + Ax, j -hAj* 5? +>*) situé sur la directipp correspondante aux angles ot, p , y. En effet ^ admettons 4'abord que la densité croisste dans la direction dont il s'agit. Les deux quantités

cosa et -~

seront ioutes deux positives si celle direction forme avec le demi-axe des x ppsiiives an angle aigu» et tout^ deux négatives dans le cas contraire. Donc alors le rapport

\dœ) sert néeessairemeat positif, et la formule (7) devra être réduite k la suivante

cosa

COSP . ÇOS7

'" (â)"fê) fê) "THiRIRST"

Qft prfvver^ de loâme qi^e» si la densité diminue quand ça passe ^u point (m,j, z)

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«^ un point très-yoisin «itué sur la direction correspondanle aux angles a » ^ , 7 , ië rapport (i5) sera nécessairement négatif. Donc alors la formule (7) deviendra

, ^. COSa COSp CO87

m Wï fë) /ifê)-+fê)-+(è)i

Lorsque la masse M est celle d'un liquide en équilibre , et que les projections algébriques X , Y , Z de la force accélératrice 7 appliquée à la molécule qui renferme le point [x.y^z) réduisent le trinôme Xdx-^- Ydy + Zdz à une diflTérentielle exacte , les surfaces qui divisent la masse M en couches homogènes sont des surfaces de niveau , dont chacune est toujours coupée à angles droits par la direction de la force accélératrice. Donc alors, si Ton veut passer d*un point donné {XfjfZ) à un second point très-voisin et situé à la distance r du premier , de manière que l'accroissement ou la diminution de la densité obtienne la plus grande valeur possible» il suffira de mesurer la distance r sur la direction de la force accélératrice.

Si l'on considère le calorique comme un fluide impondérable qui pénètre les différents corps , la densité p de ce fluide en un point donné {x , y^ z) d*un corps quelconque, sera la mesure de la chaleur en ce point, et les surfaces qui diviseront le même fluide en couches homogènes , ou d'égales densités » seront ce qu'on peut appeler des surfaces isothermes, puisqu'on retrouvera dans tous les points de chacune d'elles la même quantité de chaleur. Alors la quantité v , déterminée par la formule (G) , deviendra proportionnelle à l'accroissement ou à la diminution que la chaleur subira dans le passage d'un premier point {x, y, z) h un second point très- voisin (a5 + Aa5,7 + ^7> * + ^*)» séparé du premier par la distance r tracée de manière à former avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a , p , y , et sera le module de cet accroissement ou de cette diminulion. Or il suit des principes ci-dessus établis que ce module acquerra la plus grande valeur possible quand la distance infmiment petite , désignée par r » se comptera sur la normale menée par le point {x,y, z) h la surface isotherme qui renferme ce poin^. On peut donc énoncer la proposition suivante.

3/ TiiiioBÊiiR. Si, dans un corps ou dans Cespace onveut passer dUin point donné [x, y, z) à un second point très-voisin et séparé du premier par la distance r , de nMnière que la différence des quantités de chaleur mesurées en ces deux points êoii la plus f^rande possible, on d^vra suivre la direction de la normale menée par le premier point a la surface isotherme dans laquelle il se trouve compris.

Pour établir Téquation qui sert h fixer les lois du mouvement de la chaleur dans un corps ou dans l'espace, il suffit d'admettre, comme nous le montrerons plus tard, que le calorique est un fluide dont chaque molécule se meut toujours k partir d'un point donAé

( »a5 ) {^9j» ^) ^^^^ 'a direction suivant laquelle le çlécroisseiïient de la densité est le plus considérable 9 et que la quantité de chaleur, qui» pendant un instant trës-^court M , traverse un élément «. de surface perpendiculaire à cotte direction , est proportionnelle au module « du décroissement dont il s'agit. Adoptons. celle hypothèse «, et concevons qu'au hout du temps t Ton désigne par » et p la vitesse et la densité du fluid<^ correspondantes au point {x^^pz). Gomme la quantité de chaleur qui, pendant l'instant M , traversera l'élément de surface s , sera nécessairement proporliônnelle d'une part à la densité p » d'autre part à la vitesse w ^ et par suite au produit pu, on aura, en vertu de l'hypothèse admise,

(l6) p«==A:ir, (17) w= ,

la valeur de v étant déterminée par la formule (8) , et k désignant un coefficient positif qui ne pourra dépendre que des variables x , y , z^ Ajoutons que ce coefficient sera constant si le fluide se meut dans l'espace ou dans un corps homogène, tandis que, dans le cas contraire, il mesurera la conductibilité du corps échauffé au point [x,y,z). Quant aux angles a,P,y formés par là direction dé la vïtesie w aveè les demi-axes des coordonnées positrvcs, ris coîncldert^iit aVec les anj^e'j " ài^"'^ , V dé^ terminés par la formule (16) qui pourra s'écrire bonraieif suit ' • •

cosa cosp ^^ ^cosy 1

\dxj \dy) \dz)

ei de laquelle on tirera

* ^ dû ^ i dû «.uu

(19) COSa = -/- , eO»p = -f- , ..'C0B7=.~— -JL.

*" 9/ dx . M dy H dz

Cela posé, si l'on nomme ti , v ^ tcT le^ pfOJiBCtions algébriques de la vitesse" 6> sur les demi-axes des coordonnées positives , on trouvera

(90) a = wcosa = -7^, v = »cosP = 7-., tt; = wcos7 = î-,

^ ' p dx " ^ p dy ' ^ dz'

et par suite -' -.- -

Si l'on supposait l'élément de surface. % p^rpendîoîijalre non, plus h la| direction de la vimse 0» , mais k une autre direçiioli qiâ formerait avec le^ demi-axes des co«r-