LES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE OU LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES

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S 1.** GONSIDÉBATIÔHS Gint2iALE$.

Considérons d'abord une masse fluide en équilibre. Soient m une molécule infiniment petite 9 prise au hasard dans cette masse , x, y, z les coordonnées de la molé^ cule m comptées sur trois axes rectangulaires, p la densité du fluide au point (,^»y» ^)» P Ia pression hydrostatique au même point» 7 la force accélératrice qui sollicite la molécule m, et X , Y, Z les projections algébriques de la force f sur les axes coordonnés. En choisissant pour variables indépendantes les coordonnées ^ t J f ^ i on aura [yoy. la page s4 du second rolume]

et par suite

dp=p{:

rdas+rdvH

VZdt).

Or, pour que Ton puisse trouver une fonction p de x^ y, z propre à vérifier la formule (a) , il est nécessaire que le second membre de cette formule soit une difiS&rentielle exacte , et que Ton ait

rf(pr) rf(pz)

d{pZ) d{pX)

__ rf(py)

dt dj '

dx dz

Ay

dx

Donc les conditions (3) devront être remplies dans le cas d'équilibre. On peut ajouter que ces conditions sufliront pour assurer Téquilibre , si le fluide est .contenu dans un vase fermé de toutes parts , pourvu que la paroi du vase soit capable de supporter en chaque point la pression exercée contre elle. Si , au contraire • une portion de la surface qui termine la masse fluide , est libre et soumise à des pressions extérieures , il sera nécessaire, pour Téquilibre, non -seulement que les conditions (3) se trouvent vérifiées» mais encore que Ton puisse satisfaire à l'équation (2) par une valeur de p qui , pour chaque point de la surface libre du fluide, soit précisément équivalente à la pression extérieure en ce point. Donc, si la surface dont il s'agit est représentée par l'équation F(^»7, 2) = o , et la pression extérieure par P^ il faudra que les formules

subsistent simaltanément , c'est4i-dire que la valeur de z , tirée de l'équation (4) , vérifie l'équation (5) , p étant Tune des fonctions que détermine la formule (2).

Considérons maintenant le cas où la masse fluide est en mouvement : et soient , au bout du temps t, » la vitesse de la molécule m correspondante aux coordonnées ^fj» ^f "^ là force accélératrice qui serait capable de produire le mouvement effectif de celte molécule , enfin u, v , w et SQ» ç^f % '©» projections algébriques de la

vitesse &> et de la force accélératrice 4^. Prenons d'ailleurs pour variables indépendantes les coordonnées x , y, z , et le temps t. Les formules (1 ) devront être remplacées par celles que Ton en déduit , quand on substitue à la forée accélératrice <p la résukante de cette force et d'une autre qui serait égale mais directement opposée à ^ , c'est4i-dire » en d'autres termes, quand on remplace les quantités X , Y, Z , par les différences X — S^, Y — ?T»^ — 2s>- ^^ ^^^^ ^^^^ f ^«Q* 1® c®* ^" mouvement de la masse fluide ,

P désignant toujours la pression hydrostatique au point {x,y, e). Soit d'ailleurs At un instant très-court compté à partir de la fin du temps t , et représentons par

Ax, AjTt Az, àp, Uu, At), ^Wy

les accroissements que prendront , pendant cet instant » les valeurs des quantités

X, y, -/, p, a, tJ, w

relatives à la molécule m . On aura sensiblement

{i) Ax = aAr, ljr = vàiy ^z=.wM.

De plus» la densité p étant fonction de x, y , z^ t^ si l'on pose, pour plus de commodité ,

on trouvera * - '

Ap = f{x 4. Ax,:r 4- ^ïf 2 + A^* < 4- ^0 — /(-^^j^^* «) >

ou k très-peu près