III.*AN1IÉ
~( rff "^ rfx "*■ rfy "^ rfï P
On aura donc , en considérant ^ t comme un infiniment petit du premier ordre , et négligeant le», quantités infiniment petites d'un ordre supérieur au premier
^'=fê+"â+«l+-'.ï)".
On trouvera de Bénie • en remplaçant , dans^ Téquation (8) > la densité p par le» viteMes Up V , Wf ifxi aont encore dca fonctiona de x, j» t, $,
(du . du , du ^ du\ Idv . dv , dv . dv\ (dm , dm , dm . dm\
£ofin , comme , pour obtenir les projections algébriques % » ?T> ^ ^® '^ f^^^
accélératrice ^, il suffira de diriser par àt les accroissements infiniment petits ^u, ^v, ^w, on tirera des formules (9)
(iO)
du . du . du . du ^ dv ^ dv , dv , dt
"^ dt dx djr * dz ^ dt * dx dy dz
^ dw . dm ^ dw , dw
et par suite les équations (6) donneront
dp i ^ du du du du\
, . } dp ( ^ dv dv dv dv)
dp {„ dw dw dw dw)
«s ( dt dx dy dz )
Concevons à présent que Ton désigne par y et par v (i -|- oâI) le volume infiniment petit sous lequel la masse m se trouve comprise, i."" à la fin du temps t , 9.* à la fin du temps f + ^^* La valeur numérique d^ la quantité positive ou négative e^t servira de mesuré à ce qu^on doit nomtner la dilatation t>u la condensation du Yolume V pendant l'instant Ae. De plus, la masse m se trouvera exprimée à la fin du temps t par le produit
et , è la fin du temps t + àt, par le produit
Cela posé , comme cette masse ne saurait changer de valeur avec le temps » on aura nécessairement
et par suite
puis on en conclura » en ayant ^ard k la formule (8) ,
D'ailleurs » comme les trois produits
{i5) uMy vMy wM
représentent les déplacements très-petits de la molécule m , parallèlement aux axes coordonnés, pendant l'instant M, il est clair qtt*il suffira de substituer ces trois produits aux quantités S , » , ^C dans la valeur de v déterminée par l'équation (55) de la page (6Ç) du second volume pour obtenir la dilatation Oit du volume v. On aura donc
dx ^ dy '^ dz * ou plus simplement
Gçogle
( 13» ) Par conséquent la formule (12) donnera
, . dp dp dp. dp (du dv , dw\
ou , ce qui revient au même ,
Enfin, si Ton désigne par Vo et par Vo(i 4-^) = ^ les volumes infiniment jelils sous lesquels la masse m se trouve comprise » i."* à l'origine du mouvement, 2.'' 5 la fin du temps t , la valeur numérique de la quantité positive ou négative u servira de mesure à ce qu'on doit nommer la dilatation ou la condensation du volume de I9 molécule m pendant le temps t ; et l'on aura sensiblement
(d'j , d'j . d'j . dM\
Av représentant l'accroissement de v pendant l'instant M ; puis on en conclura
dM . d\} . fi'^ , ^y ^ ^^ dt ^ dx^ dy ^ dt
ou, ce qui revient au même,
, ^^ tÎM . ^v , dM . elxj du ^ dv , dw
^ ' dt ^^ dx ^ dy ^ dz dof ^ dy ^^ dz
Soient encore
a? — Ç, y — rij z — ^
les coordonnées initiales de la molécule m , c'est-à-dire, de la molécule qui coïncide au bout du temps t avec le point {x^j,z). Les trois quantités H, u , ;; serviront à mesurer les déplacements de la molécule m pendant le temps i , parallèlement aux axes des a; , j, s ; et , pendant un instant infiniment petit \i compté à partir de la fin du temps t , ces mémos déplacements recevront des accroissements égaux aux trois produits
{dl , d\ dl , r/Ç\
Googk
Or, en divisant ces produits par A(, on devra retrouver les vitesses u,v, w parallèles aux axes. On aura donc
dii , di dl di
dn ^ dn . du . du
dia . dK ^ dK . d^
Jf 7 ^a; ^^ dy< ^ • dz .-•<..■
Ces trois dernières équations serviront à déterminer Ç , >i . ç lorsqu'on sera parvenu à exprimer les vitesses u , v , te; en fonction des quatre variables indépendantes x , r, s, «.
Les formules générales que nous venons d'établir subsistent dans toute l'étendue d'une masse fluide en mouvement. Mais il en est d'autres qui sont relatives aux surfaces par lesquelles cette masse peut être limitée. Supposons , pour fixer les idées , que la masse fluide soit terminée par deux surfaces, savoir % li^ une surface invariable qui s*appuie contre la paroi d*ùn vase , et qui soit représentée par Féquation
2.** une surface libre soumise à une pressio^i extérieure iP ^ . et représentée à l'origine du mouvement par l'équation
(ai) Y[x,y,z)=o.
Enfin admettons que chacune de ces surfaces renferme constamment les mêmes molécules. Dans cette hypothèse , une molécule située sur la surface invariable et correspondante aux coordonnées x ^ y y z ^ aura sa vitesse dirigée suivant une droite tangente à la surface. Donc celte droite et la normale à la surface comprendront entre elles un angle droit dont le cosinus sera nul. D'autre part , comme les demi-axes des x^y ,z positives formeront avec la. vitçsse de la molécule des angles dont les cosinus seront proportioQucIs à
^fejfejfe, gj^^^h^T- *• «ng'^ doDirles cosinus seront propor- ,,h "y U normale et la vitesse sera proportionnel à la somme
:.x ày dz
'k*«<^<^ ^u^aroc celle somme. Donc, pour tous les points de la surface . «^ K«iM ^ ^^ ^ mémo temps les deux équations
{ dx ^* d} ^ dz
v^l «IIS molécules comprises dans la surface libre, leurs coordonnées x, y, z J^^nMit» au bout du temps t , vérifier simultanément les deux équations
^,y F(a5 — Ç^jr — „,« — ?) =0, p = P.
\\ est bon d!observer que-, si Ton désigne par «o » v^ , Wo les valeurs initiales d^ u , V , tv p c'est-à-dire, les vitesses initiales de la molécule qui coïncide, non pas au bout du temps i , mais à Torigine du mouvement, avec le point (x,^, s) , on Aura nécessairement pour tous les points de la surface invariable
(»4) "• — Ji ^"*'* — Ty ^^"'« It -°'
et que l'on pourra en conséquence remplacer les équations (as) par les suivantes
Plusieurs des formules qui précèdent se simplifient dans le cas où les déplacenaenU S » ^ » 2; , les vitesses u , v , w , et la dilatation v du volume , conservent constamment des valeurs très-petites. Supposons en effet que ces diverses quantités » et par
( i56 ) suite leurs dérivées » prises par rapport aux variables Xy jfit z , i,. soient considérées comme infinimeot petites du premier ordre. Alors on tirera des formules (ii), (i8) et ^19), en négligeant les infiniment petits du second ordre »
d\> du ^ dv ^ dm dt dx"^ dy"^ dt'
di
dt ~
dn
dt = " •
dX, dt
Dans le même casj les projections algébrique» de la vitesse initiale de la liioléQuIe (|ui coïncide au bout du temps ( avec le point {x^jr, z) différeront très*pei| des projections algébriques Uo # Vo » w^o de la vitesse, masurée^ à TorigiM du mouvement au point (x, j, z) , c'est-à-dire, que la diff!érenee sera une quantité infiniment petite d*un ordre supérieur au premier.
§ 3. Sur VéquUibre et U mouvement de$ Ufuidcs oh fluides ineompressibUs.
Considérons un liquide ou fluide incompressible^ soumis à la force accétëratrice ^ . Si ce liquide est en équilibre > la pression cori:espondante au pqint {x,j, z) sera dé^ terminée par la formule (d). Si aa contraire ce^ liquide est en mouvement , la densité de chaque molécule devant rester invariable, la valeur de Ap déterminée par l'équation (8) dievra s'évanouir ^ et par conséquent on obtiendra la formule
en vertu de.kiqQeUe HéqmtioD (i5) ae- trouvera réduite k eelte qui exprime qu'an* étément du vohioM ne. varié* pas avec le^empa, e'est^à^lres è^
^^^ d^ + ify+7;='''
Alors les formules (11), (29) » (3o) seront les seules qui subsistent , dans toute l'étendue de la masse fluide entre les cinq inconnues p , p , u , v ,. vi considérjée$ comme-
( «36) fonctions des variables indépendantes o: ^ y y z, i. Dans le cas particulier oix les vitesses u, v, w demeurent constamment très-petites, les formules (ii) peuvent être remplacées par les formules (26).
Supposons maintenant que le fluide incompressible soit homogène. Alors la densité p deviendra constante; et, si l'on ajoute les équations (26) après avoir différencié la première par rapport h x , la seconde par rapport à y , la troisième par rapport à z , ou trouvera » en ayant égard à la formule (3o) ,
Telle est l'équation ù laquelle doit satisfaire la pression p dans un liquide homogène et en mouvement , lorsque chaque molécule a toujours une très-petite vitesse. Dans le même cas» en désignant par t<o > t^o • tz'o les projections algébriques de la vitesse mesurée à l'origine du mouvement au point ce, j, z^ c'est-à-dire, les valeurs de u, V , Ts correspondantes à f = 0 , on tirera des équations (2G)
»=..+/:(^-iè)...
et des équations (98) .
(33) i=Judt, TizzzCvdt, X,= Cwdi.
Les formules (3i) et (3a) se simplifient dans le cas où, X ^ Y ^ Z étant des fonctions des seules variables x , jr , z , l'expression
(54) Xdx+Ydj + Zdz
devient une différentielle exacte. Alors , pour convertir l'état initial en un état d'équilibre , il suffirait d'anéantir les vitesses initiales des molécules liquides , et de remplacer à l'origine du mouvement la surface libre du liquide par une surface invariable. Soit ^ la pression relative à l'état d'équilibre dont il s'agit. On aura
(35) dq} = p{Xdx+ydy + Zdz) ,
ou , ce qui revient au même ,
d^ rf$ rf$
(36) -^ = PX, -r-=,Y, -r-=,Z,
et par conséquent
IdX dY dZ\d*9 rf'g rf'g
Donc , si l'on lait pour abréger
les équations (3i) et (32) deyiendront
dx* dy* "^ dz* '
d f\fdt d r^rdi d r^dt
(59) « = „.+ —__, „==„. + —-, „ = „. + __-. Par suite les formules (35) donneront
d r r^rdi' d r r^dr
1 J nJ o ,1 J oJ o
^ r r\rdr
p as
Ajoutons que , si la masse liquide est terminée par deux surfaces » Tune invariable et représentée par l'équation (20) , l'autre libre , mais soumise à une pression extérieure P, et représentée à l'origine du mouvement par l'équation (ai)» on aura» pour tous les points de la surface invariable, en vertu des formules (25) et (39) ,
dî{w,y,z) d r^dt dî{x,y,z) d Ç' ^dt . dî{x,y,z) d f wdt
rLi I ±1 i . ±:^ = 0,
dx dx dy dy dz dz
