III.'ANNÀB. ï

tandis que Ton aura , pour tous les points de la surface libre ^ en vertu des formules

(îi5),(37)et(4o),

(42) F(a5 — Ç,jr — „,2 — ç) = o, ^ = $-/>,

ou , ce qui revient au môme,

d\ \ ^dr dfl zrdr dj I irA>

Flx-ttol -T fy-V^t -^ , Z'-Wot T (=0,

Gela posé , pour obtenir la fonction de x ^ y qï z désignée par •- » il suffira d'intégrer l'équation (38) , en déterminant les fonctions arbitraires de manière à remplir les conditions (40 et (43). De plus» la fonction v étant connue» on déduira immédiatement des formules (37)» (39) et (4o) les valeurs de la pression p, des vitesses «, V ^ w ^ et des déplacements £ » 1 » C.

Pour montrer une application des formules que nous venons d'établir» considérons un liquide homogène dont les molécules» uniquement soumises à la force g de la pesan^ leur» conservent pendant toute la durée du mouvement des vitesses très-petites; et concevons que » l'axe des z étant vertical » l'ordonnée z se compte positivement de bas en haut. Supposons en outre que le liquide repose sur un plan horizontal représenté par l'équation

que sa surface libre supporte une pression constante désignée par P» et que cette même surface» à l'origine du mouvement, s'écarte très- peu du, plan des »» j^» Soient enfin

(45) z.= Y{x,y) l'équation inilîale de la surface libre» et

(46) Wo = i[x.y)

la valeur de w. correspondante à z = o. Les fonctions f{x,y),i{x,y) auront de très-petites valeurs numériques» quelles que soient d'ailleurs les coordonnées », y ; et » comme on trouvera

( >59 ) la formule (35) donnera

(47) d<S = ^S9dz.

Or cette dernière équation sera vérifiée « si l'on prend

(48) <S = P^gfZ.

Cela posé, les formules (40 et (49) deriendront

dr^dt

(50) « — î; = F(a? — Çjj' — >i), vr = ^gpz.

De plus, les déplacements ç, n devant rester très -petits, ainsi que la fonction F(x,j^) » on pourra, sans erreur sensible, réduire la première des équations (5o) à

et, comme la troisième des formules (4o) donnera à très-peu près, pour des valeurs de ;; peu différentes de zéro ,

d r f\dî-

(5«) ç = i^ix.y) + 1 -^il^^ ,

on tirera de l'équation (5i)

. 'fX-'^'

D'ailleurs, si l'on élimine z entre la formule (53) et la seconde des équations (5o), on obtiendra la suirante

(54) '+e jl =-8(> in^-y) + «/(*. 7)] .

qui restera sensiblement exacte pour de très -petites valeurs numériques de z , et par conséquent pour z==o. Donc l'on déterminera , dans l'hypothèse admise , la fonction de X 9 y » z désignée par v , en intégrant l'équation (58) , de manière que la condition (54) soit vérifiée pour z = o , et la condition

d fwdt

pour s = — /i. On fixera ensuite la valeur de la pression p, en un point quelconque de la masse liquide» à l'aide de la formule (37) , ou plutôt de la suivante

(56) pz=P^gpz^^,

puis les valeurs de u ^ v , w , i , ^i t ^ à l'aide des formules (3g) et (4o). Ajoutons que la surface libre du liquide sera représentée , au bout d'un temps quelconque t , par la seconde des équations (5o) , qui peut s'écrire comme il suit :

Si, pour plus de simplicité» on supposait les vitesses initiales Uo , Vu 1 vr^ réduites à séro» la fonction jf{x,jr) étant alors nulle» Téquation (54) se présenterait sous la forme

l J oJ 9

tandis que les formules (39) et (4o) donneraient

(58) tr + ^^2 = gp¥{x.y) ,

d i vdt d Cvdt d r vdt

^ "' p dx * p ^y * p dz

d \ \ ^dr d wdt- d irrfP

(60) « = - TT » « = -- :r . ç = -

</j; P ^ 0 dz

Nous renverrons à un autre article l'intégration de ('équation (38) , ainsi quo l'exposition des lois qui s'en déduisent pour la propagation des ondes à la surface d'un liquide pesant. On peut d'ailleurs consulter sur ce sujet un Mémoire composé en 181 5» qui a été couronné par l'Institut en 181G» et inséré daus le recueil des Mémoires des savant» étrangers.

§ 5. Sur CéquUibre et le mouvement des fluides élastiques.

Soit donné un fluiile élastique soumis à la surface accélératrice f. La densité p , en un point quelconque {os^y,z) de ce fluide» sera proportionnelle h la pression p , c'est-à-dire , que Ton aura

(6i) P = kp,

k désignant un coeflicient qui dépendra uniquement de la température correspondante au point dont il s'agit. Gela posé , considérons un état d'équilibre ou de mouvement de la maAae fluide» dans lequel la température, connue en chaque points ne varie pas avec le temps, k sera une fonction déterminée de x ^ y, z ; et la pression p , si le fluide est en équilibre, se déduira de la formule

(6a) dl{p)=k{Xdx^Ydz + Zdz)

que produit Télimination de p entre les formules (2) et (61). Au contraire , si le fluide est en mouvement , les cinq inconnues p , p , u , v , iv devront vérifier les cinq équations (11)» (16) et (61), quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées aux variables indépendantes x , y, z , t. Dans le cas particulier ob les vitesses u , v , w . demeurent constamment très-petites» les formules (11) peuvent être reo^pl^cées parles^ formules (26) , desquelles on tire» en les combinant avec l'équation (61) ,

da D'aiUeurs, ai l'on élimine p entre les formules (16) et (61) » on trouvera

(64) ^'TF^^di ^~dP ^ dz — ""' ou » ce qui revient au même ,

puis » en considérant les vitesses u , v ^ w comme infiniment petites du premier ordre^ et négligeant les infiniment petits du second ordre» on déduira des équations

(65) et (65) combinées mire eHes

( '4a ) (66) k^ + k^{Xu-^rv-^Ztv)+J^^^ + ^^^=o.

Si maintenant on suppose que les projections X , Y , Z de la force accélératrice ? soient indépendantes du temps, on tirera de l'équation (66) différenciée par rapport 5 < , et réunie aux formules (63) ,

Telle est Téquation aux différences partielles du second ordre à laquelle doit satisfaire la pression p dans un fluide élastique en mouremcnt , lorsque , chaque molécule ayant une vitesse très -petite, la température et les projections de la force accélératrice sont indépendantes du temps. Alors aussi , en désignant par u^ , v» » ti;, les vitesses initiales , c'est-à-dire , les valeurs de u , v , w correspondantes à t = o , on conclura des formules (63) et (27)

dt.

Quant aux déplacements S , ^ » C , ils seront déterminés , comme dans le § 3 , par les équations (33).

Les formules (67) et (68) se simplifient dans le cas où , la direction et l'intensité de la force accéli^ratrice étant, ainsi que la température, indépendantes du temps, le produit

(70) k{Xdx+rdy + Zdz)

devient la différentielle exacte d'une fonction des seules variables x , y , z. Alors,

pour oblenir uo état d'équilibre de la masse fluide , il suffirait de rendre inTariables les surfaces qui servent de limites au volume qui renferme cette masse , et de la distribuer» entre les diverses portions du même volume, de telle manière que la densité p- et la pression p correspondantes à un point quelconque (aj»7»«) fussent propres à vérifier les formules (61) et (6s). Gela posé» désignons par $ la valeur de la pression

p relative à Tétat d'équilibre dont il s*agit. $ sera une fonction des seules variables

^ * J * ^ > V^ vérifiera l'équation

(71) dim=k{Xdx+rdj + Zdz),

ou , ce qui revient au même » les trois formules

dim d\m rfi(Ç)

et Ton aura en conséquence

*.(j:. + y. + z.) = A:;r -3^ + *r-^ + AZ-^.

dikX) d{kY) (i{kZ) rf'l($) rf'l($) rfM(cp)

ds ^ df dz dœ* ^ dy* ^ dt

Donc, ù l'on fait pour abréger

les équations (67) et (68) deviendront

(74) -d^^l[^'^'d^-^^\^Tx-^^Ty^^-dl]=^-îF'

^ d f itdt d Cudt

W zzz tTo + —

k dz

Observons d'ailleurs que» la quantité a étant très-petite» l'équation (7 5) donnera» sans erreur sensible »

et que les pressions $ , p mesurées au point {x,jrp z) i ."* dans Tétat d'équilibre dont

nous avons parlé ci-dessus , 2.'* dans l'état de mouvement que présente à la fin du temps t la masse fluide, seront proportionnelles» en vertu de la formule (6i) , aoK densités correspondantes à ces deux états. Donc la valeur numérique de la quantité positive ou négative désignée par v mesurera ce qu'on doit nommer la dilatation ^u la condensation du volume au point {x,y,z) dans le passage du premier état au second. Ajoutons que cette dilatation ou condensation ne doit pas être confondue avec celle que nous avons désignée par la lettre u , et qui se rapporte au changement produit dans le volume d'une molécule m , tandis que la masse fluide passe de l'état initial de mouvement ou de repos k l'état de mouvement qui subsiste aa bout du temps l.

On pourrait encore parvenir aux formules (74) et (75} de la manière suivante.

On tire des formules (03) e\ (66) , en ayant égard aux équations (72) et (76) ,

^") ''Tt-d^' ^77-'d^' dt-li'

Or, si y après avoir différencié par rapport à t la formule (78) , on la combine avec les formules (77) , on retrouvera précisément l'équation (74). De plus, il est clair que les équations (75) se déduisent immédiatement des formules (77) intégrées par rapport à f et à partir de 1 = 0.

Si l'on suppose que la masse fluide s'étende indéfiniment dans tous les sens» il sera très-facile do déterminer les fondions arbitraires comprises dans l'intégrale générale 4e l'équation (74)* En effet» ces fonctions arbitraires peuvent être réduites aux valeurs

initiales des quantités » et ~^ . Or, d'après ce qui a été dit plus haut» la valeur

initiale de h , que nous désignerons par »« t représentera , an signe près» la dilatation ou la condensation que subit le volume du fluide élastique au point («» j,«) , quand on passe de l'état d'équilibre ci-dessus mentionné à l'état dans lequel se trouve le

fluide à l'origine du mouvement. Quant à la valeur initiale de — , elle se déduira

sans peine de la formule (78)» et sera» en vertu de cette formule» équivalente au po»-

lynome

(79) k{Xu,+ Yvo + ZtVo) + j

djku,) d(kto) d{kwo) 1 da "^ dy '^ dz ]'

Lorsque la masse fluide est uoiquemeut soumise à la force accélératrice de la pesanteur, alors, en supposant que l'axe des ;; soit vertical, et que l'ordonnée z se compte positivement de bas en haut , on trouve

X = o, y = o, Z = — g, et par suite l'équation (74) se réduit à

(k^\ </»ir , d*ii , d^M dit d^M

Si Ton suppose au conlraire que la force accélératrice s'évanouisse , l'équation (74) se réduira simplement à

^ ' dx^ ^ dy* ^ dz* dt*

Si Ton admet de plus que la même température règne constamment dans toute l'étendue de la masse fluide , la quantité k deviendra indépendante des variables x , y , z , et la formule (78) donnera

y« V du du ^ dv , dw

(»») 7F = ^ + Ty + 7;''

puis on conclura des équations (27) et (82)

rfy dit ^

et par conséquent

(84) U=¥ — ITo.

Alors , si l'état initial de la masse fluide est un état d'équilibre , on aura «0 = 0, et par suite

ce qu*il était facile de prévoir.