D'UNE SEULE VARIABLE
aoooc
Ou sait que la différence finie a^'cb" d*une puissance entière de la variable x s'évanouit dans le cas oh l'ordre m d^ la différence finie est inférieur à l'exposant n de la puissance. Dans le cas contraire, A"'a:'' se réduit à un polynôme en x du degré n — m. Or, parmi les moyens à l'aide desquels on peut déterminer les coefficients des diverses puissances de x dans ce polynôme , l'un des plus simples est cc^ui que fournit le calcul des résidus , et que nous allons indiquer en peu de mots.
Gomme on a généralen^ent , en supposant le nombrq n entier , et le signe £ relatif à la variable z ,
on en conclut
la caractéristique û. étant relative à la variable x ; puis , en ppsa(ft pour abréger ^x = h , on trouve
(5) ^'-x-=r.,.d...nL \(,„j.)) >
Concevons maintenant que l'on développe les deux fonctions
suivant Jes puissances ascendantes de z , et faisons
iH 1 =r + -l =i+M.z + M,z* + Mzz' + eic....
i*a i.ar5 y
( «48 ) Pour obtenir le résidu O ., ^!^^ ^^ , il suffira de chercher le coefficient de r""'" dans le déyeloppement du produit
et par suite l'équation (3) donnera
n(n-i)...(n-m+i)/i'"a?«-'"+n(n-i)...(n-m)itf,A'«+»a?''-'«-» + ... + n(n-i)...5.a.i.Af„„./«". On tirera d'ailleurs de la formule (4)
(6) M, = I:L, j»f. = Jl2^. M^=^i:^Ç^, etc., et généralement
(7) ^' = ^1(7-] teJ \TZZI ii.a.3.4/ •" (i.a..p)(i.a..^)(i.a..r)(i.2..#).. j '
le signe S indiquant une somme de termes semblables à celui qui se trouve renfermé entre les accolades , et relatifs à toutes lés valeurs entières positives de p , q ^ r , *.., qui vérifient les deux conditions
(8) p4.ç4.r + *4....=m, 7 + 8r + 3* + ... = /. Si , dans l'équation (5) , on pose successivement
n = m^ n = m-|-i» n = m4-2» etc...., on obtiendra les formules
^"'x'"= i.9.3...mA'«,
^„,jjj«^, 1.5. 3... (m 4. 0*'""*"'(y + ■^) •
\ etc.
SUR LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES FINIES DES PUISSANCES ENTIÈRES D'UNE SEULE VARIABLE.
il — HUll
La méthode que nous ayons employée dans Tartiele précédent pour déterminer les différences finies des puissances entières d'une seule variable , peut également servir à former les intégrales aux différences finies de ces mêmes puissances. Concevons , par exemple» que, la liéitre n désignant un nombre entier» on se propose d'évaluer l'intégrale aux différences finies Zâ?" , c'est-à-dire , la valeur de y propre à vérifier l'équation
(0 Aj = aî«;
et soit w(x) une fonction périodique de x , déterminée par la formule
Op reconnaîtra sans peine que l'équation (i) de la page 1^7» savoir,
(5) x-=i.^.l...nt ((?.4.;))
entraîne la suivante
(4) . 2a5»=i.2.5...n<l^-^— — ^, qpi peut être réduite à
(5) iag^=i.a.5...n<S7nrr {{l'^^-)) +^^^^'
En effet, pour vérifier la formule (5) » il suffira de prendre les différences finies des deux membres , et d'observer que l'on a
Le*
• a. 3.«.fi III.* Aififix. so
Admettons maintenant que l'on développe les deux fonctions
1 1 / , Az , A»*» •/ \-«
suivant les pûls^aùtïéé àsèeMlàiitèi de' % , et faisons
(6) (i + -^ + —.+ ... j ""=!+«.« + «.«• + «3*» + etc.... Le résidu
ne «era autre choie que le çoe$c«^nt de 's"**" dans le développement du produit T *"(» +T + 1:3-+ •••) =T (* + T +TT + •••) ('+a»+«.Av+...),
et Téquation (5) donnera
(7) 2aj»=-^^^^ + «,aî» + na,fc^^^^
On tirera d'ailleurt Ae ta fortHule (^) %
et généralement '
m désignant un nombre entier diftérent^-aéro , et ^^ celui des nombres de Bernoulli, qui correspond 2i l'indice 2 m. En effet, la formule (6) donnera
et , comtne on a identiquement
on trouvera encoro « ^ ' '" "^ ,
(i i) «/=— c- -r:; — rr ttttvT = o
Or OD condara de la formule (i i) » i.* en remplaçant l par a m — i »
atm-, =0 , '!«»:• ■ t.
a."^ en remplfç^nt < jmip am, «t ^ par sf)/^, ou, ce qui revient au iftaii , '
rf.- '•*"•
t . ^rmt être rédilH k zéro apirès les Affâ'eMiations ; et, cbmoie 'Fdqaation (7iiy^« la page 649 ^ plumier Tolume ddonera ' i • -^ • - .é-'u. -r»-.-. ■
il est clair que la formule (i3) entralpQra la.açcoAde 4§9 ^quaUoi]\3 (9). Ajontop^ que.de la formule (la) combinée avec Téquation (ai) de la page 3oi du 8eqoa4 wliux^ W M^f^r^
C^tapdsé, réqùatiçn (7).pàfitra Atra prA^ànt^ àa ta 'l'nne dea ferme»
(•8) ^«'"='(*)+-^îTJr-T*"
Si , dans l'équation ( 1 8) , on attribue saocessiTement an nombre entier m IfM Talmir» 1 , a , S , ... , on en conclura . . . . .
■ > ., + ^(x) , etc....
II est bon d'obserrer que de Téquation (lo) on tire directement
(.0) ..=si(-o^-----"- rfr^rtr".\ i-Yi-^Yi-hY-A'
le signe S indiquant une somme de termes semblables à .celui qui est renfermé entre les accolades» et deyant s'étendre à toutes les yaleurs entières» nulles ou positives 'de f » r , s » ... qui yérifient la condition
(ai) 7 + ar-i-5s-i-... =f .
Des formules (9] et (ao) comparées entre elles» il résulte» i."" que, si l'on étend le
signe. S ' à toutes les valeurs entières» nulles. ou positives» de q ^ r, ê\ qui
vérifient té condition
(««) ? + ar + 3s + -«« = «w»+i > 1 »
on aura
ui) Q(/-.).^r^.^.-, i.a.8,..fa^r+f+,.0 / ly/ ^i.y/. .1.. \- vj^;^-
«.• que, si Fon étend le signef S à toutes le» valeurs entières» n^lest>u positive» de 9 > «*» s« ... qui vérifient la condition ^
le torme correspondant h l'indice tm dans la série des nombres de BernooUi sera <«5) A,^ =
^ ' P ' (i.a.3..çr)(i.a*3..r)(i.a*3..*).. \a/ \2.5/ \a.3.4/ )
Oo a TU, par œ qui précède, comment, à l'aide du calcul des résidus, on peut déterminer la valeur générale de l'intégrale ix". On calculerait avec la même facilité la valeur de l'expression
quel que f&t le nombre des intégrations indiquées par le signe 2 ; et l'on trouverait , en désignant ce nombre par m ,
(a6) . 2ii...g*=i.a.5..an O (r^n'^t)) •
ou, ce qui revient au même ,
Dans l'équation (27), ^t(x) , ^%{x) , ... w^^^{x) , ^^(x) représentent des fonction» périodiques de la variable x , qui peuvent être choisies arbitrairement. Ajoutons que , ii l'on pose
(18) fi4.i.4.-2l4....J*'"=i4-7ïl,,z4.7]fj,.«« +
la formule (97) pourra être réduite à
( i54 ) On tirera d'ailleurs de la formule (a8)
m ^,^ m(3m-i) -^ m'(m-i) (5o) TfTli. = — — , 7ll)»= 'a4 ^ 1fR)S= 48*' •*^**'*
et généralement
<'om,=sj,-o" ^.:st:^:^:^.^- {TÏm-mï-\
le signe S s'étendant à toutes les ?aleur8 eDtikres, nollet ou poiilÎTes de q , r, $.. qui Térîfient la coodilion (ai).
