SUR LES DIFFÉRENCES FINIES
ET LES INTÉGRALES AUX DIFFÉRENCES DES FONCTIONS ENTIÈRES VmE OD DE PLUSIEURS VARIABLES.
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A l'aide des fonnnles que nous avons établies dans les articles précédents , on déterminera sans peine les différences finies e| les ioti^iyales aux différences finies des fonctions entières d'une ou de plusieurs yariables. Pour j parvenir» nous observerons d'abord que, si l'on fait usage des notations adoptées dans le second volume [pages 161 et saiv.] , les formules (5) et (29) de l'avant-dernier et du dernier article 8fi réduiront aux deux équations
(ê) 2î...ai"=;« ^;^ ■'■ H-3ttr 'J^;;r^^ +..+31U»''-f-3TLi-+.AJ0»''+-.
4Mt4a seeen4e pourra encore être présentée sous la forme
ou , ce qui revient au même , sous la suivante ,
(4) A-'*a^"==A-'''D-'«»« + 0lt,^--«+"D-«+'ir»+..,+JIt,«a?« + 3f^^
Seulement, pour que la valeur de ^^...m" fournie par l'équation (a) , (5) ou (4) devienne 4a plus générale possible, il faudra remplacer les constantes arbitraires comprise» dans les intégrales
O^m^n— rr...a?»(/flp'", D"'"+»r''= /V...a?»</i»'"-», etc.- ^
par 4^ fonctions périodiques arbitrairement choisies. Quant ^ux coeilioienta Mtp if»»
Mi , etc.. , STLi • JIl/> f SïLi » ^^c... » ils se iroaveront déterminés par les formules
(4) et (aS) des poges i47 et i53, ou, ce qui revient au même, par les deux équations
(5) (e-— i)- = l'^ii +M,2+M,«*+Jlf 3s'+etc ) =s~+M,«--^«+M.«'"'^*+etc. ,
Supposons maintenant que, dans la formule (i) ou (4) » on remplace successivement Texposant n par les suivants n+ i » n-|- t , ..... et que Ton combine par voie d'addition les formules ainsi obtenues , après les avoir respectivement multipliées par des coefficients donnés A , B , C , ... Alors , en faisant pour abréger
(7) tf = -rfCB» + J?»"*' + C»"*» + ... , on trouvera
(8) A'-a=A'"D'"tt+Jlf.A'«+'D'""*'«tt+Af.A'"+»D'"*»tt+M3A'"+5D'»-^»tt+ctc..., et
Comme on peut d'ailleurs , dans le second membre de l'équation (7] , fixer arbitraik'ement le nombre des termes , et réduire l'exposant m h xéro , la valeur de u que cette équation détermine , pourra être une fonction entière quelconque de la variable x. Donc, pour développer les différences finies ou les intégrales aux diflférences finies d'une semblable fonction en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la quantité h = ekx , il suffit de recourir aux formules (8) et (9). De plus, comme dans ces dernières les coefficients ilf , , Jf , , ... SlfCi * dTC» • etc doivent étre][déduits des
équations (5) et (6) , on trouvera encore
.V .m f hD \m
el
pourvu qu'après avoir développé les expressions
(/»-.}"•« et (/^-,)-»«
en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de A , et par conséquent en
( i57 ) termes de la forme
on considère la lettre D placée deyant la lettre u comme une Téritable caractérisliqae.
Dans le cas particulier où l'on suppose m= i , les formules symboliques (lo) et (il) se réduisent à
(12) Att=(/^—l)tt = /^tt— tt,
et Ton en conclut
(i4) Att = AZ)ttH D^uA —D'tt + etc... ,
ou , ce qui reyient au même ,
(16) tt + Att = tt + A— -^ T-r H 5- -:ri-+etc., ,
^ ' ^^ ^^ rfa? ^^ i.a dx* ' i.a.3 rfa?' ^^
(»7) ^««— ^ ~ a ^"^ 6 a (/a; 5o a.3.4 àx^ 4» a.3.4.5.6 rf«« "•
Il est essentiel de rappeler que la constante arbitraire, comprise dans l'intégrale jud»
que renfermç l'équation (17), doit être remplacée par une fonction périodique » mais arbitraire, de la variable x.
Concevons à présent que la lettre u désigne une fonction entière » non plus de la seule variable œ, mais de plusieurs variables indépendantes as, y 9 z, •••; et que l'on emploie les âractérjstiques
D,, DxS Dx^... ; Dj, Dj*, D/,.-.; D„ D.% D,^..., etc.,
DU
Ax, Ajc*, Ax',«..; A^ , Aj*, A^^,..»; As, A,*, A*',..», etc.,
