III.* AiiifiB. ai
placées devant une foDCtion de 0, y^ s,... pour indiquer les dérivées partielleé de cette fonction ou ses différences finie» ^partielles des divers ordres prises par rapport k X 9 par rapport à y , etc.. Alors > en posant
(18) ^œ=h, àyz=zky Lt =z i ^ etc., on tirera de la formule (10)
(19) A,'"tt=V,« — ly Up A/a;=V,e ^,— i/a, etc..., et par suite
(«o) û,«A/.*.ti = ^e ) \t ^ — \J ...tt
De même , si Ton emploie les caractéristiques
Dx-S D*— , Dx-',...; Dj-S D^— , Dj-'j.-; D.'S i>."S D.-S...; etc., Ax-», A,->, A,-',...; Ajr—, A,-», A,-S — ; A.-', A.-> , A.-',... ; «tC,
placées devant une fonction de cd , ^ » ^ > ••• » pour exprimer le résultat d'une ou de plusieurs intégrations indéfinies relatives à as, ou à ^, ou à z^ ... et do genre de
celles que Ton indique ordinairement par le signe / ou par le signe z , on tûmiti
de la formule (11)
e ''^ij u, Aj-»a = V,c ^— V «» etc., et par suite (sa) A,--'"A^-»...ii=V,e — !>/ ^e —1^ •••«.
Il est important d'observer qu'après avoir développé les seconds membres des équations (19), (30), (ai) et (22) en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des quantités h, , k , etc....» on devra 1.* considérer D,» Dj» •••• commode véritables caractérisliques; a.* substituer aux constantes arbitraires, comprises dans les intégrales indiquées par les exposants négatifs de la lettre D , des fonctions périodiques , mais arbitraires.
Concevons encore que Ton pose (a3) « — f(»,j^, »•...) •
( 159 ) On tirera successivement de la formule (12)
etc....
Ou aura donc, quel que soit le nombre des variables indépendantes x , y, z ^ ...
(t4) f(a4-^«»J^ + Ay»« + A«»— )=« •«•
et par suite
Donc, si Ton désigne par au, Taccroissement total que reçoit la fonction entière tt = f (a$,j,z,...) quand on 7 fait croître simultanément os de A» , y de A^ , z de A«^ ... on trouvera
Qd aura de même
A*tt = Ve ^ — ij u,
A^a = V,e — 'ly «*»
etc. • • f
et généralement, m désignant un nombre entier quelconque,
(27) A'"tt = V,C — ly u.
Les diverses formules que nous venons de rappeler , et qui étaient déjk connues , se trouvent rigoureusement établies par les considérations dont nous avons fait usage dans cet article, tant que la fonction u reste entière. Si le contraire arrivait, les mêmes formules subsisteraient encore , mais dans certains cas seulement. Ainsi , par exemple , quand la fonction u cesse d'être entière, les équations (16) et (17) , qui coïncident, la première avec la formule de Taylor , la seconde avec la formule d'Euler, subsistent seulement sous certaines conditions -dont Tune est la convergence des séries comprises dans les seconds membres.
