D'UN CORPS SOLIDE. ÉLASTIQUE, OU NON ÉLASTIQUE

§ 1.*' Considérations générales.

Dans la recherche 'des équations qui expriment les conditions d'équilibre ou les lois du mouvement intérieur des corps solides ou fluides , ou peut considérer ces corps ou comme des masses continues dont la densité varie d'un point à un autre par degrés insensibles , ou comme des systèmes de points matériels distincts , mais séparés entre eux par de très-petites distances. C'est sous le premier point de vue que les fluides ont été envisagés dans Tun des articles précédents et dans les divers traités de mécanique publiés jusqu'à ce jour. C'est aussi sous le même point de vue que nous considérerons ici les corps solides. Cela posé, soit M la masse d'un corps solide en équilibre, m une particule ou portion infiiiiment petite prise au hasard dans celle masse, x , jr , z les coordonnées de la particule m comptées sur trois axes rectangulaires , et p la densité du corps solide au point {x,jr,z). Si l'on nomme p\ p** , p'" les pressions ou tensions exercées au point {x^y^z) et du côté des coordonnées positives, contre trois plans parallèles aux plans des / » ^ t des s , a; et des x ^ y ; les projections algébriques des forces p' , p" , p''' sur les axes coordonnés seront deux à deux égales entre elles [voyez la page 4? du second volume] , et pourront être représentées eu conséquence par les quantités

/ A. F, E, (i) ! F, /?, JD,

( »6' ) Soient d'ailleon ? la force accélératrice qui sollicite la particule m , cl

les projections algébriques de celte force accélératrice sur les axes des o^ ^ y ^ z. En prenant x^y^z pour variables indépendantes^ on aura» comme on Ta prouvé à la page 1 1 ] du second volume,

/ dA , dF ^ dE , y

\ dx ^ dy ^ dz ^^

pe plusj si» après avoir fait passer par le point (x,y,z) un plan quelconque, on porte» à partir de ce point» et sur chacun des demi -axes perpendiculaires au plan, deux longueurs équivalentes» la première h l'unité divisée par la pression ou tension exercée contre ce plan » la seconde à Tunilé divisée par la racine carrée do cctlc force projetée sur l'un des demi-axes que l'on considère» ces deux longueurs [voyez le second volume, page 53] seront les rayons vecteurs de deux ellipsoïdes dont les axes seront dirigés suivant les mômes droites. A ces axes correspondront les pressions ou tensions principales dont chacune sera normale au plan qui la supportera » et parmi lesquelles on rencontrera toujours la pression ou tension maa:(mt£7n, ainsi que la pression ou len$io(> minitnutïi. Quant aux autres pressions ou tensions , elles seront distribuées symétriquement autour des axes des deux ellipsoïdes. Ajoutons que» dans certains cas» le second ellipsoïde se trouvera remplacé par deux hyperboloïdcs conjugués. Ces cas sont ceux dans lesquels le système des pressions ou tensions principales se compose d'une tension et de deux pressions» ou d'une pression et de deux tensions. Alors, si Ton substitue h la force qui agit contre chaque plan deux composantes rectangulaires» dont l'une soit normale au plan» cette dernière composante sera une tension ou une pression suivant que le rayon vecteur perpendiculaire au plan appartiendra à l'un ou h l'autre des deux hyperboloïdcs» et elle s'évanouira quand le rayon vecteur sera dirigé suivant une des génératrices de la surface conique du second degré qui touche les deux hyperboloïdes à l'infini. Concevons» pour fixer les idées » que l'on nomme p la pression ou tension exercée au point {x^y^z) contre un plan perpendiculaire à une droite » qui » prolongée d'un certain côté» forme aveo les demi -axes des coordonnées positives les angles a» p» 7. Soient en outre S l'angle formé par cette droite avec la force p qui agit contre le

( »6«) plan du coté que l'on considère ^ et les angles X , ^ » v compris entre la même force et les demi - nxes des coordonnées positives. On aura , comme on Ta vu dans le second volume (pages 4S et 49) »

/ pcosl == ^ cosa 4- Fcosp -|- JEC0S7 ,

pcosii.:=Fcosa'^BcosP'^Dcosyj

p COSv = £cOSa4- DCOSP + CCO87 , COS^ = COSaCOSX 4" COS^COSfx 4- C0S7C0Sy .

Par suite , la force p et sa composante perpendiculaire au plan seront déterminéei par les équations

(5) p* = (-ico8a+Fco8p+£co87)» + (Fco8a+jBcosp+Z)cos7)»+(jEcos«+Z)cosp+Ccos7)*,

(6) pco8^ = ^cos*a+Bcos*p+Ccos*7+:iDco8pco87+a£cos7C08a+aFcosacosp .

Il est aisé d'en conclure que , si Ton désigne par x^-^x , j-|.jr, »4-> 1®* coordonnées d'un point situé sur le second des deux ellipsoïdes ci-dessus mentionnés , on

aura

A%* + By + Cz* + %Djx + 5tEzx + 2Fxy = dzi,

Enfin les pressions ou tensions principales correspondront aux valeurs de a t ^ » 7 déterminées par la formule

COSX COS^ COSv

cosa cos^ ces 7

ou , ce qui revient au même , par la suivante (9) pco$9 = dbp =

^co8a+Fco8p+£cos7 Fcosa+Bco8p+Dcos7

ces a

cosp

Ecos«+Z)cosp+Ccos7 C0S7

et , comme on tire de la formule (9) , en faisant pour abréger ±p = «r ,

{J — »)C0Sa4-FC0Sp-(- £0037 = 0 , FcOSa 4- (B — ») COSP 4- ^COS7=: o ,

Ecosa 4- Dcosp 4- (C — •■) CO87 = o ;

pois, en éliminant cosa , cos^ » CO87 ,

(11) (^ — »)(^—»)(C — »)—Z>»(^ — ») — £•(« — ir)—F»(C—«^)4-a^iï'' = o,

il est clair que les pressions ou tensions principales seront précisément les valeurs numé*riques des trois racines de Téquation (11).

Pour tirer parti des équationl (3) , il est nécessaire de connaître les relations qui existent entre les pressions ou tensions A^B^C^DpEpP, et les condensations ou dilatations linéaires mesurées au point. {x,jr,z) dans la masse M. Ces^ condensations ou dilatations sont celles que produisent les déplacements des diverses particules de la masse M , tandis que le corps solide passe de Tétat naturel , c*est-2i-dire d'un état d'équilibre , dans lequel la force accélératrice 7 et les pressions supportées par la surface extérieure du corps seraient nulles , à l'état d'équilibre dans lequel ces forces cessent de s'évanouir. Gela posé , concevons que le point matériel correspondant aux coordonnées (c , j p z dans le second état du corps solide soit précisément cdui qui , dans le premier état , avait pour coordonnées les trois différences

$ » n » C seront des fonctions de ça ^ y^ z qui serviront à mesurer les déplacements du point que l'on considère parallèlement aux plans coordonnés; et, si l'on désigne par f une quantité positive ou négative qui représente la dilatation ou la condensation linéaire du corps solide mesurée au point {x,y^z) sur une droite tracée de manière 2i former avec les demi -axes des coordonnées positives les angles « » P » 7 » on aura , comme on l'a prouvé à la page 61 du second volume ,

(**^ (TITJ =tC0S«-- C0S«~ - COSp- - COS7J

, I ^ dm dn ^ dn \"

-f"lC0SP — T-COSa --COSS 7-COS7

\ aa? dy ^ as I

-f- IC0S7 — -—cosa --COSp 7-COS7

\.. dx dy d% I

Il en résulte que, si, 2i partir du point {x^y^z) on porte sur les droites en question une longueur équivalente à 1 + < > l'extrémité de cette longueur sera située sur la surface d'un ellipsoïde dont la construction indiquera les rapports constants entre lesdi- ' lalatîoBs ou condensations linéaires mesurées dans les diverses directions autour du point (^f/f ^)* Les dilatations ou condensations correspondantes aux trois axes de l'ellipsoïde sont celles que nous avons nommées principales. Les autres se trouvent symétriquement distribuées autour des mêmes axes. Ajoutons que, si Ton désigne par »', c*, «''' et v

( i64 ) des quantités positives ou négatives , propres à représenter i.* les dilatations on condensations principales, 9.^ la dilatation ou la condensation du volume au point («»r»9)> on aura [voyez la page 65 du second volume]

Observons enfin que , si l'on désigne par

("4) A=/(jF,jr,r),

la valeur de la densité p dans l'état naturel du corps, la densité correspondante è l'état d'équilibre sera évidemment déterminée au point (a?»/«0 P^^^ '^ formule