P- TT
Dans le cas particulier où les déplacements ( , n , S ont de très-petites valeurs , eu considérant ces déplacements , ainsi que leurs dérivées comme des quantités infiniment petites du premier ordre» et négligeant les infiniment petits du second ordre» on réduit la formule (is) à
di . du dt
f = -7- C08*« 4- T- CO**P + -r- C0S*7 dx dj ^ ^ dz
Alors , si l'on fait pour abréger
^— dm'
Ifl valeur de < deviendra
(l8) ff = c\,C0S*a + <xPoCO*'P + CC0S"7+a£)C0sPC0S7+9£C0S7C0Sa4-9yC08aCOftp.
Dans le même cas » si Ton porte , à partir du point [o^tj» ^) t et sur la droite qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a » p » 7 » une longueur dont
le carré représente la valeur numérique du rapport -^ , on trouvera» en désigniinlpar
X'\-Ti, y ^y f z^i les coordonnées de l'extrémité de cette longueur ,\
( i65 ) 09) <A,x' + ^y + Gï* 4- a<2)yï + a£zx + «^xy = ± i .
Donc celte eitrémité sera siluée sur la surface d'uD ellipsoïde qui pourra se changer en un système de deux hyperboloîdes conjugués^ Il est d'ailleurs évident que les trois axes de cet ellipsoïde correspondront aux dilatations et condensations principales. Quant aux formules (i3) et (i5) , elles donneront, dans Thypotlièse admise» [voyez la page 66 du second volume]
dx dj d% et
dx dy dz
Ajoutons que les condensations ou dilatations principales seront déterminées en grandeur et en direction par la formule
cHoCosa+^cosp-f^cosv ^co8« + f^)i,cosp+^cos7 <î^co8a+^oosp+Gcos7
ces a cos^ CO87
de laquelle on tirera
(«5) u-O(ia>-O(e-O-<0'U-'O-£*(ifi>-O-/*(c-O + a^£/=o.
Si la densité A , relative à l'état naturel du corps , était supposée constante , c'est-àdire, indépendante de x ^ y ^ z ^ l'équation (ai) donnerait simplement
A l'aide des formules que nous venons de rappeler, on peut déterminer les condensations ou dilatations linéaires correspondantes au point donné {p^j^z) d'un corps solide , quand on connaît les déplacements $,»»(• Donc , si l'on parvient à exprimer les pressions ou tensions A , B , C ^D ^ E y F à l'aide des condensations ou dilatatkmf linéaires , on pourra les exprimer aussi en fonctions des déplacements ( , 12 » C . Mrif, comme les relations qui existent entre les pressions et les condensations, ou les tensions et dilatations , ne sont pas les mômes pour le>s corps élastiques et pour les corps uoD élastiques , nous renverrons la recherche de ces relations aux paragraphes suivants.
IIL^ANNiE. s 9
Si les diverses particules du corps solide que Ton considère , au lieu d'offrir un état d*équilibre , sont en mouyement; alors , en désignant au bout du temps l par •* la vitesse de la particule m correspondante aux coonlonnées x , y » z » par ^ la force accélératrice qui serait capable de produire le mouvement effectif de cette particule, par u, Vf w les projections algébriques de la vitesse », enCn par 3Ci9 ^9 %
celles de la force accélératrice >p « on reconnaîtra sans peine que Ton doit aux équations (9) substituer les suivantes
dA , dF , dE , ,^ ,
dx dy dt
dE . dD . dC , ,„ ^. ^
puis , en prenant pour variables indépendantes x ^ y ^ z ^ % ^ on établira » comme dans un précédent article» entre les quantités ^,^, ][^»tt,v,w,E,n,;» les
formules (10) de la page i3o et les formules (ig) de la page i33. Si Ton suppose que les déplacements E , » , C et les vitesses u , v , tv conservent Constamment des valeurs très-petites , les formules dont il s'agit pourront être réduites à
d\ dt
/,8^ v-ili -f-^ y-^
Nous remarquerons, en terminant ce paragraphe, que la formule (16) de la page iS> subsiste dans le mouvement intérieur d'un corps solide aussi bien que d'un corps fluide ; mais qu'on doit la considérer comme une combinaison des formules (i5) et (i5), on (so) et (si). Ainsi , en particulier, si , entre l'équation (21) et l'équation (16) de la page i3a, on élimine p , alors, en négligeant les infiniment petits du second drdre> on obtiendra la formule
T - '"* ^ dt '
^- dt
dn '' = dt
et l'on en conclura
... dyj du , dv , dm
qui s'accorde, en vertu des équalions (37) » avec U formule (20).
S s. Sur l'équilibre et le mouvement intérieur dHun corps solide élastique.
Considérons un corps solide placé sous le récipient d'une machine pneumatique après qu'on y a dit le vide , et supposons que la température de Tespace qui environne ce corps soit partout la même. Ce que nous nommerons l'élat naturel du corps solide , ce sera l'état d'équilibre auquel il pourra parvenir si les diverses parties de sa masse et les divers éléments de sa surface ne sont soumis à aucune force extérieure autre que Taclion du calorique. Concevons maintenant que le corps, étant transporté dans un milieu quelconque, et sollicité au mouvement par des forces extérieures , vienne à changer de forme , mais que la température de chaque molécule conserve sa valeur primitive. D'après les notions généralement admises sur l'élasticité , le passage de l'état naturel à un nouvel état produira , en chaque point , si ce corps est élastique , des pressions ou tensions indSpendantes des états intermédiaires et du temps pendant lequel le changement de forme aura pu s'effectuer. Lorsque pour chaque point d'un semblable corps l'élasticité reste la même dans tous les sens , la pression ou tension exercée contre un plan passant par un point donné (^»/y2^] dépend uniquement des condensations ou dilatations linéaires autour de ce point « ensorte que, le système de ces condensations ou dilatations étant eonnu « on peut en déduire le système entier des pressions ou tensions exercées contre les divers plans qui renferment le point (0^9/9 -) • Alors c'est évidemment autour des mêmes axes rectangulaires que les deux systèmes de quantités dont il s'agit se trouvent symétriquement distribués. Par conséquent trois directions perpendiculaires entre elles, •t que l'on peut nommer directions principales, correspondent en même temps aux trois pressions ou tensions principales et aux trois condensations ou dilatations principales. De plus, il semble naturel de supposer, du moins quand les déplacements des molécules sont très -petits , que les pressions ou tensions principales sont en chaque point du corps élastique respectivement proportionnelles aux condensations ou dilatations principales. AdiODettons d'abord cette hypothèse dont l'adoption facilite la recherche des formules qui «xpriment les lois de l'équilibre ou du mouvement d*un corps solide ; et désignons par w' , w" t w'" les trois valeurs positives ou négatives de a variable
(5o) »^ = /jcos^ = ±:p,
( »68) t)ui seront propres à représenter les condensations ou dilatations principales. Les trois rapports
auront la mémo valeur numérique , et seront tous les trois positifs . attendu que les deux termes de la fraction
seront l'un et l'autre positifs quand il y aura dilatation» et négatifs dans le cas contraire. Gela posé, si Ton nomme k une quantité positive égale aux rapports dont il s*agit» k sera la mesure de l'élasticité du corps au point {x, y^ s) , et Ton aura
(32) ir = Al,
toutes les fois que les angles a , ^ , 7 correspondront à une direction principale; d'où il suit que la formule (9) pourra être réduite à
A cosa+Fcosp+£co87 Fcosa+^cosp+Dcosy JScosa-HDcosp+Ccosy
^ ' cosse COSp COS7
Or, en divisant cette dernière par la formule (s s) » ou obtiendra la suivante
^7cosa+Fco9f>+Ecos7 Fcosa+Bcosj3+Dcos7 £cosa+Dcosp+Ccos7
' ./îjCosa+ j'cosp+<rco.s7 /cosa+.^cos?+£)cos7 ^cosa+^cosp+Gcos7 ~ '
de laquelle on tirera
(F — A^')co8a4- (B — Ai(î,)cosP4- (Z) — A;^)cos7=o , {JE — /:^,)cosa 4- (D— A:^)cosp + [C — A:G)co57= o ;
et , comme les équations (35) devront subsister pour les trois systèmes de valeurs de « , f) , 7 correspondants aux trois directions principales , on en conclura évidemment
(36) A = k^, B = h^\, C = ke, D — kS), E = kC. F = kg.
En effet, la première des équations (35) » si elle n'était pas identique , exprimerait que
( >69) la direction déterminée par les angles œ » [^ , 7 est perpendiculaire à une droite tracée de manière à former avec les demi -axes des coordonnées positives des angles donl les cosinus soient proportionnels aux différences
(57) A — k.X. F — kg, E — k£,;
ou , en dVutres termes » qu^ celte direction est parallèle à un certain plan. D'ailleurs les trois directions principMles; étunt perpendiculaires entre elles, ne sauraient devenir panllèles il un même plan. Donc la première des équations (35) qui subsiste pour chacune des directions principales , sera nécessairement identique, et les différences (57) se réduiront à zéro. On peut en dire autant des différences comprises dans la seconde et la troisième des équations (55) ; d*oii il résulte que les formules (36) seront toutes vérifiées.
On parviendrait encore facilement aux formules (36) par une autre méthode que nous allons indiquer.
L'équation (3a) étant vérifiée par hypothèse toutes les fois que les angles a , ^ , 7 .f^ correspondent à une direction principale; il en résulte que, dans le cas où les équations (7) et (19) représentent deux ellipsoïdes, les axes principaux du premier ellipsoïde sont proportionnels à ceux du second. Donc ces deux ellipsoïdes sont semblables l'un à l'autre ; et, puisqu'ils offrent non-seulement le même centre, mais encore des axes principaux dirigés suivant les mêmes droites , il est clair que les coefficients des carrés des coordon^ nées X , 7 , z et de leurs doubles prodoits devront varier dans un rapport constant , lorsqu'on passera de l'équation (7) k l'équation (19). Donc, si l'on désigne par k ce rapport, on trouvera
Il est d'ailleurs facile de s'assurer, i."" que , si chacune des équations (7) , (19) représente non plus un ellipsoïde , mais un système d'hyperboloïdes conjugués , les hyperboloîdes représentés par la première équation seront semblables aux deux autres, et qu'en conséquence la formule (58) ne cessera pas d'être exacte , s."" que la quantité k sera tou« jours positive. Ajoutons que la formule (38) comprend évidemment les équations (36).
Les équations (36) étant une fois établies , on tirera de ces équations » combinées avec les formules (6) , (18) et (5o) , v = Ac , ou » ce qui revient au même,
fiJg) /?cos^ = Ai,
quels qne soient d'ailleurs les angles a, p, 7. On peut donc énoncer la proposition suivante.
Lorsque dans un corps élastique on suppose les déplacements des moléeuUs très-petiUt et les pressions ou tensions principales proportionnelles aux condensations ou dilatations principales » la composante perpendiculaire à un plan de la pression ou tension eœerciê contre ce plan conserve toujours le même rapport avec la condensation ou dilatation qui a lieu dans le sens de cette composante.
Le rapport dont il est ici question ou la quantité positive k qui mesure l'élasticité du corps solide au point (ce, y, z) dépend de la nature du corps en ce point. Si Ton suppose les différentes parties du corps solide formées de la même matière , la yaleur de k ne yariera pas lorsqu'on passera d'un point à un autre; mais» dans la supposition contraire , k deviendra généralement une fonctiou des coordonnées x ^ y ^ z. Observons en outre que, dans la première hypothèse, si la loi de proportionnalité dea tensions aux dilatations s'étendait à des dilatations quelconques , il suffirait , pour déterminer la quantité h , de chercher la tension capable de produire une dilatation représentée par l'unité, c'est-à-dire, capable de doubler l'une des dimensions du corps solide. On j parviendrait , en composant avec la matière du corps un cylindre droit à base circulaire et d'une hauteur très -petite, puis en fixant la base supérieure de ce cylindre dans un plan horizontal , et suspendant à la base inférieure un autre cylindre de même diamètre , mais formé avec une matière inextensible dont la densité serait équivalente à la densité naturelle du corps. Alors, en supposant la hauteur k du second cylindre tellement choisie que celle du premier cylindre se trouvât doublée en raison de la dilatation produite par le poids du second , on pourrait prendre le poids dont il s'agit pour mesure de la pression totale exercée contre la base du premier cylindre, et , en divisant ce même poids pnr la surface do la base , on obtiendrait la pression en chaque point, et par conséquent la valeur de la constante k. D'ailleurs, si l'on désigne par A la densité naturelle du corps , par s la surface de l'une des bases dans l'un des cylindres, et par ^ la force accélératrice de la pesanteur, le poids du second cylindre sera
et , en divisant ce poids par s , on trouvera
(Vp) k = gk\.
Concevons à présent que l'on considère la loi de proportionnalité des tensions aux dilatations comme uniquement applicable aux cas où les dilatations sont très-petites. Alors, ])(>ur déterminer la constante k à l'aide de l'expérience indiquée, on devra disposer de la hauteur du second cylindre de manière à produire seulement dans celle du premier une dilatation représentée par une très-petite fraction, par exemple , une dilatation do
f ', f etc. Mais alors aussi, pour obtenir la quantité k ,
01} defra maltiplier par looo , par loooo » par looooo h*« la hauteur du second cylindre. On pourrait d'ailleurs remplacer le second cylindre par un poids quelconque P , et , si ce poids produisait dans la hauteur du premier cylindre une dilatation mesurée par Ia
fraction — , on aurait , pour déterminer la quantité k , l'équation suivante
Enfin» au lieu de fixer la hase supérieure du premier cylindre et de suspendre le poids 9 à sa base inférieure , on pourrait fixer cette dernière et charger du poids $ la
base supérieure. La pression qui en résulterait produirait non plus une dilatation , mais une condensation qui serait encore mesurée par la fraction — .
Si la quantité k , au lieu de conserver la même valeur dans toute l'étendue d'un corps solide , variait d'un point à un autre • cette quantité deviendrait » comme on l'a dit, fonction de x , jr , z , et pourrait même renfermer le temps t , si le corps était -en mouvement. Alors la valeur de k devrait être donnée en chaque point dans l'état naturel du corps, et déterminée dans cet état par une équation de la forme
De plus, comme 9 dans l'état d'équilibre ou de mouvement du corps, la molécule correspondante aux coordonnées x , jr , z serait précisément celle qui^^dans l'état naturel, avait pour coordonnées les trois différences
il est clair qu'on aurait » dans Tétat d'équilibre ou de mouvement »
(43) k = f{x-li,y^yi,t^i).
Or cette dernière valeur de k , lorsqu'on y regarde S » « , C comme infiniment petits du premier ordre, est sensiblement égale à celle que fournit l'équation (4s).
Revenons maintenant aux équations (36). Si l'on y substitue les valeurs do «A) , tfL > ^ > S) f C ^ ^ données par les formules (17) , on en tirera
( 17» ) puiit , en coiiiLinant ces dernières avec les équations (3) , on trouvera pour les projections algébriques de ia tension ou pression supportée au point {Xpjr,z) par un plan perpendiculaire au demi-axe qui forme avec ceux des coordonnées positives les angles a, p , y.
;,C08;. = *|-(- + Jcosa4-^CO»P+-(4-^)c0.vj. , {i (dl di\ ,1 /rfç , dn\ „ , rfç
On devrait y à la rigueur» dans les équations (44) ^^ (45)* supposer la valeur de h déterminée par la formule (43). Mais , si , en considérant i $ n , K comme infiniment petits du premier ordre , on néglige les infiniment petits du second ordre» on pourra remplacer la valeur en question par celle que présente la formule (4s).
Pour obtenir, dans l'hypothèse que nous avons adoptée» les équations d'équilibre d*un corps solide parfaitement élastique , mais dont les molécules seraient très-peu écartées des positions qu'elles occupaient dans l'état naturel du corps » il suffira de combiner les équations (44) a^^c les formules (2) » et la formule (20) avec la formule (ai). On trou-
vera amsi
dz
dy
dz
V lu + Ty — + T 71 H P*' = o •
1 \ dx ^ dz
dx
I \ dy^ dz) , \ dz) .
+ T d} + Tz — +P^=<»'
fl[^^ </(U) dy dz
Les quatre formules précédentes sont les seules qui subsistent dans toute l'étendue du corps solide entre les quatre inconnues Ç, „, ç. p considérées comme fonction» des variables irfdépendantes x, y , z, 1. Mais, outre ces formules, il y en aura d'autres
( '75 ) qui seront relatives aux surfaces par lesquelles le corps peut être terminé. Supposons , pour fixer les idées, qu'il soit terminé par deux surfaces « savoir, i."* une surface rigide et invariable , assujettie de manière à ne pouvoir changer de forme , et représentée par l'équation
(48) f(aj.7,«) = o,
s.* une surface libre soumise à une pression extérieure P, et représentée dans l'étal naturel du corps par l'équation
Admettous d'ailleurs que la pression extérieure P soit normale en chaque point à la surface contre laquelle elle agit. On aura en même temps , pour tous les points de la surface invariable ,
et y pour tous les poil
{{x,y,z)=o, ç = o . iï = o , i; = o ;
les points de la surface libre ,
pCOSX = — PcOSa , pCOSpi = — PCOS^ , pCOSv = — PcoSy /
le^ valeurs de pcosl , pcosft , pcosv étant déterminées par les formules (45) , et les angles « > ^ » 7 par l'équation
.- cosa cosp __ ^ COS7
[ dw 1 \ dj I \ dz 1
à laquelle on pourra, sans erreur sensible, substituer la suivante
cosa COSp CO87
[ dai } \ dy j [ dz j
Cela posé, les équations (5i) se réduiront à
