en supposant A et à constantes

d^i rf'g dn dy, a y a i/«6

rf«* "'" ify> "*" i/x» "^ </j? ■*" ^A gh dt*-

^ l \ da* dj^ ^ dz* ^ ay^ gk gh dt* *

d*K d*i d*K rfu a ^ ^ ^*S

{ «76 ) Si Ton a)outo ce8 dernières formules après avoir difTérencié la première par rapport à .r . la seconde par rapport à 7, la troisième par rapport à s , on en conclura

d'j d^j d^yj i I dX dY c/Z \ i d^

Dans le cas particulier où la force accélératrice 9 s'éiranouit, cl où l'on a eu conséquence .Y = o , y = o , Z = o , les formules (58) et (Sg) donnent simplement

dx* "^ d>> "^ r/z' "^ dx g h dl^ ' ,^ , , d^Tï d^T, d^n d'j a d^n

^/j;> ■*" rfjr. "r--;7;r+ 'di~ gh dn '

r. d^j d^M ^, d^yj 1 d^M

dx-" "^ dy^ "^ dz^ 'gh df

On arriverait encore aux mêmes résultats, si la force accélératrice v était supposée constante cl constamment parallèle à une droite donnée.

Il est bon d'observer que, dans ces diverses équations, les quantités S • » , ^ et -j représenteront les déplacements d'un molécule m du corps élastique , mesurés parallèlement aux axes des x , y , ; , et la dilatation ou condensation du volume de cette molécule , tandis que le corps solide passera de l'état naturel à l'état de mouvement qui subsistera au bout du temps t. Il en résulte, i.^'que les valeurs initiales de ( , 1: , ç , '^ ne seront pas nulles ici comme dans les formules que nous avons employées pour déterminer le mouvement des fluides; 2.° que la quantité désignée par u dans l'équation (61) est à très-peu près celle que nous avons désignée par » dans l'équation (81) de la page i45- D'ailleurs, si Ton adopte la théorie précédente, il suffira, comme nous le montrerons plus tard , do recourir d'une part à l'équation (81) de la page \t\h , d'autre part à l'équation (Gi), qui est de même forme que la première, pour déterminer les lois de la propagation du son dans l'air et dans un corps élastique. Donc les lofe dont il 8*agit demeureront les mêmes dans l'air et dans les corps élastiques. Ainsi, par exemple, la vitesse du son sera constante dans un corps élastique comme dans l'air* Seulement elle dépendra de la quantité k , et par conséquent de la matière dont le corps sera corn* posé.

( »77 ) La plupart des équations établies dans ce paragraphe , et particulièrement les formules (59) , (44) » (5^) » (56) > (58) > (59) sont extraites du Mémoire que j'ai présenté à l'Académie des Sciences le 5o septembre i8ss. Ces mêmes équations seraient remplacées par d'autres du même genre , si Ton modifiait l'hypothèse précédemment admise. Ainsi ,

par exemple, les formules (44)» (4^) , (46)» etc acquerraient de nouveaux termes,

et' deviendraient plus générales , si , pour un point donné d'un corps élastique , on supposait chaque tension ou pression principale composée de deux parties^ dont l'une serait proportionnelle à la dilatation ou condensation linéaire mesurée dans le sens de cette force , l'autre étant uniquement dépendante de la position du point* Admettons main tenant cette dernière hypothèse, et soient en conséquence

(6a) t' = A.' + /? , v' = ki" + R, t:r'" = Al'" + & ,

k , B désignant des quantités qui ne pourront être que des constantes ou des fonctions de 26-—$, j — n, z — ç. On devra remplacer l'équation (55) par la formule

,^,, ^co8a+Fcos6+£cos7 Fcosa+BcosS+Dcos7 -Ecosa+jpcosô+Ccosv ., . -,

(65) I ^= T ■ = i.z=Ari + fl,

^ ' ccfca cosp CO87 ■

ou, ce qui revient au même, par la suivante^

(64) At =

(^-Jt)co8a4-Fcosp+JBco87 Fco8a+(Jg-/^)cosp->-Dco87 Ecosa'f Dcosp-f (C-/^)c0SY

COSa COSp CO87 *

Or, en combinant celle-ci avec l'équation (22) , et raisonnant comme à la page 168, on obtiendra , au lieu des formules (56) , les six équations

/ A = kji^ + B. B = h^ + B, C = kQ + B, (65)

D=kS). E = h£^, F = kg.

On trouvera par suite , au lieu des formules (59) , (44) et (4<^) f (66) pcosS = kz + R,

( »78) dx dy dz

(68) j ,co.f = «co.p + *jj(£ + ^)co..+ ioo.p + j(^+^)cot,j .

On peut conclure des équatious (68) que, dans la nouyelle hypothèse, la pression p , exercée au point (cb»j,£) contre un plan quelconque , sera la résultante de deux autres forces » dont Tune représentée par B restera perpendiculaire h ce plan , tandis que la seconde coïncidera en grandeur et en direction ayec la pression que déterminent les formules (45). Quant aux équations qui exprimeront l'équilibre ou le mouvement du corps solide , on les déduira immédiatement des formules (46) et (67) en ajoutant aux premiers membres de ces formules les termes

dK dh dR

Conceyons à présent que la partie R commune aux trois pressions principales soit proportionnelle à la quantité u qui mesure la dilatation ou la condensation du volume an point (05,7,2). On aura

(70) il = K« ,

K désignant un coefficient qui sera constant, si le corps est homogène, et que l'on pourra considérer comme fonction des seules variables x , jr , t dans le cas contraire. Cela posé , les expressions (6g) deviendront

rf(J[v) d(K^j) djKy»)

^""' dx ' dy • dz '

Par conséquent on trouvera , si le corps élastique est en équilibre ,

dx ^ dj """a dz '^ dx "^^

a dx dy %

dz rfT

rf(iCu)

\ a ^a? ^^ a dy ^^ dz ^ dz

et, si le corps est en mouvement.

+ eZ = o

'^^=f-dF'

rfj'

I \ da?^ i/^y , 1 \ dy^ £/«/ , \ dzj ^ d[Kyi) , ^ £f»Ç

Il est essentiel d'obseryer qu'aux formules (72) et (75) on devra toujours réunir les équations (ao) et (47). Ajoutons que des formules (6a) , (66) et (70) combinées entre elles on tirera

(74) w' = k%' + Au , ^^ = kt" + jKu , ••'" = kl"' + ICu ,

(75) pcos^ = A« + iCu.

Quant aux équations qui se rapporteront à la surface extérieure du corps solide, elles seront semblables à celles que nous avons déjà données (page 173). Seulement on devra, dans les équations (5i), supposer les valeurs de pcosX, pcosii, pcosv déterminées, non plus par les formules (4&)» u^iis par les formules (68).

Lorsque les quantités k , K , ^ deviennent constantes, les formules (7a) et (73) , divisées par p , se réduisent aux suivantes :

( «8o ) * fin 4- m 4- ili\ 4.iî2iL ^ ^ Z =r

A /£! . £11 i Jlli\ 4. ^ + '-'^ £i 4- AT— £1

^''^ 1 aA Irfa:' "*" rfy* "*" rfs* /"^ aA rfj "" rf/' '

A /rf'i; rf'Ç <^'g\ . ^^"^ «^" 4 2 = £li

aAUaî* "•" dy "•" 'rf2> / "*" a& </« "*" dt'

Or , si l'on combine par voie d'addition les trois formules (76) ou (77) , après les avoir respectivement différenciées par rapport à x, y , t , et en ayant égard k l'équation (•io) , on trouvera

, „, k + K. /rf'n , rf'« , d'yj\ , dX , dY , dZ

('«) -T-lrf^ + -^ + -rf7^) + "5^ + 17 + "57="'

k-\-K Id-y, d^yj ^ d-^j\ dX dY dZ r/'u

^'9^ ^ A \dx- "^ dy- '^ dz-)^ dx'^ dy '^ dz ~ dn *

Dans la nouvelle hypothèse que nous avons adoptée» on déterminera sans peide In

valeur du rapport compris dans les formules (78) et (79). Pour y parvenir,

il suffirai de recourir à une expérience du genre de celles que nous avons déjà indiquées [ page 8 ]• Concevons en effet qu'après avoir composé avec la matière du corps un cylindre droit à base circulaire et d'une très- petite hauteur, on renferme ce rylindre dans une botte de même diamètre , mais formée d'une matière inextensible, et ^ que l'on pince sur la base supérieure du cylindre un poids <$ capable de produire une

diminution de* hauteur et par conséquent une condensation mesurée par — • Si Ton

nomme a la surface de l'une des bases , — représentera la pression principale

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( i8i ) que la base supérieure supportera eD chaque point, et» en posant dans la première des formales (74)

on trouvera

On aura donc

l = (ft+i8:)T

(&o) kJ^K = n^

Si maintenant on pose

(81) n^ = g/iA.

^ désignant la densité naturelle du corps , et g la force accélératrice de la pesanteur, — sera la hauteur qu'il faudrait attribuer à un cylindre inextensible de même diamètre que le premier , et d'une densité égale à ^ , pour produire dans le premier cylindre la condensation mesurée par — . D'ailleurs on tirera des équations (80) et (81]

(8«) -^ = gA,-

puis, en substituant dans les formules (76) et (79) la valeur précédente du rapport '9 on se trouvera de nouveau ramené aux formules (56) et (Sg). Il est permis d'en

conclure que la propagation du son à travers les corps solides suivra précisément les mêmes lois dans les deux hypothèses que nous avons successivement adoptées , pourvu qu'on détermine toujours la hauteur k à l'aide de l'expérience q^ie nous venons de décrire.

Supposons à présent qu'au lieu de renfermer dans une boite inextensible le cylindre dont nous avons parlé, on se contente de le placer sur un plan horizontal. Il sera facile d'assigner la dilatation qu'éprouvera le diamètre » lorsqu'on chargera la base supérieure d'un poids capable de produire dans la hauteur de ce cylindre une condensation mesurée par — • En effet , dans la supposition dont il s'agit , la tension principale que supportera en chaque point la surface latérale du cylindre sera évidemment nulle , et Ton pourra en dire autant des tensions qui seront exercées en un point quel-

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conque du cylindre , contre des plans parallèles à l'axe. Donc des trois quantités v' , v" , v^\ il y en aura toujours deux, par exemple, «•", v'[' , qui s'évanouiront, et Ton trouvera par suite

(85) A:*''+iî[u=Afi"' + iî[u = o.

Comme on aura d'autre part

on tirera de la formule (85)

A+2JÏ n '

Il résulte des équations (85) et (8G) qu'à une condensation de la hauteur du cylindre mesurée par — correspond une dilatation du diamètre mesurée par la fraction

A: + 2 JK 71 2 n

et une condensation du volume mesurée par la fraction

Lorsque dans les formules (76) et (77) on suppose h=:2K , elles coïncident avec celles que M. Navîer a données pour déterminer l'équilibre ou le mouvement des corps élastiques dans un Mémoire présenté h l'Académie des Sciences le i4 mai 1821, et que M. Poisson a reproduites en les établissant d'une autre manière dans un Mémoire qui n'est pas encore publié. Alors les équations (85) et (8G) donnent simplement

Au reste, je reviendrai sur les formules (76) et (77) dans un second article, qui sera consacré h la recherche des équations d'équilibre ou de mouvement des corps solides considérés comme des systèmes des points matériels distincts les uns des autres , mais séparés par des distances très-petites , et qui contiendra les formules générales que j'ai données à ce sujet dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le i.* octobre 1827.

Je remarquerai, en terminant ce paragraphe, que les équations (7a), (70), (;6]^ (77^» (7S) et (70) ne devraient subir aucune modification, si Ton attribuait aux pressions désignées par A , B , C , D , E , F , non plus les valeurs que déterminent les formules (67) et (70) , mais ces mêmes valeurs augmentées de constantes arbitraires.

§ 3. Sur le mouvement intérieur (Cun corps solide non élastique»

Dans un corps solide non élastique, les pressions ou tensions ne dépendent pas seulement du changement de forme que le corps éprouve en passant de l'étal naturel à un nouvel état, mais aussi des états intermédiaires et du temps pendant lequel le changement de forme s'effectue. Dans un semblable corps l'élasticité disparaît entièrement , lorsque les pressions ou tensions deviennent indépendantes de l'état naturel du corps , et peuvent être déduites, à la fin d'un temps quelconque désigné par t ou t + A< , du changement de forme que le corps vient de subir dans un instant très-court ^t. Alors le système des pressions ou tensions exercées à la fin du temps t contre les divers plans qui renferment un point donné (a;, j,c) dépend uniquement des condensations ou dilatations linéaires qui ont lieu autour de ce même point, pendant l'instant ^t y c'est-à-dire, des condensations ou dilatations instantanées que déterminent leé formules (17) et (18) , quand on substitue aux déplacements absolus ç , r, , ç d'une molécule les déplacements infiniment petits et instantanés

dl du dt

(88) —^t = u^ty —£it = v\t, —ûit = tv^t

que cette molécule éprouve parallèlement aux axes des x , j et z. Par suite , les condensations ou dilatations instantanées et principales doivent être dirigées suivant les mêmes droites que les pressions ou tensions principales , et ces deux systèmes de quantités doivent être liés entre eux d'une certaine manière. Parmi les hypothèses que l'on peut faire à ce sujet , l'une des plus naturelles consiste à supposer quojes trois pressions ou tensions principales sont en chaque point proportionnelles aux trois condensations ou dilatations instantanées et principales. Si l'on admet cette hypothèse; lés pressions ou tensions exercées contre trois plans perpendiculaires aux axes des x , j , z , et les projections algébriques de ces pressions ou tensions sur les axes , c'est-à-dire, les quantités (2) seront déterminées, dans un corps solide entièrement dépourvu d'élasticité, non plus par les formules (44) » niais par les formules semblables

^ . dw

dy'

^ 1 , tdv , dw\ ^ 1 , fdw , du\ i [du dv\

^=tM^+^)' ^=-t^[t.+i;)' ^=tH^+5ï)

C »84 ) que ToD déduit des #ix praDièret , en s olMCitiuiDt au déplacemesU ; « n • ; les quantités ^88)^ et an prodait kM ose nonveDe f9BCti<m k des différences 0—- S» jr — n » z — ^. Ilest essentiel d*obserrer qne cette fonction k se réduira simplemeot k ane constante , si les direrses parties da corps solide sont fermées de la même matière. Si maintenant on combine les équations (89) arec les formules ys3) , on trouvera

\ dy dxj

'"T dy ^

+?z=pi.

les râleurs de .% » 7 « ^ <^^ ^^ u » v , w étant liées à celles de l . r, , l par les formules (10) do la page i5o et les formules (19) de la page i53. Quant aux quantités V et p qui représentent i.*la dilatation du volume d*une molécule , tandis que le corps passe de l'état naturel à l'état de mouvement qui subsiste au bout du temps t , 2.^ la densité du corps h cette époque» elles seront toujours déterminées par les équations (]3) et (i5).

Dans le cas particulier ob l'on suppose les déplacements S , u » C très-petits pendant toute la durée du mouvement » et où les quantités k , A deviennent constantes, les équations (i5) et (i5) doivent être remplacées par les équations (so) et (s^)» et les formules (C4) peuvent étro réduites aux suivantes:

dx^ "^ dy*

\ dx^

dx*

dy*

dz*

\dtl , 2A y aA rfg

\dtl . 2A aA dv