CO
par
les trinômes
COS»COSa,+COSf.COS3,+COS7C087,, COSaCOSaa+C05ScOS|^a+COS7COS7a, COSaCOSa3+CO«^OSp3+C087COS7î.
On aura donc par suite
'C=S ±:-- (cOSaCOSa, + COSSCOSf^, 4- C0S7C0S7.)Y(^)
U.^) /L = S| — (cOSaCOSa. + COSfiCOSfJ. + COS7C0S7t)^/(r) ,
,\7nr
\B =^S\ (<:OSaCOSz, + C0Si-C0Sp;, + C0S7C0S7,)'(C0SaC0Sai
.+cospcosp,+cos7COS7,)»/(r) j •
Or , si Ton développe le second membre de chacune de ces dernières équations en une suite de termes proportionnels aux sommes comprises dans la formule (3i) , et si Ton remplace par zéro celles des sommes en question qui renferment des puissances impaires de cosa , de cosp ou de C0S7 , on trouvera , en ayant égard aux formules (37) , (38), (39) et (40,
y G=G(cos'a,+co»*pi4-<^O8*70>
£==L(cos^a, + cos^Pi+cos^7i)+6/î(cos*p,cos*7,4-co*'7iC08'««4"C08*a,cos»p,),
(44) { iJ = iR (cOS*p,C08'7a+CO»'PaCOS*7x+COS*7,COS»aa+COS*7aC08»a,+C08*axCOS'Pa+C08'a,CO»'Pi) + ^R (cOSPi COSp, COS7, C0S7a 4" COS71 C0S7a COSa, COSa, + COSa, COSa, 008^1 COSpa) -|- L (COS' a, ces' a, -J- COS' p, 008* p, + COS' 7i COS' 7,) .
Gomme on aura d'ailleurs
008' a, + COS'P, 4" C08*7, = I , COS'a, + COS'P, + C0S*7a = 1 ,
et par conséquent
1 — cos^a. — COS^p, — 008^7i = (008*a, -}" COS'P, -|- C08»7,)' — OOS^a, — OOS^Pj — 008*7,
= a(C0S*Pi0O8'7, 4-C08"7,OOS'ai-|-C08»ai008*Px) ,
1 — (00S*Px008'7> + C08'P,OOS^7i + COS'7,0OS*a, 4" C08'7aC0S'ax -|- OOS'axOOS'p, -J- COS'ajOOà'P.) = (C0S'a, + OO8'px + CO»'70(^^^*'*« + C^8'Pa + ^^Si'70 — (0OS'Pi008'7,4"CO8'P,0OS'7i-|-elC.) = (COS'ax008*aa4-COS'P,COS'Pa + C08'7x008'7a)
= — a(cO8PxCO8pa00S7xCOS7a + COS7i0OS7a0OSax0OSaa-j-C0Sa,CO8aaCO3Px0O8Pa) ,
il est clair que la première des équations (44) sera identique» tandis que la seconde et la troisième donneront 2L = 6/Î, ou
Gela posé , on tirera des fornuiles (42)
(40, j ,= ,« + c,(4|: + Jl+±f)+.i,S.
la valeur de u étant déterminée par l'équation
GonceTons maintenant que , dans l'état primitif du système des molécules m , m' ... , et du point (a»6,c) comme centre avec un rayon l convenablement choisi, on
décrive une sphère qui renferme toutes les molécules dont l'action sur la masse m a
une valeur sensible.. Divisons le volume t^ de cette sphère en éléments très-petits
V , v'» v', etc , mais dont chacune renferme encore un très-grand nombre de
molécules. Soient 3JC ^^ somme des masses des molécules comprises dans la sphère ,
et
£nfîn supposons que les sommes des masses comprises sous les volumes élémentaires
V , y\ v', ... soient proportionnelles à ces mêmes volumes , et représentées en conséquence par les produits va , v^A , v^A , .... Alors, si la fonction f{r) est telle que^ sans altérer sensiblement les sommes désignées par G et par R , on puisse faire abstraction de celles des molécules m , m' , m* , ... qui sont les plus voisines
de la molécule m , les valeurs de G , B , fournies par les équations ifiy) et (Sg)
différeront très-peu de celles que déterminent les formules
IC = ~ SLdt rcos-a^r) . V] , B= — S[rcos*acos»p/(r) . v ] , quand on étend le signe S , non plus à tous les points matériels m , m\ m", •..,
( so3 )
mais à tous les éléments y , y\ y" , ... du Tolume tp. Or, dans cette dernière
hypothèse , le second membre de chacune des expressions (49) pourra être remplacé par une intégrale triple relative à trois coordonnées polaires dont Tune serait le rayon vecteur r , tandis que les deux autres représenteraient les angles formés 1 .® par le rayon vecteur - r avec l'axe des x , 2.® par le plan qui renferme le même rayon et l'axe des X avec le plan des x , y. Soient p » q les deux angles dont il s'agit. Chaque intégrale triple devra être prise entre les limites
et l'on pourra même» sans erreur sensible , remplacer la seconde limite de r ou le rayon l par l'infini positif. Cela posé , on trouvera
C G = ±:—C r^''r''r\f{r).cos^a$mpdpdqdr, (5o) )
I B = — III r^f{r).cos^oLco^*psinpdpcUjidr;
et, comme on aura généralement
(5i) co8a = co5p, 005^= sinpcos^ , COS7 = sinpsin^ 9
on en conclura
/ / cos^(xsmpdpdqz=:2n j cos^pBiapdp^z — ,
J J ^^**"^^**P«*°P^P^= r^'^cos'î^ r''cos*p(i-cos'p)sinpc/;a==7rfY--|-J=-^ . Par suite les formules (49) donneront
D'ailleurs , si , pour des valeurs croissantes de la distance r , la fonction f[r) décroît plus rapidement que la fraction —r- , si de plus le produit r^f{r) s'évanouit pour r = o , on trouvera, en supposant la fonction f\r) continuoi^t en intégrant par parties
On aura dooc alors (54)
et par conséquent on tirera des formules (4G)
X = iB
da '
dh de
Lorsque les quantités » désignées dans les formules (4o) et (48) par les lettres G , Il ^ I , L^ M f N , P , Q 9 R et a, deviennent constantes , c'est-à-dire » indépendantcs des coordonnées a , b , c , ou , ce qui revient au même, de la place qu'occupe
la molécule m > alors , en faisant, pour plus de commodité ,
(z: + c)g + (5 c)ii + (Q-C)5A.
(P+i,j+(P+fl)«
on réduit les équations (4o) aux trois suivantes
* A Wa "*" rf* "*■ rfc j '
^\da "^ db "^ de ) ' Dans le cm particulier où les conditions (4i) et (45) sont remplies, il suffit dé poser
(59) (lî4.C)A=-ift, (fl — C)A = /S:.
•pour ramener les équations (56) et (57) à la forme
aa ab ac
*=T*(^+4)- ^-H^+^)- ''=T»(l+4rj-
Si , de pluB > la condition (54) est Térifiée , on aura A: = o , et par suite
(61) Az=:JB = C = Kv, D = E = F=^o.
Jusqu'à présent nous avons considéré comme variables indépendantes les quatre quantités a , b , c , t . Mais il est facile de reconnaître comment on devrait modifier les ■diverses formules auxquelles nous sommes parvenus , si l'on voulait prendre pour variables indépendantes, avec le temps t , les coordonnées x , y 9 z. Soient effectivement» au bout du temps t , et dans le cas où l'on regarde a^ b , c comme variables indépendantes
On iîrera des formules (4) et (62) , en considérant x , j , z comme variables indépendantes ,
.^.. da ^ (/Ç db dYi de __^ rfÇ
da dx * dx dx ' dx dx *
