UL* ANNÉE
( so6 ) (65) S = *(«.*.'')è+M«.6.c)^ + n«.Mg
= *(a.6,c) — |*(a,6.c)^+X(a,6,c)^+Y(a,6,c)gj.
Or , si l'on contioue de regarder >i , n , K et leurs dérivées comme des quantités infiniment petites du premier ordre , on conclura de l'équation (65) , en négligeant les infiniment petits du second ordre ,
En raisonnant de la même manière , on établira successivement les trois formules
De ces dernières, comparées aux formules (63) , il résulte que» si Ton prend pour va^ riables indépendantes , au lieu de a , b , c , les trois coordonnées x , j f z , on devra aux dérivées partielles
fi ^ £1
da* db' 7^
substituer les trois suivantes
ri^ di dl
dâ* 7y ' Tt
D'ailleurs» si, dans les calculs que nous venons de faire, on remplace la fonction \ = F{a, 6, c) par Tune des fonctions * (a, 6, c) , x (a, 6, c) , y (a, 6, c) , on prouvera encore que les dérivées
d^{a^b,c) d^{a,byc) rf»(fl,^,c> dx{ayby.c)
dâ ' db ' de ' da
sont respectivement égales aux suivantes
d^{a,bjc) d^{a,byc) d^ja^b^c) d\{aybyc)
7x • dy ' dz ' dx
et l'on en conclura que les ^pression»
eiCf • • ,
elc.a^ i
d^i rf^S d-lj d^l .
rfST' -dM ' lÛidT' Ib^' ®*^'-'
peoTent être rempbcées par
</*S ^'S rf>g d^ij
dx* * dxdj ' dxdz ' rf/* '
Enfin les remarques précédentes ne sont pas seulement applicables à la fonction ç , mais encore aux fonctions u » ç » et à toutes les quantités que l'on peut considérer comme infiniment petites» par exemple » à la quantité u« Donc en définitive, si Ton reut prendre pour yariables indépendantes, avec le temps t» les coordonnées x^ y^ z, il sufiira d'écrire partout, dans les formules (3o) , (5i) , (4o) , (47) » (56) , (57) et dans celles qui s'en déduisent, x au lieu de a, y au lieu de 6, z au lieu de c. Quant aux valeurs de dG » cT» %* elles continueront d'être représentées [voyez les
formules (98) de la page 166] par les trois expressions
</*£ ^'n rf'C ^
//P ' dt^ ' dt* '
et par conséquent on n'aura point à modifier les seconds membres des formules (34) • Cela posé» admettons que, dans les formules (26), (5o) et (3i), les sommes qui renferment des puissances impaires de cosa» de cosp , ou de C0S7 s'évanouissent; on tirera des équations (Ss) et (4o) , si le système des molécules m , m' ... est en équilibre,
$i, au contraire, le système est en mouvement, on tirera des formules (34) et (4o^)
( ao8 )
Si de plu» les valeurs de G,H,I,L,M,N,P,Q,R deyiennent indépen* dantes en chaque point des directions assignées aux axes des x , y et z^ le^ con* ditions (4i) et (45) seront vérifiées, et, en supposant la quantité u déterminée par Téqualion (47), ou, ce qui revient au même, par la suivante
/r x d^ dn (/Ç
t*^9) ''=rfJ + 57 + ^'
on réduira les formules (67) et (68) à
età ••
(71) [ (^ + <^)l^:;r + 7F-+-rfFj + »^^+^=-57^'
^ ^^\dx^ ^ dy^ ^ dz^l^ dz^ dt^
Enfin, si la condition (54) est elle-même remplie, on aura, dans le cas d'équilibre du système des molécules m , m' , .,. ,
( aog )
Z+afl — =0,
et , dans le cas du mouvement ,
JK+27Î-— = — T-,
On doit observer que la quanlilé v , dclermince par la formule (69) , représente la dilatation qu'éprouvo un volume très-pelit , mais choisi de manière à renfermer avec la
molécule m un grand nombre do molécules voisines , tandis que ces molécules changent déposition dans l'espace. Ajoutons que les formules (72) et (73) , étant semblables aux formules (63), (72) et (77) des pages i4i, i43 et i44> paraissent convenir à un système de molécules qui seraient disposées de manière à constituer un fluide élastique.
Concevons maintenant que les quantités désignées par les lettres G , II , I , L , M p N 9 P, Q , R et A deviennent constantes, c'est-à-dire, indépendantes des coordonnées a , 6 , c ou x , y^ z; alors, en supposant les valeurs de A , B , C , D , E , F déterminées par les équations (56) et (57), ou, ce qui revient au même , par les formules
, ^=[(Q-^)â+(''-^)^+(^+^)Sh
(^+//)f +(« + C)SÎa;
on réduira les équations (67) aux trois suivantes :
dA ,dF .dE . „
(76) \ rf^ + ^ + rf7+^^ = '''
rfE rfD rfC -
Ces dernières et celles qu'on en tire , quand on 7 remplace X , Y, Z par
^-SG* y-^f z-%^
sont semblables aux formules (s) et (a 5) des pages 161 et 166. Ainsi ^ en vertu des suppositions admises , les équations d'équilibre ou de mouvement du système des molécules m, ni\ m' , etc.. , coïncident avec celles qu'on obtiendrait, en considérant une masse homogène et continue » dans laquelle les pressions ou tensions , exercées au point {^yjf^) > ^u c^^^ d®^ coordonnées positives, contre trois plans perpendiculaires aux axes des œ , des 7 et des 2; , offriraient des projections algébriques sur ces axes respectivement égales aux quantités
que déterminent les équations (74) et (75). Si , de plus, les conditions (4i) et (45) sont vérifiées, alors, en posant comme ci-dessus
(iî + C)A=— ft, (B — C)A = i5:,
on réduira les formules (74) > (76) à
-=iKs+i). -=tKS+s)' ^-H^-^è)
et en même temps l'on fera coïncider les équations (70) , (71) avec les suivantes :
dt')^
k+iK dx) , „
179; ^ 3A ^rta,. "n rfj»
ib / rf'g d*l
aA Vrf»* «'y*.
*+2X dv , ,
aA rfjr
aA d*
+ Z=Oi
aA Cita?"*" ~ Étt»
aA <(r ^«*
aA d%
dV
c'est-à-dire 9 ayec les formules (76) » (77) de l'article précédent.
Il importe d'obserrer que les formules (67) , (79) et (80) coïncideraient encore ayec les formules (76) , si l'on attribuait aux quaalilés désignées par
Ar B, C, D, E, F
non plus les valeurs que déterminent les équations (74) $ {jS) et (78) , mais ces mêmes valeurs augmentées de constantes arbitraires.
Pour réduire les équations (7g) et (80) & celles qui ont été données par M. Navicr comme propres à déterminer les lois d'équilibre et de mouvement des corps élastiques , il faut supposer « ainsi qu'on l'a déjà remarqué.
ft=aK.
Or, pour que les vateurs de Ji et de £ , tirées des formules (5g) , vérifient la condition (81), il sui&t d'admettre que la quantité désignée par G peut être néglig vis-à-vis de la quantité désignée par B^ ou ,, en d'autres termes , que le rapport
(aa>
( ai« ) a une valeur sensiblement nulle.
On voit au reste que , si l'on considère un corps élastique comme un système de points matériels qui agissent les uns sur les autres à de très-petites distances , les lois de l'équilibre ou du mouvement intérieur de ce corps seront exprimées dans beaucoup de cas par des équations dlflerentes de celles qu'a données M. Navier. Les formules (67) et (G8) paraissent spéciaiement applicables au cas où^ Félasticilé n'étant pas la même dans les diverses directions , le corps offre trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux, et parallèles aux axes des x , des y et des z. Les formules (70) et (71) au contraire semblent devoir s'appliquer au cas où le corps est également élastique dans tous les sens ; et alors on retrouvera les formules de M. Navier, si l'on attribue à la quantité G une valeur nulle. Ajoutons que si, dans les formules (67) et (68) , en réduit à zéro non-seulement la quantité G , mais encore les quantités de même espèce H ci I , ces formules deviendront respectivement
dx^ ^ dy^ * dz^ dxdy ^ dzdx '
et
dx^ dy\ dz^ dydz dxdy
dx* ^ dy\ ^ ds' ^ ^ dzda> ^ dydz
^ ^' » dx^ ^^ dy* di* dydz ^^ dxdy dt*
