DANS UN SYSTÈME DE POINTS MATÉRIELS

iiiBiiinwiii

Dans Tarticle précédent , après avoir établi les équations générales d'équilibre ou de

mouvement d'un système de molécules m » m » m\ m", etc. qui agissent les unes

sur les autres & de très-petites dislances , nous ayons recherché ce que deviennent ces mêmes équations quand leurs coefficients vérifient les conditions qui seraient remplies , si tout plan passant par une molécule , et parallèle à Tun des plans coordonnés divisait le système en deux parties symétriques. Nous sommes ainsi parvenus aux formules (67) de la page 207 , et nous avons observé que ces formules coïncident avec celles qu'on obtiendrait en considérant une masse homogène et continue , dans laquelle les tensions ou pressions exercées au point {x,j,z) , du côté des coordonnées positives» contre trois plans parallèles aux plans des y^s, des z,x et des x^jr^ offriraient des projections algébriques respectivement égales aux valeurs de A » F p E ; F , B 9 D ; E , D 9 C déterminées par les équations (74) ot (75) , ou à ces mêmes valeurs augmentées de constantes arbitraires. Nous allons maintenant faire voir comment on peut calculer directement les tensions ou pressions exercées dans le système des molécules

ta , m , fn\ ••• contre un plan perpendiculaire & l'un des axes coordonnés , quand on

suppose que ce plan devient rigide , çt qu*on lie par des droites m7;ir!l!Î?]e8 les points qu'il renferme avec ceux des points matériels m , m', ... qui sont situés d'un même côté de ce plan.

Soient toujours , à une certaine époque ,

x=^a, jr=zb , z = c les coordonnées de la molécule tn »

a'-\' ^a , b + àb ^ c-^ ^o les coordonnées d'une autre molécule m .,

r la distance des molécules tn et m ,

tt , p , y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des coordonnées positives « et liés aux quantités Aa » a6 » A^; par les formules

(0 Afl = rcosa, àb =zr cosp 9 t^^Hirooî^ ,

ujiij [f] rallracll«*n ou la répulsion niulucllc des deux masses m cl m, proportionnelle d'une part à ces masses , d'aulre part à une fonction de la distance r.

St/icnl (le plus 0 , 0', 0^ trois points quelconques du plan mené par la molécule m perpendiculairement à l'axe des x ,

m , in\ m" , les molécules situées par rapport au plan OCO* du côté des coordonnées positives ,

T?Y, , m, , etc.. les molécules situées par rapport h ce même plan du côté des coordonnées négatives,

/ une longueur très -petite, mais supérieure au rayon de la sphère d'activité sensible d'une molécule ,

s un élément de la surface du plan OO^'O'', dont les dimensions soient très-petites, mais supérieures, ainsi que la longueur / , au rayon de la sphère d'activité sensible d'une molécule ,

V) ' le volume d'un cylindre droit qui ait pour base la surface élémentaire s , et pour

hauteur la longueur / mesurée à partir du plan 00^0' du côté des coordonnées négatives , ;^Xi^ la somme des masses des molécules fn. , tii, , etc.. comprisC'S dans ce même

cylindre , et

le rapport qui exprime ce qu'on peut nommer la densité du cylindre.

Soient encore / une portion de la hauteur du cylindre, mesurée comme cette hauteur, h partir du

plan ÛO'0% cl n le nombre des molécules comprises dans la partie du cylindre qui aurait s pour

base, et t pour hauteur. Enfîn désignons par

les projections algébriques des tensions ou pressions qu'il s'agit do calculer; en sorte que A , F , E représentent , aux signes près-, les composantes rectangulaires de la pression ou tension p' exercée au point {a,b,c) et du côté des x positive»

contre le plan OO'O*, dans le cas où Ton suppose les différents points de ce plan liés par des droites invariables avec les points matériels m, , m, , etc.... Le produit

de la pression ou tension /i' par la surface élémentaire s ne sera autre chose que la résultante des actions exercées par les molécules m , m', m" , etc. sur les molécules comprises dans le plan OO'C, et sur celles des molécules m,, t/ia , etc.. qui seront situées tout près de la surface s. Par conséquent les produits

(4) As, Bs, Cs

représenteront à très-peu près les projections algébriques de la résultante dos actions exercées par les molécules m , m' , m/', ... sur les molécules comprises dans le volume \9. Quant aux projections algébriques de la résultante des actions exercées sur

la molécule m par les molécules m , m\ m," , .... , elles seront équivalentes aux sommes

(5) S[±mmcosa/'(r)] , S[±mmcosp/i;r)] , S[±:mmcos7/'(r)] , ou , ce qui revient au même » aux produits

(6) tnS[ifcmcosa/'(r)] , inS[±:mcospf(r)] , mS[±mcos7/'(r)] ,

pourvu que l'on se contente d'étendre le signe S aux molécules m , n\\ m" , ... situées par rapport au plan OO'O* du côté des x positives, et que Ton réduise le

double signe ± au signe + , si les molécules m » m s'attirent , au signe —

dans le cas contraire. Supposons maintenant que les diverses molécules offrent des masses égales, et se trouvent distribuées à très-peu près de la même manière, soit autour de

la molécule m, soit autour do. chacune des molécules m,, ma, etc Si chacune des sommes (5) renferme un certain nombre do termes correspondants à des molécules tn , fn\ ... pour lesquelles la condition

(7) rcosa=<

uni vérifiée; les expressions (4) renfermeront les termes dont il s'açit, répétés chacun auiaot de fois qu'il y aura dans le volume ^ de molécules m/, m\ , ... séparées du

plun 00^0' par une distance égale ou inférieure & t. Donc, pour déduire fet expressions (4) des expressions (5) , il suffira de multiplier , dans chacune de ces dernières , la quantité comprise sous le signe S par le nombre n des molécules com^ prises dans la portion du cylindre dont t est la hauteur. On trouTera ainsi

(8) ^* = S[±:nmmcosa/'(r)], B#=S[dinmmcosp/'(r)] ^ C*=S[±:nmmcoS7f('")]r

ou f ce qui revient au même ,

(g) ^j = mS[±:7imcosa/'(r)] , j&j = mS[dz nmco8p/'(r)] , C^=mS[±:nmc087/Xr)] ,

D'ailleurs t en vertu des notations et des suppositions admises , le nombre total des molécules comprises dans le cylindre dont la hauteur est l sera représenté par le rappori

(lo) = A = A;

tn w tn

et par suite on aura » sans^ erreur sensible >

(il) n = = — A;

m / tn

puis on en conclura, en ayant égard & la formule (7) »

«rcosoK

Donc les formules (8) ou (g) donneront

(i3) ^ = A.S[±mrcos»a/'(r)], jf=A.S[±:mrco8acosp/'(r)], jE^A.S[±:mrCQ8«C0S7/^r)]r

Les sommes que renferment ces dernières équations doivent être étendues seulement aux molécules m , m\ m' , ... situées par rapport au plan 00^0! du côté des x positives.

Concevons à présent que Foa désigne par p. 1» pressba ou teiiMOO exercée aa point (a, b,c)^ et du côté des coordonnéea négative»» contre le plan 0 0' 0' , daiia>

( 217 ) le cas où l'on suppose les dlfTérents points de ce plan liés par des droites invariables avec les points matériels m^ , m^ ^ etc.... Le produit

PtS

de la pression ou tension pt par la surface élémentaire s ne sera autre chose que la résultante des actions exercées par les molécules m, , m, , ... sur les molécules comprises dans le plan OO'O'' et sur celles des molécules m, m\ m".,, qui seront situées tout près de la surface s . D'ailleurs les actions exercées par les molécules m. , m. » . • • sur les molécules m ^ in\ m^, ... sont égales et directement opposées aux réactions exercées par les dernières sur les premières ; et il est clair qu'on n'altère pas sensible* ment la résultante deces actions ou de ces réactions » lorsqu'aux molécules m » m^ m^, ,.. . ou m. y f^a , ms ... on joint celles qui se trouvent précisément situées dans le plan 00^0'. Gela posé, les pressions ou tensions p^s , ptS supportées, dans les deux hypothèses successivement admises , par la surface élémentaire s , pourront être considérées comme deux forces égales, mais directement opposées, et l'on devra en dire autant des pressions p\ pt 9 exercées au point {a, b,e) contre les deux faces du plan 00^0^. Donc la pression ou tension p, aura pour projections algébriques sur les axes, non plus les trois quantités A , F , E , mais les trois suivantes

Si maintenant on applique à la détermination de ces projections algébriques Tes raisonnements par lesquels nous avons établi les équations (i3} , on sera conduit & reconnaître que ces équations subsistent encore dans le cas où l'on étend le signe S , non plus aux molécules m , m\ m' , ... situées par rapport au plan OO'O'' du côté des X positives, mais aux molécules m. , m, , r.r situées par rapport à ce plan du côté des œ négatives. Donc, par suite, les sommes comprises dans les équations (i3) sont équivalentes aux moitiés de celles qu'on obtiendrait , si l'on supposait le signe S étendu à toutes les molécules m, m\ m",... m^ , m,, mj , ••• situées par rapport au plan PO^O'' soit du côté des x positives , soit du côté des x négatives, c'est-à-dire, à très-peu près , aux moitiés de celles que l'on obtiendrait en étendant le signe S à tontes les molécules du système proposé. On aura donc , en interprétant le signe S comme on vient de le dire ,

A — — S[dbfnrcos*a/*(r)] , J?= — S[=bmrcosacospf(r)],.

€= — S[±C0SaC0S7f(r)] r

( 2i8 ) En appliquant des raisonnements du même {;enrc à la recherche des projections algébriques F t B , D ou E , D , C de la pression ou tension exercée au point {a,b,c) et du côté des coordonnées positives contre un plan perpendiculnire à l'axe des j ou h Taxe des z , on trouvera définitivement

/ A = — S[d= mrcos'af(r)] , B= — S[± mrcos'pf{r)-\ ,

C= — S[± mrcos'7/*(r)] , A A

/)=: — S[±mrcos?cos7/'(r)] , i?= — S[±mrcos7COsa/'(r)] ,

\ ^ == "7 ^^^ mrcosacosp/*(r)] ,

le signe S devant être étendu à toutes les molécules du système proposé.

Supposons maintenant que l'état du système 4o points matériels soit changé» et que les molécules m , m , m\ .., m^ , m, , ••• se déplacent dans l'espace, mais de manière que la distance de deux moléctiles m et m varie dans un rapport peu différent de l'unité. Soient d'ailleurs , comme dans l'article précédent ,

des fonctiops de a , b , c qui représentent les déplacements très-petits et parallèle^ aux axes d'une molécule quelconque tn $

les coordonnées des molécules tn , m dans le nouvel état du système, et

la distance des mêmes molécules dans ce nouvel état. Enfin désignons par u la dilatation qu'éprouve, pendant le changement d'état du sptème , un volume très-petit v ,

mais qui pourtant renferme avec la molécule m un grand nombre de molécules toî-

ëînes m , m', ... m, , m, ... ; et soit p la nouvelle densité du volume élémentaire

( «»9 ) V . Les quantités x , j , z , ts.x , l^y , ^z , • seront déterminées par les formules (4) ' (5) » (7) de Tarticle précédent , et la quantité y par l'équation (69) ou plutôt par l'équation (47} du même article , en sorte qu'on aura

/ tx rfç rfS rfS

Oa- trouvera d'ailleurs

puis» en considérant u comme un infiniment petit du premier ordre, on tirera de la formule (iG)

Cela posé, les valeurs de A , B , C , D , E , F, relatives au nouvel étal du système seront données à trcs-peu près» non plus par les équations (i4) • noiais par celles qu'on en déduit quand on substitue la densité p à la densité A^ le produit r(i-f-c) au rayon vecteur , et les rapports

^x ày \z

aux cosinus des angles a, ^ , y. On trouvera ainsi

puis, en considérant les déplacements Ç , u • C comme infiniment petits du premier ordre » négligeant les infiniment petits du second ordre , et faisant pour abréger

(•9) ^irfir)^f{r)] = f{r),

( sto )

on conclura des formules (18) combinées arec les équations (5), (is) et (i3) de Tartic précédent

rcos^

^cos*p.f{r)\.

- — VH icospcosvffr)} ,

ou , ce qui revient au même ,

/ ^ = psi±:^[co8'« + aco««^)/"(r)j

+ pS|^ (cosa tl + co»p -y + co«y ^J co$'a/(r) | .

+ PS|^[C08« A + C08p ^ + C0»7 — j CO»»p/(r)| ,

/ /) = pSJit: — fcosj5COS7 + cos7 — + coSj6 — ^|/'(r)!

+ pS| — [cosa — + cosS — -4-COS7 jC0S?C057/(r) J ,

^ = p S|± ( C0S7C0Sa + COSa -^ + COS7 j f{r) >

+ pS< fcOSa l-COS? I-C0S7 j C0S7C0Sa/(r) > ,

P=,s{d=ir(,

AÇ COSacOS^ + COS? 1- COSa

:^)fWÎ

+ pS| — fcosa l-coftp — -1-C0S7 — jcosacosp/(r)|

D'aillfeurs les attractions ou répulsions mutuelles des molécules m , rn , m\ .... m, ,

m, , ... n'étant sensibles par hypothèse qu'à de trèsr-petites distances» on pourra » sans inconvénient» dans les formules (22) et (20)» substituer aux quantités Ag , A» , ,aC les premiers termes de leurs développements en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de r, c'est-à-dire , des développements que fournissent les équations (18) .de la page 1 go » et supposer en conséquence

AÇ rf? rfÇ rfS

— = COSa+— C08?+ — COSV.

A>ï dri . ^'ï ^ , ^1

= — - COSa + -— COS? + -— COS7 ,

r da ' db ^ de

— = -— COSa + -— COSP + -— CO87 j r da do de

:D6nc les formules (22) et (23) donneront

(»5) ^ = pS(±^co8V(''))

M gs(±^co8'aAr)) + gs[±î^cos«cosS/'(r)) + gs(±î^co8acosvA'))|

+ P ( + j- S 1— cos*acos3/(r) )+ ^ s I — co8»aco8'p/(r) j + -^ s f — cos'acospcosy/ (r)j + — s ( — cos ' «cos7/(r) I + -^ S { -— cos'acos.'î cosy f{r) ) + t^ S [ — C08'stC08»7/(i*) J ,

.,p{ g S(d= ^%08aco8?Ar)) + Ss(±^cos-pAr)) + ^ S(±^%08?C08,A-)) |

-^ i^S S(^c08ac083p/(.)),^S(^^C084?/W)4s(^^0.'pc0.7/W)

^ S |^cosacos*?cos7/(r) j + ^ Sf ^ cos'pco87/(r)j + ^ S J^ C08'pC08»7/(r)j ,

(27) C = pS(d=^C08«7/'W)

+»p{ gs(±^%08.co87Ar))+^,s(±^co.pco87/tr)) + ^s(±^%08'7/'(r))j

^ S (^ co8-«co»-7/(r)) + ^^ S (^ cosacos?cos-//W) + s s (t- CO''«C08»7/(r) j

+ p \ + ^ s (-^' C08«C08?C08«7/(r)) + ^ s (-î^ C08-pC08'7/(r)) + ^^ s (^ C08pC08 VW)

gs(i^C08aco.37/(r)) + gs(^^08pco8'7/W) + ^s(^^CO.«7/(r))>

( 8*3 ) («8) Z)=pSf=b^cospcosy/:(r)j

I— S f — cos*acos?cosv/(r) j + —^S f — cosacos'Pcos7/(r) j +--S ( — cosacos|5cos*7/(r) J dn [mr ^ ^. \ dn ^ fmr ,^ ^, .\ dn ^ fmr ^ ^, A

+ — S I — cosacos'Pcos7/(r) ) + -^ s 1 — cos^pcos7/(r) ] + t- S — cos'pcos*7/(r) + ~ S f— cosacos?cos»7/r) j + — S f— cos'?cos»7/(r)J + — S f — cosPcos'7/(r) J ,

(29) J? = pSf— C0S7C0sa/(r)j

^ s fdb ^ co8«cos7/"(r))+ ^ s (=b ^ cospcosy^r)) + ^ s(^ cos'vrw)

-? s (--COSÎaC087/r)\ + ^S |— COS'aCOsPcOS"// W) + ^CO»»«C08»7/(»') j

*P j+î^s (— co8'«cospcos7/(r)] +Î^S (— cosaco$'pco87/(r)] +^S fco8<«;ospco8'7/(»*))

• ^^S (^'c08*«C08'7/(r)) + ^ s (^ CQ8«C08pC08'7/(r)) + ^ S (y COSaCOS'y/W) .

DigitizecTby

(5o) F = pSi± — cosoicosp f{r)]

^ S (dl COS'a/*(r)] + ^ S (± -^ COSacos!5/^(r) J + ^ S J± -^ COsacosv/^(r) j

^ s [^ C0s'aC0S(3/(r) j + - ^ s f COS'aCOar'p/(r) j + ^ s f COS'aCOSf C057/(r) J

+0 / + ^ s f — cos'acos'?/(r) J + -^ s f ^ cosacos'?/(r) ) + -.- s (— C0SaC0S'?C0S7/(r) J

— S 1— COS'aC0S?COS7/(r) 1 +— S ( — C0SaC0S»,'^0S7/(r) j + --S ( — COSaCOSfC08*7/(r) l

Dans ces dernières formules » les coordonnées a, b^ c sonl regardées connme variablesindépendantes, et la valeur de p est toujours celle que fournit l'équation (17). Le» valeurs des quantités A , B , C , D , E p F étant une fois déterminées par les formules que nous tenons d'établir, on en déduira sans peine les projeclions algébriques de la pression ou tension p supportée au point {x,j,z) par un plan quelconque r è l'aide des équations (3) do la page 162.

II reste maintenant h montrer les simpliGcations qu'admettent dans plusieurs cas les formules (10) , (i4) > {^^) > (^C) et suivantes.

Lorsque la fonction f{r) est telle que , sans altérer sensiblement les sommes renfermées dans les formules (10) et (i4] » on puissb faire abstraction do celles des molécules

m , tii', ... iitj , m, , ... qui sont les plus voisines de la molécule m ; alors, en ayant

recours aux raisonnements et aux notations dont nous nous sommes servis dans rarliclc précédent [pages 202 et 2o5], et posant de plus

(ô,) ù=-.±f'"r^f{r)dr.

OU conclura des équations (10)

A = dt^\ I I I r^cos*psinpf{r)dpdqdr = ±: ——' I rY(r)rfr=±: — 0A% F = itA*. / / / r^cos p sin^ p cos q f{r)dpdqdr= o y

E = zhà^. J I I r^coBps\n^pBinqf{r)dpdqdr = o.

En calculant de la même manière les projections algébriques F, B , D', ou E , D , C de la pression ou tension exercée au point {a,b,c) dans Télat primitif du système contre un plan perpendiculaire à Taxe des y ou à Taxe des z , on trouvera définîti?ement

(52) A = B=zC = ±^, D = E = F = o,

la valeur de v étant déterminée par l'équation