III.» ANNÉ«. . 9o
( îSo )
corps sofidc et homogène dont Tétat prirnîtif ait été précisément son état naturel » cl dont le nouvel étal corresponde à des déplacements Irès-pelils des diverses molécules^ Si Ton fait abstraction delà force répulsive du calorique pour lui-même, si d'ailleurs ci» suppose que tout plan parallèle à l'un 'des plans coordonnés divise une portion très-pe-* tile du corps ^ envisagée comme un système de points matériels, en deux parties symétriques; les projections algébriques des pressions ou tensions , exercées au point {x,y,z) contre trois plans perpendiculaires aux axes des œ, j ci z, seront déterminées, dans le nouvel élat du corps, par les équations (38) et (39). De plus, comme lespressions exercées contre la surface se réduiront à zéro dans Tétat naturel , les seconds membres des équations (i4) auront des valeurs nulles. Par conséquent les quantités G , H , 1 s'évanouiront , et les formules (38) , (39) coïncideront avec les formules (4o) , (4i). Ce» dernières paraissent efTectivement propres à déterminer la pression ou tension qui a lieu m chaque point d'un corps soKde , lorsque l'élasticité n'est pas la même dans tous les sens, et que le corps offre trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux.
Quand l'élasticité redevient la même dans tous les sens , les conditions (42) et (45) étant remplies , les valeurs de A^B^C^DtEfF, données par les formules (40). et (4i)» <^ réduisent à celles que fournissent les équations (4^)- Si Ton substitue ces mêmes valeurs dans les formules (3) de la page 16», on retrouvera précisément les équations données par M. Navier , dans le Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le i4 mai 1821, et déduites par M. Poisson, dans le Mémoire déjà cité, d'une analyse qui doit s'accorder sur quelques points avec celle que nous venons d'exposer, et en différer sur quelques autres. C'est du moins ce que nous pouvons présumer, à la lecture de l'extrait que M. Poisson a donné de son Mémoire dans les Annales de Physique et do Chimie. ^
Revenons maintenant aux formules (38) et (3^). En supposant la densité A constante, et négligeant les infiniment petits du second ordre, on tirera de ces formules combinées avec l'équation (i5)
^ = l(L + C)S + (fl-C)^4.(Q-C)g4.c)
da
dt
' fl=i(p+/)-'î+(P+//)-ii
de
(5o) \ ^=i(Q+C)^ + (Q + /)SJA,
(ff+^)5 + (iî+C) ''''
dk
da
( aSi )
Lorsque les condiiions (43) et (45) sodI remplies » en iaisaDt , comme daiM rarticlc précédent ,
{il) (fl + C)A = -i-*. (ff — C)A=Ji:,
et ayant égard h la formule. (i5) , on trouve simplement
yi=A-7-+Au + , /f = A— -+Av+ , 6=*—- +Au +
I da 4 db ,4 rfc 4
[''=lK47+4). ^=i'fê+f). ^=^(-î+^)-
Les Taleurs de ji , B ^ C ^ D , E , F fournies par les équations (49) et (5o) ou par les équations (02) coïncident les ancs avec les valeurs de A , B , C déterminées par les équations (5()) ou (60) de l'arlicle précédent, et augmentées des quantités G^,
Hùk , /a ou de la quaulit^ — , les autres avec les valeurs de Dj E , F dé-
ienninées par les formules (57) ou (60] du même article^
Lorsque la fonclion /*(r) est telle que, sans altérer sensiblement les sommes désignées par B et G dans les formules (âi), on puisse faire abstraction de celles des
inolécules m , m^, m. , m, , ... qui sont Ift plus voisines de la molécule m » on
a [voyez les pages ao5 et 204]
(5.3) G = -B = ±^f\'f{r)dr.
Donc alors on tire des formules (5i) combinées avec la formule (3i)
(54) k = o, K = 2/?A = q=ôA«;
et par suite les équations (Ss) se réduisent , comme on devait s'y ntteedre , aux formules (32) , la valeur de v étant déterminée par 1 équation (55).
Dans le cas oii les quantités G , H , l , L , M , N , P , Q , B ti A sont cons- :tantes» cVst-à-dire, indépendantes d(\$ coordonnées a , 6 ^ c , les valeurs de A , B , C , D , E , F, fournies par les équations (49) et (5o), peuvent être évidemment substituées, dans les formules (58) de l'article précédent, aux valeurs de A , B , C\ P , E , F déterminées par les équations (56) et (5;) du même article. Il y a plus; si
l'on subslilue la valeur de p déduite des formules (i5) et (17) dans les seconds membres des équations (25), (2G) , («7), (28), (29) , (3o), ou, ce qui revient au même, dans les premiers termes de ces seconds membres , attendu que les autres termes étant infiniment petits du second ordre, on peut y remplacer , sans erreur sensible, p par A ; si d'ailleurs on suppose constantes la densité A et les difTérenles sommes indiquées par le signe S dans les équations dont il s'agit , les valeurs des quantités désignées par X2 , lia > 3a <Jans les équations (3i) delà page 196 pourront s'écrire comme il suit :
*' ^{ da
ilF
dE
da
dF
db
dE
de
dD
A j (/a ^ db ^ de
dP dC
irr "*" de
Donc alors, en admettant que les conditions (i5) et (35) de l'article précédent se trouvent remplies , on aura encore , comme on devait s'y attendre [ v. la page 2o5] ,
(oG)
1 {dA dF . dE
A da
A i da
db
1 UF dB ^\da '^ db '^
1 [dE . dD .
db
de dD
de dC
de
Dans les diverses formules ci-dessus établies, on a considéré comme variables indépendantes les quatre quantités a , b , c , t. Si l'on suppose au contraire que l'on prenne pour variables indépendantes , avec le temps t , les coordonnées x , y , z , il faudra, en vertu des principes développés dans l'article précédent, remplacer les dérivée»
db'
de'
da '
dt> dû '
dn de '
da'
d\ db'
de
par les suivantes
dl dï dl dm dn dm dX, rfÇ dC,
^^^^ d^' ^ ' rfl ' rfJ ' "^ ' 7ï ' lu' rf7 • rfT • Alors on trouvera , comme h la page 1 65 ,
,. . d'i dr, ,dt
De plus , si l'on désigne par
la densité mesurée au point [a, b, c) dans l'état primitif du système des molécule m ,
m , m" ,^... m, , m, , ... on tirera de l'équation (iG) combinée avec les équations (4) de ràrticle précédent
(bij P= = \ ;
puis 9 en négligeant les infiniment petits du second ordre » on obtiendra la formule (6.) ,^(.^.)n.,y,^)^,<!:^^-mM^^^
qui coïncide avec l'équation (si) de la page iG5. Gela posé, il est facile de reconnaître ce que deviendront» dans la nouvelle hypothèse, les valeurs de A ^ B , C , D , E , F déterminées par les équations (25) et suivantes^ On conclura en particulier des formules (4o) et (40
puis des formules (48) I
\ dx dy dz\ \dx dy dz ] Idx dy d* j '
irfJ-^rfTJ' ^ = '^lrfi-»*rf7l' '^-'N^r-^rf^J
Il est bon d'observer que les troU premières des |6qaalioos (65) peuvent s'écrire comme il suit :
Lorsqu'h l'aide des méthodes exposées dans cet article, on a déterminé les projections algébriques des pressions ou tensions exercées en un point quelconque d'un système de molécules contre trois plans perpendiculaires aux axes coordonnés , il suffit de substituer les valeurs de ces projections algébriques dans les formules (a) et (aS) des pages 161 et 1G6 pour obtenir les équations qui expriment les lois d'équilibre ou de mouvement du système. Si l'on combine en particulier ces formules avec les équations (65) et (64) » et . si Ton suppose constantes les quantités L,M,N,P,QfB.,^, alors , en divir sant tous les termes par la densité
et négligeant les infinimept petits du second ordre , on retrouvera les formules (85) , (84) de l'article précédent , savoir ,
dit* dy* ««* dtdx djdi
et
^ rfa;» ^ «ij» ^ </«» ^ ^ (&rf* ^ dyd* ^ dt*
Ces dernières , ainsi que les formules (63) et (64) , paraissent spécialement applicables k un corps solide qui ofl'ro trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux. Quand Télasticilé redevient la même dans tous les sens , alors les conditions (4») et (4$) étant remplies , les formules (67) , (68) se réduisent aux suivantes : t
/rf'Ç rf'Ç rf.Ç rf'Ç ^.„X rf.Ç
( a5G ) c'cî'l-à-tlire à celles que 11. Navier a donuccs dans lu Méinoiri; <l(i 1821.
iSous observerons encore que , si l'on subsliluc dans les formules (2) el ('io) des pages iGi et 16C, les valeurs de A , B , C , D , E , F délcrininées par les équations (02) et (5ô) , en supposant la densité A constante, on obtiendra six nouvelles formules qui coïncideront, eu égard h la seconde des équations (54), avec les formules (72) el (76) de Tarticle précéder.l.
P. S. Pour établir les formules (10) [page 2iG] et celles qui s'en déduisent, on a
supposé que les diverses molécules m, m, m^,... m^ , 9/1,,... offraient des massQ§
égales, et se trouvaient distribuées h très-peu près de la même manière autour de l'une quelconque d'entre elles. Ces suppositions paraissent exiger que la densité p varie trèspeu d'un point h un autre; ce qui arrivera, par exemple, si la den^ilé A, relative à Tétai nalurel, esl une quantité constante, et si p diffère très-peu de A. Elles paraissent exiger encore que les diflerentes sommes indiquées par le signe S soienl sensiblement constantes^ c'est-ù-dirc indépendantes des coordonnées a, fr, c, et que celles des mômes sommes qui renferment un nombre impair de facteurs égaux aux quantités cosa, cosfi , C0S7 s'évanouissent. Effectivement, lorsque ces conditions sont remplies , les valeurs de A , B , C , D , E , F trouvées dans cet article vériGent, comme on l'a vu , les formules (56) , et par conséquent les formules (58) de rarticie précédent.
Si les conditions dont il s'agit cessaient d'être vérifiées, les formules obtenues dans cet article pourraient ne plus s'accorder avec celles de l'article précédent , et alors elles devraient être rejetées. Ainsi les calculs que nous venons de faire peuvent devenir insuflisants pour l'établissement des véritables équations de l'équilibre ou du mouvement d'un système de molécules dans des cas auxquels les formules de l'article précédent se* raient encore applicables.
