III.*A2fNÊ£. 3i

«o, Po, 7o et a, p, 7

les angles formés par les rayons vecteurs r^ , r avec les demi -axes des coordonnées positives; et faisons

(i) r = ro(i + «).

s servira de mesure à ce que nous avons nommé la condensation ou la dilatation Unéairt du corps suivant la direction du rayon vecteur r [voyez le IL* volume, page 61]; el Ton aura

(2) rcosa = Aâ;, rcoàp=:Ajr, rcoSf = ^z.

On trouvera pareillement» en considérant la quantité r comme infiniment petile, et négligeant les infiniment petits du second ordre,

roCOsa. = Ax- ^- AX+ - ^y+ - A.j ,

(3) j r,cosp,=:^Jr-^-^x-^-^y+-^zj, r.cosv. = ^z- (-- ^x+ — ^y+~ ^zj ;

OU , ce qui revient au même ,

/ di dl di \

roCOSao = r COSa COSa r- COSfi r- COS7I ,

\ dx dy ^ dz j

//\ I û / - ^1 dri dn \

(4) { »'oCOSPo = r COS/ — - COSa C0S6 COS7 ,

J \ dœ dy dz i

I rfç </ç rfÇ \

ncos7o = r COS7 — -7- cosa — cosS — COS7 ;

\ dx dy ^ dz j

puis on tirera des équations (4) combinées avec la formule (i)

( «39 ) Donc, si Ton fait pour abréger, comme à la page 62 du second volume,

<^=(S)+fê)+(S-)'-

[dx ^1 dy'^ da \dy 7 "*" ^j? rfj ' on aura simplement

(8) [ * \ ' = Acos'a 4- Bcos'P 4- Ccos'v + «Dcospcosy + 2 EcosTCosa 4- aFcosacosp .

Les équations (5) et (8) , qui coïncident Tune et l'autre avec la formule i s de la page i65y fournissent le moyen d'exprimer la condensation ou dilatation linéaire mesurée par f en fonction des angles a, p, 7. Ajoulons que, si, à partir de la molécule m , on porte sur la direction du rayon vecteur r une longueur équivalente à 1 + ' 9 on aura , en désignant par

les coordonnées de l'exlrémité de celle longueur

^^'^ COSa COSp COS7 \ • /

et qu'en conséquence la formule (8) donnera

(10) Ax*4-By» + Cz>4-2Dyz4-2Ezx4-aFxy=i.

Donc l'extrémilé de la longueur 1 -(- s sera située sur la surface de l'ellipsoïde représenté par l'équation (10). EnQn^ si par celle exlrémilé on mène une normale à l'ellipsoïde , les angles X » ft » v compris enire cette normale et les demi -axes des coordonnées posilivcs seront délerminés par la formule

, ^ C09> COSLt COS»

(11) — ' • — Acosa+Fcosp+Ecosy Fcosa+Bcosfi+Dcos7 Ecosa+Dcos^+Gcosv

Lorsque le rayon vecleur r est dirigé suivant l'un des axes de l'ellipsoïde , la dilatation ou condensation mesurée par e se réduit à Tune de celles que nous avons nommées condcusalions ou dilatations principales: et, comme, dans ce cas, la normale se confond elle-même avec le rayon r , on tire de la formule (1 1] » en y remplaçant \ par a 9 fx par p , et V par 7 ,

Acosa+Fcosp+Ecos7 Fcosa+Bcosp+Dcos7 Ecosa-f Dcosp + CcoS7

^ ' COSa COSp COS7

Observons encore qu'après avoir déduit ■ de l'équalion (8), on pourra, quelles que soient les valeurs de « « P » 7 » déterminer les angles «o > Po » 7o » ^ l'aide des équations (4) » ou, ce qui revient au même, à l'aide de la formule

COS« — -r- COSa — -— COSP COS7 COSS — — COSa COSP C0»7

dx dy dt "^ dm dy dz

r/Ç dX, d^

COS7 — -7- COSa — COSp — —- C0S7

dic dy dz

Concevons maintenant que dans le premier élat du corps on mène par la molécule m un plan perpendiculaire au rayon vecteur r» , et soient m. , m, , etCt*. des molécules choisies arbitrairement dans le plan dont il s'agit. Désignons d'ailleurs par

( 24i ) a, , bo , c« et par a , b , c les angles que le rayon vecteur mené de la inolécuK* m à la molécule m, forme dans le premier et dnns le second état du corps avec les demi-axes des coordonnées positives. Ou aura nécessairement

( 1 4) cos «o cos ao + cos % cos b, + cos 70 cos Co = o . '

De plus , les angles a» , bo . c© , a , b , c devant élrc liés entre eux de la même manière que les angles «„ , po . 7o » « » P » 7 » o» aura encore

cosoo cosbo

ti"l di , dl , (i^ dm dm

cosa ~ cosa — -- cosb — -- cosc cosb — cos a ~ cosd cosc

dx dy dz dx dy dz

COSCo

rfÇ d^ , d^^

cosc — -- - cosa — — COSD — cosc

dx dy dz

Or, si dans Téquation (i4) on remplace les quantités

COSao , COSSp , COS70 ; COSao , cosbo , COSCo

par les dénominateurs des fraclions comprises dans les formules (i3) et (i5), on en tirera , eu égard aux équations (6) et (7) ,

(16) (Acosa+Fcosp+Ecos7)cosa + (Fcosa+Bcosp+Dcos7)cosb+(Ecosa+Dcos^S+Ccos7)co.sc = o; puis on conclura de cette dernière combinée avec la formule (11)

(17) cosacosX + cosb cosfi-f- cosc cos V = o .

Donc, dans le nouvel état du corps , le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule m. formera un angle droit avec la normale menée par l'extrémité de la longueur i + « ^ l'ellipsoïde que représente l'équation (10), ou, en d'autres termes, ce rayon vecteur sera parallèle au plan tangent à l'ellipsoïde; et, comme on pourra en dire autant de tout rayon vecteur qui joindra la molécule m à l'une des molécules

m. , m, , il est clair qu'un plan unique, parallèle au plan langent, renfermera

toutes ces molécules. D'ailleurs l'ellipsoïde représenté par l'équation (10) est semblable ^ celui dans lequel se transforme une portion infiniment petite du corps comprise sous une surface sphérique dont le centre coïncide avec la molécule m , tandis que le corps se condense ou se dilate; et les axes des deux ellipsoïdes sont non-seulement proportionnels, mais encore dirigés suivant les mêmes droites, d'où il résulte que les plans tangents

menés à ces deux ellipsoïdes par des points situés sur un seul diamètre sont parallèlef entre eux. On peut donc énoncer la proposition suivante.

1." ThèoriImf.. Supposons quun corps se condense ou se dilate par Ceffel d*une cause quelconque. Concevions d^ ailleurs que Con construise ^ dans Celai primitif du corps ^ une sphère infiniment petite , qui ait pour centre la molécule m , et qui renferme en outre un s^rand nombre de molécules voisines, puis^ dans le second état du corps, C ellipsoïde dans lequel cette sphère s^est transformée. Les molécules primitivement situées près de la molécule m i." sur un diamètre de la sphère, 2.° dans un plan perpendiculaire à ce diamètre, se trouveront transportées, après le changement d^état du corps i.* sur le diamètre de Cellipsoîde correspondant au diamètre donné de la sphère, s.* dans le plan diamétral parallèle aux plans tangents menés à Cellipsoîde par les extrémités du nouveau diamètre»

Au reste , pour établir directement le théorème qui précède , il suffît d'observer qu'après le changement d'état du corps , les molécules primitivement situées, près de la mo* lécule m , dans un plan tangent 5 la sphère , doivent évidemment se trouver transporlées dans le plan tangent h rdlipsoïde, et que d'autre part des molécules très-voi* sines , primitivement comprises dans des plans parallèles , devront encore être , après le changement d'état , renfermées dans des plans de cette espèce.

Si la molécule m' est tellement choisie que, dans le second état du corps» le rayon vecteur r mené de m h m' coïncide avec uu des axes de l'ellipsoïde , la dilatation ou condensation mesurée suivant le rayon vecteur r sera l'une des dilatations ou condensatioqs principales, et dans le même cas, mais dans ce cas seulement, les molécules m, , m, , ... primitivement situées près de m sur le plan perpendiculaire à la droite qui joignait les points matériels m , m\ se trouveront encore sur un plan perpendiculaire au rayon r . Il est aisé d'en conclure que des molécules primitivement comprises dans une surface normale à la droite qui joignait les points matériels m , fn\ jouiront de la même propriété dans le nouvel état du corps , si dans cet état le rayon vecteur mené de m h m,' est l'un de ceux suivant lesquels se mesurent les condensations ou dilatations principales. On peut d'ailleurs considérer, dans les deux états du corps , la distance très-petite qui sépare les points m et m' comme l'élément d'une courbe qui couperait à angles droits la surface ci -dessus mentionnée; et l'on est ainsi conduit à la proposition suivante.

s."* TnioRÊME, Quand un corps se dilate ou se condense, pour que des molécules pri^ mitivement situées 1.^ sur une certaine surface, 2/ sur une courbe normale à cette sur^ face, se trouvent encore, après leur déplacement, sur une surface et sur une courbe qui se coupent à angles droits, il est nécessaire et il su/fit que la tangente menée à la seconde courbe , par le point ou celle-ci rencontre la seconde surface , offre Cune des directions suivant lesquelles se mesurent les dilatations ou condensations principales.

( ï43 ) Considérons inninlenanl uu corps solide élasliquc donl la surljcc libre soil soum-.^r en chacun de ses points à une pression normale, pur exemple, à lu pression almosphérique; et supposons ([ue, pour établir les équalions d'équilibre ou de mouvement de ci* corps» on ait recours aux principes ci-dessus développés [pièges 167 et suiv.], ou, ce qui revient au mémo, aux principes exposés dans le précédent arliclf, en se bornant toutefois au cas où Télasticité reste la même dans tous les sens. Alors, en chaque point du corps pris dans un état distinct de Tétat naturel , trois directions dé>ignécs sous le nom de principales et perpendiculaires entre elles , correspondront en même temps aux trois pressions ou tensions principales et aux trois condensations ou dilatations principales. D'ailleurs , eu un point quelconque de la surface libre , la pression extérieure , étant par hypothèse normale à cette surface, sera nécessairement une pression principale. Donc la condensation en dilatation linéaire mesurée très -près de cette surface et suivant une direction normale sera l'une des condensations ou dilatations principales. On arriverait encore évidemment à la même conclusion , si la pression extérieure supportée par la surface libre du corps élastique se réduisait à zéro. Cela posé, on déduira immédiatement du théorème a une nouvelle proposition dont voici l'énoncé. *

5.* Théorème. Si, C élasticité (Van corps étant la même dans tous les sens, la surface libre de ce corpn est soumise à une pression normale ou à une pression nulle , tandis que ce corps passera de Cétat naturel à un nouvel état, une droite comprise entre deux molécules situées près de la surface libre, et primitivement normale à cette surface, ne cessera pas de la couper à angles droits.

Concevons à présent que le corps élastique se réduise dans son état naturel h une plaque très-mince et comprise entre deux plans parallèles qui soient soumis h des pressions normales. Supposons de plus que, cette plaque venant à changer d'état^ sa forme varie très-peu, et de manière que les déplacements des molécules soient très-petits. Les deux plans parallèles qui terminaient primitivement la plaque se transformeront en deux surfaces courbes dont les courbures principales seront très- petites en chaque point; et l'épaisseur de la plaque , mesurée après le changement d'état , ^r Tune quelconque des droites noruiales à l'une de ces deux surfaces courbes , difTèrera très-peu de l'épaisseur primitive, c'est-à-dire, de la distance qui séparait d'abord les deux plans ci-dessus inentiennes. Ajoutons qu'en vertu du troisième théorème les diverses molécules primitive^ ment situées sur une perpendiculaire communcaux deux plans dont il s'agit se trouveront transportées sur un petit arc de courbe qui coupera ces deux surfaces courbes à angles droits. D'ailleurs ce petit arc de courbe se confondra sensiblement avec sa corde et de telle sorte que , si l'on regarde l'épaisseur de la plaque comme une quantité infiniment petite du premier ordre , la distance entre l'arc et la corde sera infiniment petite du second ordre. Il y a plus : on pourra en dire autant d'un élément de l'arc éii question et de la corde de cet élément; d'où il suit que cette dernière corde prolongée sera sen-*

siblemeul normale aux deux surfaces courbes. On pourra donc énoncer encore le Ihéorême suivant.

4.* TuÉORÊHB. Si une plaque élastique très-mince et primitivement comprise entre deux plans parallèles , se condense ou se dilate, mais de manière que sa forme varie très peu , deux molécules primitivement situées sur une perpendiculaire communie aux deux plans se trouveront , après le changement de forme de la plaque , sur une droite sensildcment normale aux deux surfaces qui remplaceront ces mêmes plans»

Si l'on supposait la plaque élastique priinilivoment comprise, non entre deux plans parallèles, mais entre deux surfaces courbes séparées Tune de l'aulro par une dislance trèspetite et constante dans toute l'étendue de la plaque , alors » en raisonnant toujours de la même manière» on obtiendrait, au lieu du 4** théorème» la proposition suivante.

5.* Théorème. Si une plaque élastique, primitivement courbe, mais très -minée et d'une épaisseur constante, se dilate ou se condense de manière que sa forme varie très-peu, deux molécules primitivement situées sur U7ie droite sensiblement normale aux deux surfaces qui terminaient la plaque, se trouveront encore, après le cliangement de forme de ces deux surfaces, sur une droite qui pourra Cire cojisidérée comme perpendiculaire à Cune et à C autre»

En terminant cet article, nous ferons observer que, si un corps subit à différentes époques des changements de forme quelconques, la dilatation ou condensation déGnîtive d'un volume très-petit, qui renfermerait néanmoins avec la molécule m un grand nombre de molécules voisines, se déduira sans peine des dilatations ou condensations successivement iSprouvées par co volume aux époques dont il s'agit. En effet, soient u, , y, , ... les '{uantités propres à mesurer ces dernières dilatations ou condensations, en sorte que le volume en question varie à une première époque dans le rapport de i à i -|- v, , à une .seconde époque de j à i -j-u, , etc.... Le même volume aura définitivement varié dans le rapport de l'unité au produit (i + Ji)(i +''^i)..- Donc si Ton nomme u la ({uantité propre h mesurer la dilatation ou condensation définitive de ce volume, on aura

Si les changements de forme successivement é.nrouvés par le corps sont peu considérables, alors V, , ja , ... V seront des quantités très-petites, et la formule (i8) donnera sensiblement

1,'équalîon (ig) comprend un théorème dont voîcî l'énoncé.

6.* TiiAoRÊMB. Si un corps subit à différentes époques des changements de forme trèspeu sensibles, la dilatation ou condensation définitive qu^éprouvera le volume d\in des éléments de ce corps sera la somme des dilatatio»is ou condensations successivement i*.prQUvées par le même volume.

SUR L'ÉQUILIBRE ET LE MOUVEMENT