III.*AwifÉB

lindriqucs qui terminent la plaque. Soient d'ailleurs ^ dans Tétat d'équilibre ou de mou-

veinenl de celle plaque ,

m une molécule comprise dans le plan des x y y ^

X t y les coordonnées de celle molécule »

P la densité de la plaque au point {x,y) ,

^ la force accélératrice appliquée à la molécule m ,

X , Y les projections algébriques de la force 7 sur les axes des x et y »

p\ p" les pressions ou tensions exercées an point {x,y) contre des plans perpendiculaires à l'axe des x et à l'axe des y ,

A , F les projections algébriques de la pression ou tension p^ sur les axes des x et y,

F t B les projections algébriques de la pression ou tension p' sur les mêmes axes.

On trouvera 9 s'il 7 a équilibre »

fiA , dP . y. dF . dB . ^

Si » au contraire » la plaque se meut , alors , en désignant par ^ la force accélératrice qui serait capable de produire le moufement effectif de la molécule m , et par ^ ^ les projections algébriques de cette force sur les axes coordonnés, on trouvera

Dans l'un et l'autre cas , si l'on nomme

a, p les angles compris entre les demi-axea des coordonnées posiliyes et un autre domiaxe 00' mené arbitrairement par le point {x^y) p

p la pression ou tension exercée au point {x,y) contre le plan perpendiculaire à ce demi-axe et du côté qui le regarde,

> , p les angles formés par la force p avec les demi-axes des x eï y positives , on aura , en vertu des formules (3) de la page t6t ,

(3) pcosX = ^cosa-|-Fco8p , ''/»cos^ = Fcosa + «^cosp.

Enlin , si l'on suppose le point {x^y) situé sur l'une des surfaces cylindriques qui terminent la plaque, et si l'on fait coïncider le demi-axe 00' avec la normale à cette surface, les valeurs précédentes de pcos>, pcosf^ devront se confondre, au signe près, avec les projections algébriques de la pression extérieure appliquée k cette surface dans une direction normale. Donc, si l'on désigne alors par P la pression extérieure correspondante au point {x^y) , on aura encore

( 247) (4) ^cosa + Fcosp = — Pcos a , Fcosa + -Bcosp = — Pcos^ .

Oo De doit P88 oublier que ces dernières formules suLsislent seulement pour les points situés iqr |ef inrfaces cylindriques ci-dessus mentionnées.

Il reila )| fiiire voir comment des équations (i) , (a) et (4) on peut déduire celles qui «léternilofiAt k un instant quelconque » dans Félat d'équilibre ou de mouvement , la forme de la pUqaa ou plutôt de la section faite par le plan des x , ;y , et en particulier les divers ch^ngoments de forme de la ligne qui , étant comprise dans ce même pian, divisait primitif ement Tépaisseur de la plaque en deux parties égaies. Toutefois , comme la d^rmipation de cette ligne » que nous appellerons ligne moyenne , s'effectue de di- Terses minières » et entraîne des calculs plus ou moins étendus » suivant que l'on considère une lame élastique ou non élastique» naturellement plane ou naturellement courbe, d'une épaisseur constante ou d*une épaisseur variable, nous renverrons le développement de ces calculs aux paragraphes suivants.

S 3. Equations cCéquilibre ou de mouvement dCune lame naturellement droite et d^une

épaisseur constante»

Concevons que, dans l'état naturel de la plaque ci-dessus mentionnée, les deux surfaces cylindriques qui la terminent se réduisent h deux plans parallèles, séparés l'un de l'autre par une très-petite distance. Chacune des lames qui composeront celte plaque sera ce qu'on peut appeler une lame naturellement droite et d'une épaisseur constante. Cela posé, représentons par 3/t Tépaisseur naturelle de la plaque, et prenons pour plan des x , y celui qui divisait primitivement cette épaisseur en deux parties égales. Supposons d'ailleurs que, dans le passage de l'élat naturel à l'état de mouvement, les déplacements des molécules soient très- petits. La ligne moyenne de la section faite par le plan des x, y^ après avoir coïncidé dans l'état naturel avec l'axe des x, deviendra , en vertu du changement de forme de la plaque , une courbe plane , mais dont Tordonnée sera très-petite. Désignons par f{x) cette ordonnée. Soit de plus r la différence entre l'ordonnée y d'une molécule quelconque m correspondante à l'abscisse x et Tordonnéc f{x) de I» ligne moyenne, en sorte qu'on ait généralement

Soient enfin

(6) ;r — Ç , j — ïj ,

( «48 ) les coordonnées primitives de la molécale m qui , dans Tétak d*éqoilibre ou de m ^ vement» coïncide avec le point (a^» j) • S f >i seront des fonctions de ^ $ y serviront à mesurer les déplacements de cette molécule parallèlement aux axes; et , si I considère ces déplacements comme infiniment petits du premier ordre , la fonctioD / sera encore une quantité infiniment petite, ainsi que sa dérivée f'{x) . Il est ) d*en conclure que» si Ton veut prendre pour variables Indépendantes â^ et r ao 1 de 03 et j» il suflira d'écrire, dans les formules (i) et (s) » la lettre r à la pi de la lettre 7. Soient effectivement» dans le cas où Ton regarde x , y comme riables indépendantes ,

(8) ^=Hx.y),

On tirera des formules (5) et (7), en regardant

» et r comme rariables

et

OU » ce qui revient au même »

Donc» en négligeant vis-à-vis de ^{x,y) le terme ^{Xfy)f\x) qui est infir petite on aura simplement

Or , de ces dernières équations , comparées aux formules (8) » il résulte que » si V pour variables indépendantes x et r au lieu de » et / , on devra au: partielles

dA dA

dx * dy

substituer les suivantes

dÀ dA

dx ' dr *

Cette condaiion demearant exacte, tandis qae l'on remplace la lettre A par la lettre B ou par la lettre F , on tirera des équations (i) et («) i.*, en supposant qne la plaque soit en équilibre,

, -, dA .dF . - dF , dB , ^